Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΊ β π) |
2 | | cdlemk1.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
3 | | cdlemk1.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
4 | | cdlemk1.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
5 | | cdlemk1.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemk1.h |
. . . . 5
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemk1.t |
. . . . 5
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemk1.r |
. . . . 5
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk1.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
10 | | cdlemk1.u |
. . . . 5
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘π·)))))) |
11 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemksv 39353 |
. . . 4
β’ (πΊ β π β (πβπΊ) = (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))))) |
12 | 1, 11 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πβπΊ) = (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))))) |
13 | 12 | eqcomd 2739 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·))))) = (πβπΊ)) |
14 | | cdlemk1.s |
. . . 4
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
15 | | cdlemk1.o |
. . . 4
β’ π = (πβπ·) |
16 | 2, 3, 4, 9, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 10 | cdlemkuel 39374 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πβπΊ) β π) |
17 | | simp11l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΎ β HL) |
18 | | simp11r 1286 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π») |
19 | | simp33 1212 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
20 | 2, 3, 4, 9, 5, 6, 7, 8, 14, 15 | cdlemk16a 39365 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β π΄ β§ Β¬ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β€ π)) |
21 | 3, 5, 6, 7 | cdleme 39069 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β π΄ β§ Β¬ ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β€ π)) β β!π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·))))) |
22 | 17, 18, 19, 20, 21 | syl211anc 1377 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β β!π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·))))) |
23 | | nfcv 2904 |
. . . . . . 7
β’
β²ππ |
24 | | nfriota1 7321 |
. . . . . . 7
β’
β²π(β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘π·))))) |
25 | 23, 24 | nfmpt 5213 |
. . . . . 6
β’
β²π(π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘π·)))))) |
26 | 10, 25 | nfcxfr 2902 |
. . . . 5
β’
β²ππ |
27 | | nfcv 2904 |
. . . . 5
β’
β²ππΊ |
28 | 26, 27 | nffv 6853 |
. . . 4
β’
β²π(πβπΊ) |
29 | | nfcv 2904 |
. . . . . 6
β’
β²ππ |
30 | 28, 29 | nffv 6853 |
. . . . 5
β’
β²π((πβπΊ)βπ) |
31 | 30 | nfeq1 2919 |
. . . 4
β’
β²π((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) |
32 | | fveq1 6842 |
. . . . 5
β’ (π = (πβπΊ) β (πβπ) = ((πβπΊ)βπ)) |
33 | 32 | eqeq1d 2735 |
. . . 4
β’ (π = (πβπΊ) β ((πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β ((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))))) |
34 | 28, 31, 33 | riota2f 7339 |
. . 3
β’ (((πβπΊ) β π β§ β!π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·))))) β (((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·))))) = (πβπΊ))) |
35 | 16, 22, 34 | syl2anc 585 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·)))) β (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·))))) = (πβπΊ))) |
36 | 13, 35 | mpbird 257 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
βπΉ) = (π
βπ) β§ πΊ β π) β§ (πΉ β π β§ π· β π β§ π β π) β§ (((π
βπ·) β (π
βπΉ) β§ (π
βπ·) β (π
βπΊ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΊ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β ((πβπΊ)βπ) = ((π β¨ (π
βπΊ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΊ β β‘π·))))) |