Theorem cnrecnv 15215

Description: The inverse to the canonical bijection from (ℝ × ℝ) to ℂ from cnref1o 13008. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrecnv.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
cnrecnv	⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrecnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrecnv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2	1	cnref1o 13008	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
3		f1ocnv 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → ◡𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
4		f1of 6821	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
7	6	feqmptd 6950	. . 3 ⊢ (⊤ → ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧)))
8	7	mptru 1574	. 2 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧))
9		df-ov 7414	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
10		recl 15160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
11		imcl 15161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
12		oveq1 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)))
13		oveq2 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘𝑧)))
14	13	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
15		ovex 7444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ V
16	12, 14, 1, 15	ovmpo 7571	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
17	10, 11, 16	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
18	9, 17	eqtr3id 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
19		replim 15166	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
20	18, 19	eqtr4d 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = 𝑧)
21	20	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = (◡𝐹‘𝑧))
22	10, 11	opelxpd 5701	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
23		f1ocnvfv1 7275	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ∧ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ)) → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
24	2, 22, 23	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
25	21, 24	eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘𝑧) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
26	25	mpteq2ia 5210	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
27	8, 26	eqtri 2792	1 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)

Syntax hints:   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  ^◡ccnv 5661  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  ℂcc 11097  ℝcr 11098  ici 11101   + caddc 11102   · cmul 11104  ℜcre 15147  ℑcim 15148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151

This theorem is referenced by:  cnrehmeo  25080  cnheiborlem  25081  mbfimaopnlem  25782