Theorem cdlemksv2 41872

Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Value of the sigma(p) function 𝑆 at the fixed 𝑃 parameter. (Contributed by NM, 26-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemk.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemk.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemk.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemk.s	⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))

Assertion

Ref	Expression
cdlemksv2	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))

Distinct variable groups:   ∧ ,𝑓   ∨ ,𝑓   𝑓,𝐹,𝑖   𝑓,𝐺,𝑖   𝑓,𝑁   𝑃,𝑓   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊   ∧ ,𝑖   ≤ ,𝑖   ∨ ,𝑖   𝐴,𝑖   𝑖,𝐹   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑅,𝑖   𝑇,𝑖   𝑖,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓, 𝑖)   𝑆(𝑓, 𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≤ (𝑓)

Proof of Theorem cdlemksv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp13 1224	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
2		cdlemk.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cdlemk.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4		cdlemk.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		cdlemk.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		cdlemk.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		cdlemk.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		cdlemk.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9		cdlemk.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
10		cdlemk.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdlemksv 41869	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑇 → (𝑆‘𝐺) = (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))))
12	1, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑆‘𝐺) = (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))))
13	12	eqcomd 2767	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))) = (𝑆‘𝐺))
14	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdlemksel 41870	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇)
15		simp11 1222	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		simp22 1226	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
17		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
18		simp21 1225	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑁 ∈ 𝑇)
19	3, 5, 6, 7	ltrnel 41164	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → ((𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑊))
20	15, 18, 16, 19	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑊))
21		simp11l 1303	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐾 ∈ HL)
22		simp22l 1311	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
23	20	simpld 500	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴)
24	3, 4, 5	hlatlej2 40401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑁‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑁‘𝑃)))
25	21, 22, 23, 24	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑁‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑁‘𝑃)))
26		simp23 1227	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁))
27	26	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹)) = (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑁)))
28	3, 4, 5, 6, 7, 8	trljat1 41191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑁)) = (𝑃 ∨ (𝑁‘𝑃)))
29	15, 18, 16, 28	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑃 ∨ (𝑅‘𝑁)) = (𝑃 ∨ (𝑁‘𝑃)))
30	27, 29	eqtr2d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑃 ∨ (𝑁‘𝑃)) = (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹)))
31	25, 30	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑁‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹)))
32		simp31 1228	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
33		simp32 1229	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
34		simp33 1230	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))
35	34	necomd 3011	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))
36		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))
37	2, 3, 4, 9, 5, 6, 7, 8, 36	cdlemh 41842	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑁‘𝑃) ≤ 𝑊) ∧ (𝑁‘𝑃) ≤ (𝑃 ∨ (𝑅‘𝐹))) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐹) ≠ (𝑅‘𝐺))) → (((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ≤ 𝑊))
38	17, 16, 20, 31, 32, 33, 35, 37	syl133anc 1420	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ≤ 𝑊))
39	3, 5, 6, 7	cdleme 41585	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ≤ 𝑊)) → ∃!𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))
40	15, 16, 38, 39	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ∃!𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))
41		nfcv 2923	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖𝑇
42		nfriota1 7376	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹)))))
43	41, 42	nfmpt 5203	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝑓)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝑓 ∘ ◡𝐹))))))
44	10, 43	nfcxfr 2921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝑆
45		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝐺
46	44, 45	nffv 6887	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑆‘𝐺)
47		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑖𝑃
48	46, 47	nffv 6887	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑆‘𝐺)‘𝑃)
49	48	nfeq1 2938	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))
50		fveq1 6876	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝑆‘𝐺) → (𝑖‘𝑃) = ((𝑆‘𝐺)‘𝑃))
51	50	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝑆‘𝐺) → ((𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ↔ ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))))
52	46, 49, 51	riota2f 7393	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝐺) ∈ 𝑇 ∧ ∃!𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))) → (((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ↔ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))) = (𝑆‘𝐺)))
53	14, 40, 52	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))) ↔ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (𝑖‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹))))) = (𝑆‘𝐺)))
54	13, 53	mpbird 260	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝑁)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘𝐺) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((𝑆‘𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 ∨ (𝑅‘𝐺)) ∧ ((𝑁‘𝑃) ∨ (𝑅‘(𝐺 ∘ ◡𝐹)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃!wreu 3364   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5545  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6531  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  lecple 17415  joincjn 18465  meetcmee 18466  Atomscatm 40288  HLchlt 40375  LHypclh 41009  LTrncltrn 41126  trLctrl 41183

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-riotaBAD 39978

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-undef 8274  df-map 8833  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-p1 18578  df-lat 18586  df-clat 18653  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-llines 40523  df-lplanes 40524  df-lvols 40525  df-lines 40526  df-psubsp 40528  df-pmap 40529  df-padd 40821  df-lhyp 41013  df-laut 41014  df-ldil 41129  df-ltrn 41130  df-trl 41184

This theorem is used by:  cdlemk7  41873  cdlemk12  41875  cdlemk13  41877  cdlemk30  41919