Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrecnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrecnv 14113
 Description: The inverse to the canonical bijection from (ℝ × ℝ) to ℂ from cnref1o 12030. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrecnv.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnrecnv 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrecnv
StepHypRef Expression
1 cnrecnv.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
21cnref1o 12030 . . . . . 6 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
3 f1ocnv 6290 . . . . . 6 (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
4 f1of 6278 . . . . . 6 (𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ)
65a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
76feqmptd 6391 . . 3 (⊤ → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
87trud 1641 . 2 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧))
9 df-ov 6796 . . . . . . 7 ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
10 recl 14058 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
11 imcl 14059 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
12 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)))
13 oveq2 6801 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘𝑧)))
1413oveq2d 6809 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
15 ovex 6823 . . . . . . . . 9 ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ V
1612, 14, 1, 15ovmpt2 6943 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
1710, 11, 16syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
189, 17syl5eqr 2819 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
19 replim 14064 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
2018, 19eqtr4d 2808 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = 𝑧)
2120fveq2d 6336 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = (𝐹𝑧))
22 opelxpi 5288 . . . . . 6 (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
2310, 11, 22syl2anc 573 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
24 f1ocnvfv1 6675 . . . . 5 ((𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ∧ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
252, 23, 24sylancr 575 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
2621, 25eqtr3d 2807 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹𝑧) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
2726mpteq2ia 4874 . 2 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
288, 27eqtri 2793 1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1631  ⊤wtru 1632   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4322   ↦ cmpt 4863   × cxp 5247  ◡ccnv 5248  ⟶wf 6027  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  ℂcc 10136  ℝcr 10137  ici 10140   + caddc 10141   · cmul 10143  ℜcre 14045  ℑcim 14046 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049 This theorem is referenced by:  cnrehmeo  22972  cnheiborlem  22973  mbfimaopnlem  23642
 Copyright terms: Public domain W3C validator