Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemksv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemksv2 37535
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Value of the sigma(p) function 𝑆 at the fixed 𝑃 parameter. (Contributed by NM, 26-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l = (le‘𝐾)
cdlemk.j = (join‘𝐾)
cdlemk.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m = (meet‘𝐾)
cdlemk.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemksv2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
Distinct variable groups:   ,𝑓   ,𝑓   𝑓,𝐹,𝑖   𝑓,𝐺,𝑖   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   ,𝑖   ,𝑖   ,𝑖   𝐴,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   𝑖,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   (𝑓)

Proof of Theorem cdlemksv2
StepHypRef Expression
1 simp13 1198 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐺𝑇)
2 cdlemk.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdlemk.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
4 cdlemk.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
5 cdlemk.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemk.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemk.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemk.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemk.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
10 cdlemk.s . . . . 5 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemksv 37532 . . . 4 (𝐺𝑇 → (𝑆𝐺) = (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
121, 11syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑆𝐺) = (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
1312eqcomd 2803 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))) = (𝑆𝐺))
142, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemksel 37533 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑆𝐺) ∈ 𝑇)
15 simp11 1196 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simp22 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
17 simp1 1129 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇))
18 simp21 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑁𝑇)
193, 5, 6, 7ltrnel 36827 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝑁𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑁𝑃) 𝑊))
2015, 18, 16, 19syl3anc 1364 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑁𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑁𝑃) 𝑊))
21 simp11l 1277 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐾 ∈ HL)
22 simp22l 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝑃𝐴)
2320simpld 495 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝑃) ∈ 𝐴)
243, 4, 5hlatlej2 36064 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑁𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑁𝑃) (𝑃 (𝑁𝑃)))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1364 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝑃) (𝑃 (𝑁𝑃)))
26 simp23 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
2726oveq2d 7039 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃 (𝑅𝐹)) = (𝑃 (𝑅𝑁)))
283, 4, 5, 6, 7, 8trljat1 36854 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃 (𝑅𝑁)) = (𝑃 (𝑁𝑃)))
2915, 18, 16, 28syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃 (𝑅𝑁)) = (𝑃 (𝑁𝑃)))
3027, 29eqtr2d 2834 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑃 (𝑁𝑃)) = (𝑃 (𝑅𝐹)))
3125, 30breqtrd 4994 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑁𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹)))
32 simp31 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
33 simp32 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
34 simp33 1204 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
3534necomd 3041 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
36 eqid 2797 . . . . . 6 ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
372, 3, 4, 9, 5, 6, 7, 8, 36cdlemh 37505 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ ((𝑁𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑁𝑃) 𝑊) ∧ (𝑁𝑃) (𝑃 (𝑅𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) 𝑊))
3817, 16, 20, 31, 32, 33, 35, 37syl133anc 1386 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) 𝑊))
393, 5, 6, 7cdleme 37248 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) 𝑊)) → ∃!𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
4015, 16, 38, 39syl3anc 1364 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → ∃!𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
41 nfcv 2951 . . . . . . 7 𝑖𝑇
42 nfriota1 6991 . . . . . . 7 𝑖(𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹)))))
4341, 42nfmpt 5064 . . . . . 6 𝑖(𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
4410, 43nfcxfr 2949 . . . . 5 𝑖𝑆
45 nfcv 2951 . . . . 5 𝑖𝐺
4644, 45nffv 6555 . . . 4 𝑖(𝑆𝐺)
47 nfcv 2951 . . . . . 6 𝑖𝑃
4846, 47nffv 6555 . . . . 5 𝑖((𝑆𝐺)‘𝑃)
4948nfeq1 2964 . . . 4 𝑖((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
50 fveq1 6544 . . . . 5 (𝑖 = (𝑆𝐺) → (𝑖𝑃) = ((𝑆𝐺)‘𝑃))
5150eqeq1d 2799 . . . 4 (𝑖 = (𝑆𝐺) → ((𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))))
5246, 49, 51riota2f 7005 . . 3 (((𝑆𝐺) ∈ 𝑇 ∧ ∃!𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))) → (((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))) = (𝑆𝐺)))
5314, 40, 52syl2anc 584 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → (((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) ↔ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))))) = (𝑆𝐺)))
5413, 53mpbird 258 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))) → ((𝑆𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  ∃!wreu 3109   class class class wbr 4968  cmpt 5047   I cid 5354  ccnv 5449  cres 5452  ccom 5454  cfv 6232  crio 6983  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  lecple 16405  joincjn 17387  meetcmee 17388  Atomscatm 35951  HLchlt 36038  LHypclh 36672  LTrncltrn 36789  trLctrl 36846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-riotaBAD 35641
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-undef 7797  df-map 8265  df-proset 17371  df-poset 17389  df-plt 17401  df-lub 17417  df-glb 17418  df-join 17419  df-meet 17420  df-p0 17482  df-p1 17483  df-lat 17489  df-clat 17551  df-oposet 35864  df-ol 35866  df-oml 35867  df-covers 35954  df-ats 35955  df-atl 35986  df-cvlat 36010  df-hlat 36039  df-llines 36186  df-lplanes 36187  df-lvols 36188  df-lines 36189  df-psubsp 36191  df-pmap 36192  df-padd 36484  df-lhyp 36676  df-laut 36677  df-ldil 36792  df-ltrn 36793  df-trl 36847
This theorem is referenced by:  cdlemk7  37536  cdlemk12  37538  cdlemk13  37540  cdlemk30  37582
  Copyright terms: Public domain W3C validator