Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp22 1208 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π· β π) |
2 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΊ β π) |
3 | | cdlemk3.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
4 | | cdlemk3.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
5 | | cdlemk3.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
6 | | cdlemk3.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
7 | | cdlemk3.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | cdlemk3.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
9 | | cdlemk3.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
10 | | cdlemk3.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
11 | | cdlemk3.s |
. . . . 5
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
12 | | cdlemk3.u1 |
. . . . 5
β’ π = (π β π, π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π)))))) |
13 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’ (πβπ·) = (πβπ·) |
14 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’ (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ·)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π·)))))) = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ·)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π·)))))) |
15 | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | cdlemkuu 39404 |
. . . 4
β’ ((π· β π β§ πΊ β π) β (π·ππΊ) = ((π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ·)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π·))))))βπΊ)) |
16 | 1, 2, 15 | syl2anc 585 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π·ππΊ) = ((π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ·)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π·))))))βπΊ)) |
17 | 16 | fveq1d 6845 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π·ππΊ)βπ) = (((π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ·)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π·))))))βπΊ)βπ)) |
18 | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14 | cdlemkuv2 39376 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (((π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ (((πβπ·)βπ) β¨ (π
β(π β β‘π·))))))βπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((πβπ·)βπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·))))) |
19 | 17, 18 | eqtrd 2773 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((π·ππΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ (((πβπ·)βπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·))))) |