MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjdiv 14522
Description: Complex conjugate distributes over division. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cjdiv ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjdiv
StepHypRef Expression
1 divcl 11303 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
2 cjcl 14463 . . . 4 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
4 simp2 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 cjcl 14463 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
7 simp3 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
8 cjne0 14521 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐵) ≠ 0))
94, 8syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐵) ≠ 0))
107, 9mpbid 234 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘𝐵) ≠ 0)
113, 6, 10divcan4d 11421 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) / (∗‘𝐵)) = (∗‘(𝐴 / 𝐵)))
12 cjmul 14500 . . . . 5 (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)))
131, 4, 12syl2anc 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)))
14 divcan1 11306 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
1514fveq2d 6673 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = (∗‘𝐴))
1613, 15eqtr3d 2858 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) = (∗‘𝐴))
1716oveq1d 7170 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) / (∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))
1811, 17eqtr3d 2858 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  0cc0 10536   · cmul 10541   / cdiv 11296  ccj 14454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-2 11699  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459
This theorem is referenced by:  cjdivi  14549  cjdivd  14581  dipcj  28490
  Copyright terms: Public domain W3C validator