Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk1.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemk1.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemk1.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemk1.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemk1.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemk1.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemk1.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemk1.r |
. . 3
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk1.s |
. . 3
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
10 | | cdlemk1.o |
. . 3
β’ π = (πβπ·) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemk13 39361 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ·)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))))) |
12 | | simp11l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΎ β HL) |
13 | 12 | hllatd 37872 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΎ β Lat) |
14 | | simp22l 1293 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π β π΄) |
15 | | simp11 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
16 | | simp13 1206 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π· β π) |
17 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π· β ( I βΎ π΅)) |
18 | 1, 5, 6, 7, 8 | trlnidat 38682 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π· β π β§ π· β ( I βΎ π΅)) β (π
βπ·) β π΄) |
19 | 15, 16, 17, 18 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
βπ·) β π΄) |
20 | 1, 3, 5 | hlatjcl 37875 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (π
βπ·) β π΄) β (π β¨ (π
βπ·)) β π΅) |
21 | 12, 14, 19, 20 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (π
βπ·)) β π΅) |
22 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π β π) |
23 | 2, 5, 6, 7 | ltrnat 38649 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ π β π΄) β (πβπ) β π΄) |
24 | 15, 22, 14, 23 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β π΄) |
25 | | simp12 1205 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΉ β π) |
26 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
βπ·) β (π
βπΉ)) |
27 | 5, 6, 7, 8 | trlcocnvat 39233 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π· β π β§ πΉ β π) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ)) β (π
β(π· β β‘πΉ)) β π΄) |
28 | 15, 16, 25, 26, 27 | syl121anc 1376 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
β(π· β β‘πΉ)) β π΄) |
29 | 1, 3, 5 | hlatjcl 37875 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (πβπ) β π΄ β§ (π
β(π· β β‘πΉ)) β π΄) β ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))) β π΅) |
30 | 12, 24, 28, 29 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))) β π΅) |
31 | 1, 2, 4 | latmle1 18358 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ (π
βπ·)) β π΅ β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ))) β π΅) β ((π β¨ (π
βπ·)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ)))) β€ (π β¨ (π
βπ·))) |
32 | 13, 21, 30, 31 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((π β¨ (π
βπ·)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π· β β‘πΉ)))) β€ (π β¨ (π
βπ·))) |
33 | 11, 32 | eqbrtrd 5128 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β€ (π β¨ (π
βπ·))) |