Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkuv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkuv2 36823
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 16 on p. 119 for i = 1, where sigma1 (p) is 𝑈, f1 is 𝐷, and k1 is 𝑂. (Contributed by NM, 2-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk1.l = (le‘𝐾)
cdlemk1.j = (join‘𝐾)
cdlemk1.m = (meet‘𝐾)
cdlemk1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk1.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk1.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk1.s 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
cdlemk1.o 𝑂 = (𝑆𝐷)
cdlemk1.u 𝑈 = (𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝑒𝐷))))))
Assertion
Ref Expression
cdlemkuv2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,   ,𝑖   ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐷,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,𝑊,𝑖   ,𝑒   ,𝑒   𝐷,𝑒,𝑗   𝑒,𝐺,𝑗   𝑒,𝑂   𝑃,𝑒   𝑅,𝑒   𝑇,𝑒   𝑒,𝑊   ,𝑗   ,𝑗   ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐹   𝑗,𝐻   𝑗,𝐾   𝑗,𝑁   𝑗,𝑂   𝑃,𝑗   𝑅,𝑗   𝑇,𝑗   𝑗,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑒,𝑓)   𝐵(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑆(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝑈(𝑒,𝑓,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑒)   𝐺(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑒,𝑓)   𝐾(𝑒,𝑓)   (𝑒,𝑓)   𝑁(𝑒)   𝑂(𝑓,𝑖)

Proof of Theorem cdlemkuv2
StepHypRef Expression
1 simp13 1262 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐺𝑇)
2 cdlemk1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdlemk1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
4 cdlemk1.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
5 cdlemk1.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 cdlemk1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 cdlemk1.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8 cdlemk1.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemk1.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
10 cdlemk1.u . . . . 5 𝑈 = (𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝑒𝐷))))))
112, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10cdlemksv 36800 . . . 4 (𝐺𝑇 → (𝑈𝐺) = (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷))))))
121, 11syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑈𝐺) = (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷))))))
1312eqcomd 2771 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷))))) = (𝑈𝐺))
14 cdlemk1.s . . . 4 𝑆 = (𝑓𝑇 ↦ (𝑖𝑇 (𝑖𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑓)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑓𝐹))))))
15 cdlemk1.o . . . 4 𝑂 = (𝑆𝐷)
162, 3, 4, 9, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 10cdlemkuel 36821 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑈𝐺) ∈ 𝑇)
17 simp11l 1383 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝐾 ∈ HL)
18 simp11r 1384 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → 𝑊𝐻)
19 simp33 1268 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
202, 3, 4, 9, 5, 6, 7, 8, 14, 15cdlemk16a 36812 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))) 𝑊))
213, 5, 6, 7cdleme 36516 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))) 𝑊)) → ∃!𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))))
2217, 18, 19, 20, 21syl211anc 1495 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ∃!𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))))
23 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑗𝑇
24 nfriota1 6810 . . . . . . 7 𝑗(𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝑒𝐷)))))
2523, 24nfmpt 4905 . . . . . 6 𝑗(𝑒𝑇 ↦ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝑒)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝑒𝐷))))))
2610, 25nfcxfr 2905 . . . . 5 𝑗𝑈
27 nfcv 2907 . . . . 5 𝑗𝐺
2826, 27nffv 6385 . . . 4 𝑗(𝑈𝐺)
29 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑗𝑃
3028, 29nffv 6385 . . . . 5 𝑗((𝑈𝐺)‘𝑃)
3130nfeq1 2921 . . . 4 𝑗((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷))))
32 fveq1 6374 . . . . 5 (𝑗 = (𝑈𝐺) → (𝑗𝑃) = ((𝑈𝐺)‘𝑃))
3332eqeq1d 2767 . . . 4 (𝑗 = (𝑈𝐺) → ((𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))) ↔ ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷))))))
3428, 31, 33riota2f 6824 . . 3 (((𝑈𝐺) ∈ 𝑇 ∧ ∃!𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷))))) → (((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))) ↔ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷))))) = (𝑈𝐺)))
3516, 22, 34syl2anc 579 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → (((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))) ↔ (𝑗𝑇 (𝑗𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷))))) = (𝑈𝐺)))
3613, 35mpbird 248 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ 𝐺𝑇) ∧ (𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇) ∧ (((𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝐷) ≠ (𝑅𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))) → ((𝑈𝐺)‘𝑃) = ((𝑃 (𝑅𝐺)) ((𝑂𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐷)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  ∃!wreu 3057   class class class wbr 4809  cmpt 4888   I cid 5184  ccnv 5276  cres 5279  ccom 5281  cfv 6068  crio 6802  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  lecple 16221  joincjn 17210  meetcmee 17211  Atomscatm 35219  HLchlt 35306  LHypclh 35940  LTrncltrn 36057  trLctrl 36114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-riotaBAD 34909
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-undef 7602  df-map 8062  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-p0 17305  df-p1 17306  df-lat 17312  df-clat 17374  df-oposet 35132  df-ol 35134  df-oml 35135  df-covers 35222  df-ats 35223  df-atl 35254  df-cvlat 35278  df-hlat 35307  df-llines 35454  df-lplanes 35455  df-lvols 35456  df-lines 35457  df-psubsp 35459  df-pmap 35460  df-padd 35752  df-lhyp 35944  df-laut 35945  df-ldil 36060  df-ltrn 36061  df-trl 36115
This theorem is referenced by:  cdlemk18  36824  cdlemk7u  36826  cdlemk12u  36828  cdlemk21N  36829  cdlemk20  36830  cdlemkuv2-2  36841  cdlemk31  36852  cdlemkuv2-3N  36855
  Copyright terms: Public domain W3C validator