Theorem sigarcol 45878

Description: Given three points 𝐴, 𝐵 and 𝐶 such that ¬ 𝐴 = 𝐵, the point 𝐶 lies on the line going through 𝐴 and 𝐵 iff the corresponding signed area is zero. That justifies the usage of signed area as a collinearity indicator. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigarcol.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarcol.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigarcol.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sigarcol	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝐴   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦   𝑡,𝐶,𝑥,𝑦   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarcol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigarcol.sigar	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		sigarcol.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2	simp3d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2	simp1d 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	3jca 1126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7	6	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
8		sigarcol.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
9	8	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
10	1	sigarperm 45874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))
12	1	sigarperm 45874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
13	6, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
14	11, 13	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
15	14	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0))
16	15	biimpa 475	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
17	1, 7, 9, 16	sigardiv 45875	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
18	4, 3	subcld 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	18	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
20	5, 3	subcld 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
21	20	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	5	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	3	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	9	neqned 2945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐴 ≠ 𝐵)
25	22, 23, 24	subne0d 11584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
26	19, 21, 25	divcan1d 11995	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
27	26	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) = (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)))
28	4	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
29	23, 28	pncan3d 11578	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶)
30	27, 29	eqtr2d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
31		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
32	31	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) → (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))) = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
33	32	rspceeqv 3632	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
34	17, 30, 33	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
35	34	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))
36	14	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
37	3	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
38		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
39	38	recnd 11246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℂ)
40	5	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40, 37	subcld 11575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 11238	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
43		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
44	37, 42, 43	mvrladdd 11631	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))
45	44	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = ((𝑡 · (𝐴 − 𝐵))𝐺(𝐴 − 𝐵)))
46	39, 41	mulcomd 11239	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑡))
47	46	oveq1d 7426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝑡 · (𝐴 − 𝐵))𝐺(𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
48	45, 47	eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
49	41, 39	mulcld 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ)
50	1	sigarac 45866	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)))
51	49, 41, 50	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)))
52	1	sigarls 45871	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡))
53	41, 41, 38, 52	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡))
54	1	sigarid 45872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
55	41, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
56	55	oveq1d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
57	39	mul02d 11416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (0 · 𝑡) = 0)
58	53, 56, 57	3eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = 0)
59	58	negeqd 11458	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = -0)
60		neg0 11510	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → -0 = 0)
62	51, 59, 61	3eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
63	36, 48, 62	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0)
64	63	rexlimdv3a 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0))
65	35, 64	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3068  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   · cmul 11117   − cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  ∗ccj 15047  ℑcim 15049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052

This theorem is referenced by: (None)