Theorem sigarcol 46862

Description: Given three points 𝐴, 𝐵 and 𝐶 such that ¬ 𝐴 = 𝐵, the point 𝐶 lies on the line going through 𝐴 and 𝐵 iff the corresponding signed area is zero. That justifies the usage of signed area as a collinearity indicator. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigarcol.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarcol.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigarcol.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sigarcol	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝐴   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦   𝑡,𝐶,𝑥,𝑦   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarcol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigarcol.sigar	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		sigarcol.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
8		sigarcol.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
10	1	sigarperm 46858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))
12	1	sigarperm 46858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
13	6, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
14	11, 13	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
15	14	eqeq1d 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0))
16	15	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
17	1, 7, 9, 16	sigardiv 46859	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
18	4, 3	subcld 11533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
20	5, 3	subcld 11533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	9	neqned 2932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐴 ≠ 𝐵)
25	22, 23, 24	subne0d 11542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
26	19, 21, 25	divcan1d 11959	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
27	26	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) = (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)))
28	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
29	23, 28	pncan3d 11536	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶)
30	27, 29	eqtr2d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
31		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
32	31	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) → (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))) = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
33	32	rspceeqv 3611	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
34	17, 30, 33	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
35	34	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))
36	14	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
37	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
38		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
39	38	recnd 11202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℂ)
40	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40, 37	subcld 11533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
43		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
44	37, 42, 43	mvrladdd 11591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))
45	44	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = ((𝑡 · (𝐴 − 𝐵))𝐺(𝐴 − 𝐵)))
46	39, 41	mulcomd 11195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑡))
47	46	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝑡 · (𝐴 − 𝐵))𝐺(𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
48	45, 47	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
49	41, 39	mulcld 11194	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ)
50	1	sigarac 46850	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)))
51	49, 41, 50	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)))
52	1	sigarls 46855	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡))
53	41, 41, 38, 52	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡))
54	1	sigarid 46856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
55	41, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
56	55	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
57	39	mul02d 11372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (0 · 𝑡) = 0)
58	53, 56, 57	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = 0)
59	58	negeqd 11415	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = -0)
60		neg0 11468	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → -0 = 0)
62	51, 59, 61	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
63	36, 48, 62	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0)
64	63	rexlimdv3a 3138	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0))
65	35, 64	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835  ∗ccj 15062  ℑcim 15064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067

This theorem is referenced by: (None)