Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarcol Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigarcol 45037
Description: Given three points ๐ด, ๐ต and ๐ถ such that ยฌ ๐ด = ๐ต, the point ๐ถ lies on the line going through ๐ด and ๐ต iff the corresponding signed area is zero. That justifies the usage of signed area as a collinearity indicator. (Contributed by Saveliy Skresanov, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sigarcol.sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
sigarcol.a (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
sigarcol.b (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด = ๐ต)
Assertion
Ref Expression
sigarcol (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0 โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ก,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ก,๐ต,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ก,๐ถ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ก,๐บ   ๐œ‘,๐‘ก
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sigarcol
StepHypRef Expression
1 sigarcol.sigar . . . . 5 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
2 sigarcol.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
32simp2d 1143 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
42simp3d 1144 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
52simp1d 1142 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
63, 4, 53jca 1128 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚))
76adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚))
8 sigarcol.b . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐ด = ๐ต)
98adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ ยฌ ๐ด = ๐ต)
101sigarperm 45033 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ด)))
112, 10syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ด)))
121sigarperm 45033 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)))
136, 12syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ด)๐บ(๐ถ โˆ’ ๐ด)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)))
1411, 13eqtrd 2776 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)))
1514eqeq1d 2738 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0 โ†” ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 0))
1615biimpa 477 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 0)
171, 7, 9, 16sigardiv 45034 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
184, 3subcld 11508 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
205, 3subcld 11508 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2120adantr 481 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
225adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
233adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
249neqned 2948 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ ๐ด โ‰  ๐ต)
2522, 23, 24subne0d 11517 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰  0)
2619, 21, 25divcan1d 11928 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ถ โˆ’ ๐ต))
2726oveq2d 7369 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ (๐ต + (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) = (๐ต + (๐ถ โˆ’ ๐ต)))
284adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2923, 28pncan3d 11511 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ (๐ต + (๐ถ โˆ’ ๐ต)) = ๐ถ)
3027, 29eqtr2d 2777 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ ๐ถ = (๐ต + (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
31 oveq1 7360 . . . . . 6 (๐‘ก = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
3231oveq2d 7369 . . . . 5 (๐‘ก = ((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†’ (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) = (๐ต + (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
3332rspceeqv 3593 . . . 4 ((((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (((๐ถ โˆ’ ๐ต) / (๐ด โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
3417, 30, 33syl2anc 584 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
3534ex 413 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0 โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))))
36143ad2ant1 1133 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)))
3733ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
38 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
3938recnd 11179 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
4053ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4140, 37subcld 11508 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
4239, 41mulcld 11171 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„‚)
43 simp3 1138 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
4437, 42, 43mvrladdd 11564 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))
4544oveq1d 7368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)))
4639, 41mulcomd 11172 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก))
4746oveq1d 7368 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ((๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)))
4845, 47eqtrd 2776 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)))
4941, 39mulcld 11171 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก) โˆˆ โ„‚)
501sigarac 45025 . . . . . 6 ((((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) = -((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก)))
5149, 41, 50syl2anc 584 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) = -((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก)))
521sigarls 45030 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) ยท ๐‘ก))
5341, 41, 38, 52syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก)) = (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) ยท ๐‘ก))
541sigarid 45031 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 0)
5541, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 0)
5655oveq1d 7368 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) ยท ๐‘ก) = (0 ยท ๐‘ก))
5739mul02d 11349 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ (0 ยท ๐‘ก) = 0)
5853, 56, 573eqtrd 2780 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก)) = 0)
5958negeqd 11391 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ -((๐ด โˆ’ ๐ต)๐บ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก)) = -0)
60 neg0 11443 . . . . . 6 -0 = 0
6160a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ -0 = 0)
6251, 59, 613eqtrd 2780 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘ก)๐บ(๐ด โˆ’ ๐ต)) = 0)
6336, 48, 623eqtrd 2780 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0)
6463rexlimdv3a 3154 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0))
6535, 64impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ถ)๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = 0 โ†” โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ ๐ถ = (๐ต + (๐‘ก ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3071  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7353   โˆˆ cmpo 7355  โ„‚cc 11045  โ„cr 11046  0cc0 11047   + caddc 11050   ยท cmul 11052   โˆ’ cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11808  โˆ—ccj 14973  โ„‘cim 14975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-2 12212  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator