Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarcol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigarcol 43919
Description: Given three points 𝐴, 𝐵 and 𝐶 such that ¬ 𝐴 = 𝐵, the point 𝐶 lies on the line going through 𝐴 and 𝐵 iff the corresponding signed area is zero. That justifies the usage of signed area as a collinearity indicator. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigarcol.sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarcol.a (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigarcol.b (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sigarcol (𝜑 → (((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝐴   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦   𝑡,𝐶,𝑥,𝑦   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarcol
StepHypRef Expression
1 sigarcol.sigar . . . . 5 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2 sigarcol.a . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
32simp2d 1144 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
42simp3d 1145 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
52simp1d 1143 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
63, 4, 53jca 1129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
76adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
8 sigarcol.b . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
98adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
101sigarperm 43915 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)))
112, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)))
121sigarperm 43915 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)) = ((𝐶𝐵)𝐺(𝐴𝐵)))
136, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐴)𝐺(𝐶𝐴)) = ((𝐶𝐵)𝐺(𝐴𝐵)))
1411, 13eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = ((𝐶𝐵)𝐺(𝐴𝐵)))
1514eqeq1d 2740 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0 ↔ ((𝐶𝐵)𝐺(𝐴𝐵)) = 0))
1615biimpa 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐴𝐵)) = 0)
171, 7, 9, 16sigardiv 43916 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
184, 3subcld 11075 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
1918adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → (𝐶𝐵) ∈ ℂ)
205, 3subcld 11075 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2120adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
225adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
233adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
249neqned 2941 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → 𝐴𝐵)
2522, 23, 24subne0d 11084 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → (𝐴𝐵) ≠ 0)
2619, 21, 25divcan1d 11495 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → (((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) · (𝐴𝐵)) = (𝐶𝐵))
2726oveq2d 7186 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → (𝐵 + (((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) · (𝐴𝐵))) = (𝐵 + (𝐶𝐵)))
284adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
2923, 28pncan3d 11078 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → (𝐵 + (𝐶𝐵)) = 𝐶)
3027, 29eqtr2d 2774 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) · (𝐴𝐵))))
31 oveq1 7177 . . . . . 6 (𝑡 = ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) → (𝑡 · (𝐴𝐵)) = (((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) · (𝐴𝐵)))
3231oveq2d 7186 . . . . 5 (𝑡 = ((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) → (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵))) = (𝐵 + (((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) · (𝐴𝐵))))
3332rspceeqv 3541 . . . 4 ((((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶𝐵) / (𝐴𝐵)) · (𝐴𝐵)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵))))
3417, 30, 33syl2anc 587 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵))))
3534ex 416 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0 → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))))
36143ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = ((𝐶𝐵)𝐺(𝐴𝐵)))
3733ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
3938recnd 10747 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℂ)
4053ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
4140, 37subcld 11075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
4239, 41mulcld 10739 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
43 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵))))
4437, 42, 43mvrladdd 11131 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → (𝐶𝐵) = (𝑡 · (𝐴𝐵)))
4544oveq1d 7185 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐴𝐵)) = ((𝑡 · (𝐴𝐵))𝐺(𝐴𝐵)))
4639, 41mulcomd 10740 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) · 𝑡))
4746oveq1d 7185 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → ((𝑡 · (𝐴𝐵))𝐺(𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴𝐵)))
4845, 47eqtrd 2773 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → ((𝐶𝐵)𝐺(𝐴𝐵)) = (((𝐴𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴𝐵)))
4941, 39mulcld 10739 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → ((𝐴𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ)
501sigarac 43907 . . . . . 6 ((((𝐴𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴𝐵)) = -((𝐴𝐵)𝐺((𝐴𝐵) · 𝑡)))
5149, 41, 50syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → (((𝐴𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴𝐵)) = -((𝐴𝐵)𝐺((𝐴𝐵) · 𝑡)))
521sigarls 43912 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵)𝐺((𝐴𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴𝐵)𝐺(𝐴𝐵)) · 𝑡))
5341, 41, 38, 52syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → ((𝐴𝐵)𝐺((𝐴𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴𝐵)𝐺(𝐴𝐵)) · 𝑡))
541sigarid 43913 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴𝐵)𝐺(𝐴𝐵)) = 0)
5541, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → ((𝐴𝐵)𝐺(𝐴𝐵)) = 0)
5655oveq1d 7185 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → (((𝐴𝐵)𝐺(𝐴𝐵)) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
5739mul02d 10916 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → (0 · 𝑡) = 0)
5853, 56, 573eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → ((𝐴𝐵)𝐺((𝐴𝐵) · 𝑡)) = 0)
5958negeqd 10958 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → -((𝐴𝐵)𝐺((𝐴𝐵) · 𝑡)) = -0)
60 neg0 11010 . . . . . 6 -0 = 0
6160a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → -0 = 0)
6251, 59, 613eqtrd 2777 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → (((𝐴𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴𝐵)) = 0)
6336, 48, 623eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))) → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0)
6463rexlimdv3a 3196 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵))) → ((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0))
6535, 64impbid 215 1 (𝜑 → (((𝐴𝐶)𝐺(𝐵𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴𝐵)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3054  cfv 6339  (class class class)co 7170  cmpo 7172  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615   + caddc 10618   · cmul 10620  cmin 10948  -cneg 10949   / cdiv 11375  ccj 14545  cim 14547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-2 11779  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator