Theorem sigarcol 47314

Description: Given three points 𝐴, 𝐵 and 𝐶 such that ¬ 𝐴 = 𝐵, the point 𝐶 lies on the line going through 𝐴 and 𝐵 iff the corresponding signed area is zero. That justifies the usage of signed area as a collinearity indicator. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigarcol.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarcol.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigarcol.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sigarcol	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝐴   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦   𝑡,𝐶,𝑥,𝑦   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarcol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigarcol.sigar	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		sigarcol.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1149	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2	simp3d 1150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2	simp1d 1148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	3jca 1134	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
8		sigarcol.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
10	1	sigarperm 47310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))
12	1	sigarperm 47310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
13	6, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
14	11, 13	eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
15	14	eqeq1d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0))
16	15	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
17	1, 7, 9, 16	sigardiv 47311	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
18	4, 3	subcld 11503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
20	5, 3	subcld 11503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	9	neqned 2942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐴 ≠ 𝐵)
25	22, 23, 24	subne0d 11512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
26	19, 21, 25	divcan1d 11930	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
27	26	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) = (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)))
28	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
29	23, 28	pncan3d 11506	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶)
30	27, 29	eqtr2d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
31		oveq1 7370	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
32	31	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) → (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))) = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
33	32	rspceeqv 3590	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
34	17, 30, 33	syl2anc 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
35	34	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))
36	14	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
37	3	3ad2ant1 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
38		simp2 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
39	38	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℂ)
40	5	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40, 37	subcld 11503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
43		simp3 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
44	37, 42, 43	mvrladdd 11561	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))
45	44	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = ((𝑡 · (𝐴 − 𝐵))𝐺(𝐴 − 𝐵)))
46	39, 41	mulcomd 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑡))
47	46	oveq1d 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝑡 · (𝐴 − 𝐵))𝐺(𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
48	45, 47	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
49	41, 39	mulcld 11163	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ)
50	1	sigarac 47302	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)))
51	49, 41, 50	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)))
52	1	sigarls 47307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡))
53	41, 41, 38, 52	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡))
54	1	sigarid 47308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
55	41, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
56	55	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
57	39	mul02d 11342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (0 · 𝑡) = 0)
58	53, 56, 57	3eqtrd 2779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = 0)
59	58	negeqd 11385	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = -0)
60		neg0 11438	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → -0 = 0)
62	51, 59, 61	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
63	36, 48, 62	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0)
64	63	rexlimdv3a 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0))
65	35, 64	impbid 213	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ∈ cmpo 7365  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036   + caddc 11039   · cmul 11041   − cmin 11375  -cneg 11376   / cdiv 11805  ∗ccj 15056  ℑcim 15058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061

This theorem is referenced by: (None)