MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipcj 28268
Description: The complex conjugate of an inner product reverses its arguments. Equation I1 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipcj ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))

Proof of Theorem dipcj
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2779 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2779 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2779 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5 ipcl.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 28261 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4))
76fveq2d 6503 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)))
81, 2, 3, 4, 5ipval2 28261 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
983com23 1106 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
101, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 28259 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1110recnd 10468 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) ∈ ℂ)
12 neg1cn 11561 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 28260 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -1 ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1412, 13mpan2 678 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1511, 14subcld 10798 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
16 ax-icn 10394 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 28260 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1816, 17mpan2 678 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
19 negicn 10687 . . . . . . . . 9 -i ∈ ℂ
201, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 28260 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
2119, 20mpan2 678 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
2218, 21subcld 10798 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
23 mulcl 10419 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
2416, 22, 23sylancr 578 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
2515, 24addcld 10459 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ)
26 4cn 11526 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
27 4ne0 11555 . . . . . 6 4 ≠ 0
28 cjdiv 14384 . . . . . 6 (((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
2926, 27, 28mp3an23 1432 . . . . 5 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
3025, 29syl 17 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
31 4re 11525 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
32 cjre 14359 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6 (∗‘4) = 4
3433oveq2i 6987 . . . . 5 ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / 4)
351, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 28258 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -1 ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3612, 35mpan2 678 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3710, 36resubcld 10869 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
381, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 28258 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3916, 38mpan2 678 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
401, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 28258 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
4119, 40mpan2 678 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
4239, 41resubcld 10869 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
43 cjreim 14380 . . . . . . . 8 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4437, 42, 43syl2anc 576 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
45 submul2 10881 . . . . . . . . 9 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4616, 45mp3an2 1428 . . . . . . . 8 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4715, 22, 46syl2anc 576 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
481, 2nvcom 28175 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))
4948fveq2d 6503 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴)))
5049oveq1d 6991 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2))
511, 2, 3, 4nvdif 28220 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
5251oveq1d 6991 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
5350, 52oveq12d 6994 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
5418, 21negsubdi2d 10814 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))
551, 2, 3, 4nvpi 28221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
56553com23 1106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
5756eqcomd 2785 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
5857oveq1d 6991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
591, 2, 3, 4nvpi 28221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
6059oveq1d 6991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
6158, 60oveq12d 6994 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
6254, 61eqtrd 2815 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
6362oveq2d 6992 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) = (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))))
6453, 63oveq12d 6994 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))))
6544, 47, 643eqtrd 2819 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))))
6665oveq1d 6991 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / 4) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
6734, 66syl5eq 2827 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
6830, 67eqtrd 2815 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
699, 68eqtr4d 2818 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)))
707, 69eqtr4d 2818 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2968  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336  ici 10337   + caddc 10338   · cmul 10340  cmin 10670  -cneg 10671   / cdiv 11098  2c2 11495  4c4 11497  cexp 13244  ccj 14316  NrmCVeccnv 28138   +𝑣 cpv 28139  BaseSetcba 28140   ·𝑠OLD cns 28141  normCVcnmcv 28144  ·𝑖OLDcdip 28254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904  df-grpo 28047  df-gid 28048  df-ginv 28049  df-ablo 28099  df-vc 28113  df-nv 28146  df-va 28149  df-ba 28150  df-sm 28151  df-0v 28152  df-nmcv 28154  df-dip 28255
This theorem is referenced by:  ipipcj  28269  diporthcom  28270  dip0l  28272  ipasslem10  28393  dipdi  28397  dipassr  28400  dipsubdi  28403  siii  28407  hlipcj  28466
  Copyright terms: Public domain W3C validator