Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk13 40357
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 13 on p. 119. 𝑂, 𝐷 are k1, f1. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk1.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk1.o 𝑂 = (π‘†β€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cdlemk13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘‚β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π·)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐷 ∘ ◑𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐷,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,π‘Š,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐡(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≀ (𝑓)   𝑂(𝑓,𝑖)

Proof of Theorem cdlemk13
StepHypRef Expression
1 cdlemk1.o . . 3 𝑂 = (π‘†β€˜π·)
21fveq1i 6903 . 2 (π‘‚β€˜π‘ƒ) = ((π‘†β€˜π·)β€˜π‘ƒ)
3 cdlemk1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
4 cdlemk1.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
5 cdlemk1.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 cdlemk1.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemk1.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemk1.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemk1.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 cdlemk1.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
11 cdlemk1.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11cdlemksv2 40352 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘†β€˜π·)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π·)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐷 ∘ ◑𝐹)))))
132, 12eqtrid 2780 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘‚β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π·)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐷 ∘ ◑𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   I cid 5579  β—‘ccnv 5681   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  β„©crio 7381  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LHypclh 39489  LTrncltrn 39606  trLctrl 39663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-undef 8285  df-map 8853  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664
This theorem is referenced by:  cdlemkole  40358  cdlemk14  40359  cdlemk13-2N  40381
  Copyright terms: Public domain W3C validator