MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dipcj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dipcj 30647
Description: The complex conjugate of an inner product reverses its arguments. Equation I1 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcl.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipcl.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
dipcj ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))

Proof of Theorem dipcj
StepHypRef Expression
1 ipcl.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2726 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2726 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 eqid 2726 . . . 4 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5 ipcl.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 30640 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4))
76fveq2d 6905 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)))
81, 2, 3, 4, 5ipval2 30640 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
983com23 1123 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
101, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 30638 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1110recnd 11292 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) ∈ ℂ)
12 neg1cn 12378 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30639 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -1 ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1412, 13mpan2 689 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1511, 14subcld 11621 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
16 ax-icn 11217 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30639 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
1816, 17mpan2 689 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
19 negicn 11511 . . . . . . . . 9 -i ∈ ℂ
201, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 30639 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
2119, 20mpan2 689 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
2218, 21subcld 11621 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ)
23 mulcl 11242 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
2416, 22, 23sylancr 585 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) ∈ ℂ)
2515, 24addcld 11283 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ)
26 4cn 12349 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
27 4ne0 12372 . . . . . 6 4 ≠ 0
28 cjdiv 15169 . . . . . 6 (((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
2926, 27, 28mp3an23 1450 . . . . 5 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) ∈ ℂ → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
3025, 29syl 17 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)))
31 4re 12348 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
32 cjre 15144 . . . . . . 7 (4 ∈ ℝ → (∗‘4) = 4)
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6 (∗‘4) = 4
3433oveq2i 7435 . . . . 5 ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)) = ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / 4)
351, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 30637 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -1 ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3612, 35mpan2 689 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3710, 36resubcld 11692 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
381, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 30637 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
3916, 38mpan2 689 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
401, 2, 3, 4, 5ipval2lem2 30637 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ -i ∈ ℂ) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
4119, 40mpan2 689 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
4239, 41resubcld 11692 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
43 cjreim 15165 . . . . . . . 8 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℝ) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4437, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
45 submul2 11704 . . . . . . . . 9 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4616, 45mp3an2 1446 . . . . . . . 8 ((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ ∧ ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) ∈ ℂ) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
4715, 22, 46syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) − (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))))
481, 2nvcom 30554 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝐵) = (𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))
4948fveq2d 6905 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵)) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴)))
5049oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2))
511, 2, 3, 4nvdif 30599 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
5251oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
5350, 52oveq12d 7442 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
5418, 21negsubdi2d 11637 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))
551, 2, 3, 4nvpi 30600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
56553com23 1123 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))))
5756eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
5857oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
591, 2, 3, 4nvpi 30600 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵))) = ((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
6059oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) = (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
6158, 60oveq12d 7442 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
6254, 61eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) = ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
6362oveq2d 7440 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))) = (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))))
6453, 63oveq12d 7442 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · -((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))))
6544, 47, 643eqtrd 2770 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) = (((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))))
6665oveq1d 7439 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / 4) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
6734, 66eqtrid 2778 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ((∗‘(((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2))))) / (∗‘4)) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
6830, 67eqtrd 2766 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)) = ((((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐵( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
699, 68eqtr4d 2769 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐵𝑃𝐴) = (∗‘((((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐵))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)) + (i · ((((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2) − (((normCV𝑈)‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)))↑2)))) / 4)))
707, 69eqtr4d 2769 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (∗‘(𝐴𝑃𝐵)) = (𝐵𝑃𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159  ici 11160   + caddc 11161   · cmul 11163  cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  2c2 12319  4c4 12321  cexp 14081  ccj 15101  NrmCVeccnv 30517   +𝑣 cpv 30518  BaseSetcba 30519   ·𝑠OLD cns 30520  normCVcnmcv 30523  ·𝑖OLDcdip 30633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-grpo 30426  df-gid 30427  df-ginv 30428  df-ablo 30478  df-vc 30492  df-nv 30525  df-va 30528  df-ba 30529  df-sm 30530  df-0v 30531  df-nmcv 30533  df-dip 30634
This theorem is referenced by:  ipipcj  30648  diporthcom  30649  dip0l  30651  ipasslem10  30772  dipdi  30776  dipassr  30779  dipsubdi  30782  siii  30786  hlipcj  30844
  Copyright terms: Public domain W3C validator