Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simpl21 1252 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉβπ) = π) β πΉ β π) |
3 | | simpl23 1254 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉβπ) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simpl22 1253 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉβπ) = π) β πΊ β π) |
5 | | cdlemg44.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
6 | | cdlemg44.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | | cdlemg44.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
8 | | cdlemg44.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
9 | 5, 6, 7, 8 | ltrnel 38631 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) |
10 | 1, 4, 3, 9 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉβπ) = π) β ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) |
11 | | simpr 486 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβπ) = π) |
12 | 5, 6, 7, 8 | ltrnateq 38673 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΊβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΊβπ) β€ π)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβπ)) |
13 | 1, 2, 3, 10, 11, 12 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβπ)) |
14 | 11 | fveq2d 6851 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΊβ(πΉβπ)) = (πΊβπ)) |
15 | 13, 14 | eqtr4d 2780 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΉβπ) = π) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβ(πΉβπ))) |
16 | | simpr 486 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΊβπ) = π) β (πΊβπ) = π) |
17 | 16 | fveq2d 6851 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΊβπ) = π) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΉβπ)) |
18 | | simpl1 1192 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΊβπ) = π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
19 | | simpl22 1253 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΊβπ) = π) β πΊ β π) |
20 | | simpl23 1254 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΊβπ) = π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
21 | | simpl21 1252 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΊβπ) = π) β πΉ β π) |
22 | 5, 6, 7, 8 | ltrnel 38631 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
23 | 18, 21, 20, 22 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΊβπ) = π) β ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) |
24 | 5, 6, 7, 8 | ltrnateq 38673 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (πΉβπ) β€ π)) β§ (πΊβπ) = π) β (πΊβ(πΉβπ)) = (πΉβπ)) |
25 | 18, 19, 20, 23, 16, 24 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΊβπ) = π) β (πΊβ(πΉβπ)) = (πΉβπ)) |
26 | 17, 25 | eqtr4d 2780 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ (πΊβπ) = π) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβ(πΉβπ))) |
27 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
28 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
29 | | simprl 770 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β (πΉβπ) β π) |
30 | | simprr 772 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β (πΊβπ) β π) |
31 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
32 | | cdlemg44.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
33 | 7, 8, 32, 5, 6 | cdlemg44a 39223 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβ(πΉβπ))) |
34 | 27, 28, 29, 30, 31, 33 | syl113anc 1383 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β§ ((πΉβπ) β π β§ (πΊβπ) β π)) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβ(πΉβπ))) |
35 | 15, 26, 34 | pm2.61da2ne 3034 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β (πΉβ(πΊβπ)) = (πΊβ(πΉβπ))) |