Theorem sigarcol 44267

Description: Given three points 𝐴, 𝐵 and 𝐶 such that ¬ 𝐴 = 𝐵, the point 𝐶 lies on the line going through 𝐴 and 𝐵 iff the corresponding signed area is zero. That justifies the usage of signed area as a collinearity indicator. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sigarcol.sigar	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
sigarcol.a	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
sigarcol.b	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sigarcol	⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝐴   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦   𝑡,𝐶,𝑥,𝑦   𝑡,𝐺   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarcol

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sigarcol.sigar	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
2		sigarcol.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
3	2	simp2d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2	simp3d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	2	simp1d 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	3jca 1126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
8		sigarcol.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 𝐵)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
10	1	sigarperm 44263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)))
12	1	sigarperm 44263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
13	6, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴)𝐺(𝐶 − 𝐴)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
14	11, 13	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
15	14	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0))
16	15	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
17	1, 7, 9, 16	sigardiv 44264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
18	4, 3	subcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
20	5, 3	subcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
22	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
23	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	9	neqned 2949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐴 ≠ 𝐵)
25	22, 23, 24	subne0d 11271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐴 − 𝐵) ≠ 0)
26	19, 21, 25	divcan1d 11682	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)) = (𝐶 − 𝐵))
27	26	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))) = (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)))
28	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
29	23, 28	pncan3d 11265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶)
30	27, 29	eqtr2d 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
31		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) = (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))
32	31	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = ((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) → (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))) = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵))))
33	32	rspceeqv 3567	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (((𝐶 − 𝐵) / (𝐴 − 𝐵)) · (𝐴 − 𝐵)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
34	17, 30, 33	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0) → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
35	34	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 → ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))
36	14	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
37	3	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
38		simp2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
39	38	recnd 10934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝑡 ∈ ℂ)
40	5	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	40, 37	subcld 11262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
42	39, 41	mulcld 10926	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
43		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))))
44	37, 42, 43	mvrladdd 11318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝐶 − 𝐵) = (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))
45	44	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = ((𝑡 · (𝐴 − 𝐵))𝐺(𝐴 − 𝐵)))
46	39, 41	mulcomd 10927	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐴 − 𝐵) · 𝑡))
47	46	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝑡 · (𝐴 − 𝐵))𝐺(𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
48	45, 47	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐶 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)))
49	41, 39	mulcld 10926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ)
50	1	sigarac 44255	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 𝐵) · 𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)))
51	49, 41, 50	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)))
52	1	sigarls 44260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡))
53	41, 41, 38, 52	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡))
54	1	sigarid 44261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
55	41, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
56	55	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵)𝐺(𝐴 − 𝐵)) · 𝑡) = (0 · 𝑡))
57	39	mul02d 11103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (0 · 𝑡) = 0)
58	53, 56, 57	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = 0)
59	58	negeqd 11145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → -((𝐴 − 𝐵)𝐺((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)) = -0)
60		neg0 11197	. . . . . 6 ⊢ -0 = 0
61	60	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → -0 = 0)
62	51, 59, 61	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → (((𝐴 − 𝐵) · 𝑡)𝐺(𝐴 − 𝐵)) = 0)
63	36, 48, 62	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0)
64	63	rexlimdv3a 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵))) → ((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0))
65	35, 64	impbid 211	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 − 𝐶)𝐺(𝐵 − 𝐶)) = 0 ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ 𝐶 = (𝐵 + (𝑡 · (𝐴 − 𝐵)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  -cneg 11136   / cdiv 11562  ∗ccj 14735  ℑcim 14737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740

This theorem is referenced by: (None)