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Theorem cdlemksv2 39313
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Value of the sigma(p) function 𝑆 at the fixed 𝑃 parameter. (Contributed by NM, 26-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemksv2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))))
Distinct variable groups:   ∧ ,𝑓   ∨ ,𝑓   𝑓,𝐹,𝑖   𝑓,𝐺,𝑖   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,π‘Š   ∧ ,𝑖   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑖   𝐴,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   𝑖,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐡(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≀ (𝑓)

Proof of Theorem cdlemksv2
StepHypRef Expression
1 simp13 1206 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
2 cdlemk.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdlemk.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 cdlemk.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 cdlemk.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemk.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemk.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 cdlemk.r . . . . 5 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemk.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
10 cdlemk.s . . . . 5 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemksv 39310 . . . 4 (𝐺 ∈ 𝑇 β†’ (π‘†β€˜πΊ) = (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))))
121, 11syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘†β€˜πΊ) = (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))))
1312eqcomd 2743 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))) = (π‘†β€˜πΊ))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemksel 39311 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇)
15 simp11 1204 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 simp22 1208 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
17 simp1 1137 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
18 simp21 1207 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
193, 5, 6, 7ltrnel 38605 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
2015, 18, 16, 19syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
21 simp11l 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
22 simp22l 1293 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
2320simpld 496 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
243, 4, 5hlatlej2 37841 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘β€˜π‘ƒ)))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘β€˜π‘ƒ)))
26 simp23 1209 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
2726oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)))
283, 4, 5, 6, 7, 8trljat1 38632 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘β€˜π‘ƒ)))
2915, 18, 16, 28syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘)) = (𝑃 ∨ (π‘β€˜π‘ƒ)))
3027, 29eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝑃 ∨ (π‘β€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
3125, 30breqtrd 5132 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
32 simp31 1210 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
33 simp32 1211 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
34 simp33 1212 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
3534necomd 3000 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
36 eqid 2737 . . . . . 6 ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
372, 3, 4, 9, 5, 6, 7, 8, 36cdlemh 39283 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) ∧ (π‘β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ))) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ≀ π‘Š))
3817, 16, 20, 31, 32, 33, 35, 37syl133anc 1394 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ≀ π‘Š))
393, 5, 6, 7cdleme 39026 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ≀ π‘Š)) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))))
4015, 16, 38, 39syl3anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ βˆƒ!𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))))
41 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖𝑇
42 nfriota1 7321 . . . . . . 7 Ⅎ𝑖(℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹)))))
4341, 42nfmpt 5213 . . . . . 6 Ⅎ𝑖(𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
4410, 43nfcxfr 2906 . . . . 5 Ⅎ𝑖𝑆
45 nfcv 2908 . . . . 5 Ⅎ𝑖𝐺
4644, 45nffv 6853 . . . 4 Ⅎ𝑖(π‘†β€˜πΊ)
47 nfcv 2908 . . . . . 6 Ⅎ𝑖𝑃
4846, 47nffv 6853 . . . . 5 Ⅎ𝑖((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ)
4948nfeq1 2923 . . . 4 Ⅎ𝑖((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))
50 fveq1 6842 . . . . 5 (𝑖 = (π‘†β€˜πΊ) β†’ (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ))
5150eqeq1d 2739 . . . 4 (𝑖 = (π‘†β€˜πΊ) β†’ ((π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ↔ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))))
5246, 49, 51riota2f 7339 . . 3 (((π‘†β€˜πΊ) ∈ 𝑇 ∧ βˆƒ!𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))) β†’ (((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ↔ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))) = (π‘†β€˜πΊ)))
5314, 40, 52syl2anc 585 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))) ↔ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹))))) = (π‘†β€˜πΊ)))
5413, 53mpbird 257 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΊ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘†β€˜πΊ)β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒ!wreu 3352   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  β„©crio 7313  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  meetcmee 18202  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  trLctrl 38624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625
This theorem is referenced by:  cdlemk7  39314  cdlemk12  39316  cdlemk13  39318  cdlemk30  39360
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