Theorem sigarcol 47700

Description: Given three points 𝐴, 𝐵 and 𝐶 such that ¬ 𝐴 = 𝐵, the point 𝐶 lies on the line going through 𝐴 and 𝐵 iff the corresponding signed area is zero. That justifies the usage of signed area as a collinearity indicator. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigarcol.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarcol.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigarcol.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sigarcol	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝐴   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦   𝑡,𝐶,𝑥,𝑦   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem sigarcol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigarcol.sigar	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		sigarcol.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
8		sigarcol.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
10	1	sigarperm 47696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))
11	2, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))
12	1	sigarperm 47696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
13	6, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
14	11, 13	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
15	14	eqeq1d 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0))
16	15	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
17	1, 7, 9, 16	sigardiv 47697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
18	4, 3	subcld 11597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
20	5, 3	subcld 11597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	9	neqned 2964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐴 ≠ 𝐵)
25	22, 23, 24	subne0d 11607	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
26	19, 21, 25	divcan1d 12020	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
27	26	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) = (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)))
28	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
29	23, 28	pncan3d 11600	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶)
30	27, 29	eqtr2d 2798	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
31		oveq1 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
32	31	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) → (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))) = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
33	32	rspceeqv 3602	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
34	17, 30, 33	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
35	34	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))
36	14	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
37	3	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
38		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
39	38	recnd 11265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℂ)
40	5	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40, 37	subcld 11597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 11257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
43		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
44	37, 42, 43	mvrladdd 11655	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))
45	44	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = ((𝑡 · (𝐴 − 𝐵))𝐺(𝐴 − 𝐵)))
46	39, 41	mulcomd 11258	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑡))
47	46	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝑡 · (𝐴 − 𝐵))𝐺(𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
48	45, 47	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
49	41, 39	mulcld 11257	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ)
50	1	sigarac 47688	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)))
51	49, 41, 50	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)))
52	1	sigarls 47693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡))
53	41, 41, 38, 52	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡))
54	1	sigarid 47694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
55	41, 54	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
56	55	oveq1d 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
57	39	mul02d 11436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (0 · 𝑡) = 0)
58	53, 56, 57	3eqtrd 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = 0)
59	58	negeqd 11479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = -0)
60		neg0 11532	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → -0 = 0)
62	51, 59, 61	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
63	36, 48, 62	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0)
64	63	rexlimdv3a 3169	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0))
65	35, 64	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   + caddc 11131   · cmul 11133   − cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11899  ∗ccj 15187  ℑcim 15189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192

This theorem is used by: (None)