MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcj Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dipcj 29954
Description: The complex conjugate of an inner product reverses its arguments. Equation I1 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dipcj ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴))
Proof of Theorem dipcj
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2732 . . . 4 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
3 eqid 2732 . . . 4 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2732 . . . 4 (normCVβ€˜π‘ˆ) = (normCVβ€˜π‘ˆ)
5 ipcl.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 29947 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) = ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) / 4))
76fveq2d 6892 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (βˆ—β€˜((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) / 4)))
81, 2, 3, 4, 5ipval2 29947 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) = ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))) / 4))
983com23 1126 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) = ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))) / 4))
101, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 29945 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) ∈ ℝ)
1110recnd 11238 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) ∈ β„‚)
12 neg1cn 12322 . . . . . . . 8 -1 ∈ β„‚
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 29946 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1412, 13mpan2 689 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1511, 14subcld 11567 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
16 ax-icn 11165 . . . . . . 7 i ∈ β„‚
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 29946 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ i ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
1816, 17mpan2 689 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
19 negicn 11457 . . . . . . . . 9 -i ∈ β„‚
201, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 29946 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ -i ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
2119, 20mpan2 689 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ β„‚)
2218, 21subcld 11567 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ β„‚)
23 mulcl 11190 . . . . . . 7 ((i ∈ β„‚ ∧ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
2416, 22, 23sylancr 587 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))) ∈ β„‚)
2515, 24addcld 11229 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) ∈ β„‚)
26 4cn 12293 . . . . . 6 4 ∈ β„‚
27 4ne0 12316 . . . . . 6 4 β‰  0
28 cjdiv 15107 . . . . . 6 (((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) ∈ β„‚ ∧ 4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0) β†’ (βˆ—β€˜((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) / 4)) = ((βˆ—β€˜(((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))))) / (βˆ—β€˜4)))
2926, 27, 28mp3an23 1453 . . . . 5 ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) ∈ β„‚ β†’ (βˆ—β€˜((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) / 4)) = ((βˆ—β€˜(((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))))) / (βˆ—β€˜4)))
3025, 29syl 17 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) / 4)) = ((βˆ—β€˜(((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))))) / (βˆ—β€˜4)))
31 4re 12292 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
32 cjre 15082 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜4) = 4)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆ—β€˜4) = 4
3433oveq2i 7416 . . . . 5 ((βˆ—β€˜(((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))))) / (βˆ—β€˜4)) = ((βˆ—β€˜(((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))))) / 4)
351, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 29944 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ ℝ)
3612, 35mpan2 689 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ ℝ)
3710, 36resubcld 11638 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ ℝ)
381, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 29944 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ i ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ ℝ)
3916, 38mpan2 689 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ ℝ)
401, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 29944 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ -i ∈ β„‚) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ ℝ)
4119, 40mpan2 689 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) ∈ ℝ)
4239, 41resubcld 11638 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ ℝ)
43 cjreim 15103 . . . . . . . 8 ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ ℝ) β†’ (βˆ—β€˜(((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))))) = (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))))
4437, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))))) = (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))))
45 submul2 11650 . . . . . . . . 9 ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ β„‚ ∧ i ∈ β„‚ ∧ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ β„‚) β†’ (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) = (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· -((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))))
4616, 45mp3an2 1449 . . . . . . . 8 ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ β„‚ ∧ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) ∈ β„‚) β†’ (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) = (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· -((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))))
4715, 22, 46syl2anc 584 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) βˆ’ (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) = (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· -((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))))
481, 2nvcom 29861 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡) = (𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))
4948fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡)) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)))
5049oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2))
511, 2, 3, 4nvdif 29906 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
5251oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2))
5350, 52oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) = ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))
5418, 21negsubdi2d 11583 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ -((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) = ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))
551, 2, 3, 4nvpi 29907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))))
56553com23 1126 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))))
5756eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
5857oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2))
591, 2, 3, 4nvpi 29907 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡))) = ((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴))))
6059oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) = (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2))
6158, 60oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) = ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))
6254, 61eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ -((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) = ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))
6362oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (i Β· -((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))) = (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2))))
6453, 63oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· -((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) = (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))))
6544, 47, 643eqtrd 2776 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))))) = (((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))))
6665oveq1d 7420 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ—β€˜(((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))))) / 4) = ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))) / 4))
6734, 66eqtrid 2784 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((βˆ—β€˜(((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2))))) / (βˆ—β€˜4)) = ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))) / 4))
6830, 67eqtrd 2772 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) / 4)) = ((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐡( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐴)))↑2)))) / 4))
699, 68eqtr4d 2775 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑃𝐴) = (βˆ—β€˜((((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐡))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)) + (i Β· ((((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2) βˆ’ (((normCVβ€˜π‘ˆ)β€˜(𝐴( +𝑣 β€˜π‘ˆ)(-i( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)))↑2)))) / 4)))
707, 69eqtr4d 2775 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ—β€˜(𝐴𝑃𝐡)) = (𝐡𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   Β· cmul 11111   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  4c4 12265  β†‘cexp 14023  βˆ—ccj 15039  NrmCVeccnv 29824   +𝑣 cpv 29825  BaseSetcba 29826   ·𝑠OLD cns 29827  normCVcnmcv 29830  Β·π‘–OLDcdip 29940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-grpo 29733  df-gid 29734  df-ginv 29735  df-ablo 29785  df-vc 29799  df-nv 29832  df-va 29835  df-ba 29836  df-sm 29837  df-0v 29838  df-nmcv 29840  df-dip 29941
This theorem is referenced by:  ipipcj  29955  diporthcom  29956  dip0l  29958  ipasslem10  30079  dipdi  30083  dipassr  30086  dipsubdi  30089  siii  30093  hlipcj  30151
  Copyright terms: Public domain W3C validator