Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΊ β π) |
2 | | cdlemk.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
3 | | cdlemk.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
4 | | cdlemk.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
5 | | cdlemk.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemk.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemk.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemk.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdlemk.s |
. . . . 5
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
11 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemksv 39310 |
. . . 4
β’ (πΊ β π β (πβπΊ) = (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))))) |
12 | 1, 11 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πβπΊ) = (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))))) |
13 | 12 | eqcomd 2743 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) = (πβπΊ)) |
14 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemksel 39311 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πβπΊ) β π) |
15 | | simp11 1204 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
16 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
17 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π)) |
18 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β π β π) |
19 | 3, 5, 6, 7 | ltrnel 38605 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π)) |
20 | 15, 18, 16, 19 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π)) |
21 | | simp11l 1285 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΎ β HL) |
22 | | simp22l 1293 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β π β π΄) |
23 | 20 | simpld 496 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β π΄) |
24 | 3, 4, 5 | hlatlej2 37841 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (πβπ) β π΄) β (πβπ) β€ (π β¨ (πβπ))) |
25 | 21, 22, 23, 24 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β€ (π β¨ (πβπ))) |
26 | | simp23 1209 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
27 | 26 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (π
βπΉ)) = (π β¨ (π
βπ))) |
28 | 3, 4, 5, 6, 7, 8 | trljat1 38632 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ (π
βπ)) = (π β¨ (πβπ))) |
29 | 15, 18, 16, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (π
βπ)) = (π β¨ (πβπ))) |
30 | 27, 29 | eqtr2d 2778 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (πβπ)) = (π β¨ (π
βπΉ))) |
31 | 25, 30 | breqtrd 5132 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ))) |
32 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
33 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β πΊ β ( I βΎ π΅)) |
34 | | simp33 1212 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π
βπΊ) β (π
βπΉ)) |
35 | 34 | necomd 3000 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
36 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
37 | 2, 3, 4, 9, 5, 6, 7, 8, 36 | cdlemh 39283 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π) β§ (πβπ) β€ (π β¨ (π
βπΉ))) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ))) β (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β π΄ β§ Β¬ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β€ π)) |
38 | 17, 16, 20, 31, 32, 33, 35, 37 | syl133anc 1394 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β π΄ β§ Β¬ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β€ π)) |
39 | 3, 5, 6, 7 | cdleme 39026 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β π΄ β§ Β¬ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β€ π)) β β!π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) |
40 | 15, 16, 38, 39 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β β!π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) |
41 | | nfcv 2908 |
. . . . . . 7
β’
β²ππ |
42 | | nfriota1 7321 |
. . . . . . 7
β’
β²π(β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ))))) |
43 | 41, 42 | nfmpt 5213 |
. . . . . 6
β’
β²π(π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
44 | 10, 43 | nfcxfr 2906 |
. . . . 5
β’
β²ππ |
45 | | nfcv 2908 |
. . . . 5
β’
β²ππΊ |
46 | 44, 45 | nffv 6853 |
. . . 4
β’
β²π(πβπΊ) |
47 | | nfcv 2908 |
. . . . . 6
β’
β²ππ |
48 | 46, 47 | nffv 6853 |
. . . . 5
β’
β²π((πβπΊ)βπ) |
49 | 48 | nfeq1 2923 |
. . . 4
β’
β²π((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) |
50 | | fveq1 6842 |
. . . . 5
β’ (π = (πβπΊ) β (πβπ) = ((πβπΊ)βπ)) |
51 | 50 | eqeq1d 2739 |
. . . 4
β’ (π = (πβπΊ) β ((πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β ((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))))) |
52 | 46, 49, 51 | riota2f 7339 |
. . 3
β’ (((πβπΊ) β π β§ β!π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) β (((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) = (πβπΊ))) |
53 | 14, 40, 52 | syl2anc 585 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β (((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ)))) β (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) = (πβπΊ))) |
54 | 13, 53 | mpbird 257 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΊ) β (π
βπΉ))) β ((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘πΉ))))) |