MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrecnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrecnv 15204
Description: The inverse to the canonical bijection from (ℝ × ℝ) to from cnref1o 13027. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrecnv.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnrecnv 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrecnv
StepHypRef Expression
1 cnrecnv.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
21cnref1o 13027 . . . . . 6 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
3 f1ocnv 6860 . . . . . 6 (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
4 f1of 6848 . . . . . 6 (𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ)
65a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
76feqmptd 6977 . . 3 (⊤ → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
87mptru 1547 . 2 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧))
9 df-ov 7434 . . . . . . 7 ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
10 recl 15149 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
11 imcl 15150 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
12 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)))
13 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘𝑧)))
1413oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
15 ovex 7464 . . . . . . . . 9 ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ V
1612, 14, 1, 15ovmpo 7593 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
1710, 11, 16syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
189, 17eqtr3id 2791 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
19 replim 15155 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
2018, 19eqtr4d 2780 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = 𝑧)
2120fveq2d 6910 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = (𝐹𝑧))
2210, 11opelxpd 5724 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
23 f1ocnvfv1 7296 . . . . 5 ((𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ∧ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
242, 22, 23sylancr 587 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
2521, 24eqtr3d 2779 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹𝑧) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
2625mpteq2ia 5245 . 2 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
278, 26eqtri 2765 1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  cop 4632  cmpt 5225   × cxp 5683  ccnv 5684  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11153  cr 11154  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160  cre 15136  cim 15137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140
This theorem is referenced by:  cnrehmeo  24984  cnrehmeoOLD  24985  cnheiborlem  24986  mbfimaopnlem  25690
  Copyright terms: Public domain W3C validator