Theorem cjdiv 15071

Description: Complex conjugate distributes over division. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cjdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))

Proof of Theorem cjdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcl 11782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
2		cjcl 15012	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
4		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		cjcl 15012	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
7		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
8		cjne0 15070	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐵) ≠ 0))
9	4, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ≠ 0 ↔ (∗‘𝐵) ≠ 0))
10	7, 9	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘𝐵) ≠ 0)
11	3, 6, 10	divcan4d 11903	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) / (∗‘𝐵)) = (∗‘(𝐴 / 𝐵)))
12		cjmul 15049	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)))
13	1, 4, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)))
14		divcan1 11785	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 / 𝐵) · 𝐵) = 𝐴)
15	14	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘((𝐴 / 𝐵) · 𝐵)) = (∗‘𝐴))
16	13, 15	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) = (∗‘𝐴))
17	16	oveq1d 7361	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (((∗‘(𝐴 / 𝐵)) · (∗‘𝐵)) / (∗‘𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))
18	11, 17	eqtr3d 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∗‘(𝐴 / 𝐵)) = ((∗‘𝐴) / (∗‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006   · cmul 11011   / cdiv 11774  ∗ccj 15003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008

This theorem is referenced by:  cjdivi  15098  cjdivd  15130  dipcj  30694