MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfres 23443
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfres.c 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextfres.b 𝐡 = βˆͺ 𝐾
cnextfres.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnextfres.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
cnextfres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
cnextfres.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
cnextfres.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnextfres (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem cnextfres
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextfres.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 cnextfres.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
3 cnextfres.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
4 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)
5 cnextfres.b . . . . . 6 𝐡 = βˆͺ 𝐾
64, 5cnf 22620 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡)
73, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡)
8 cnextfres.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
9 cnextfres.c . . . . . . 7 𝐢 = βˆͺ 𝐽
109restuni 22536 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1211feq2d 6658 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ↔ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡))
137, 12mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
149, 5cnextfun 23438 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
151, 2, 13, 8, 14syl22anc 838 . 2 (πœ‘ β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
169sscls 22430 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
171, 8, 16syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
18 cnextfres.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
1917, 18sseldd 3949 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
209, 5, 1, 8, 3, 18flfcntr 23417 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
21 sneq 4600 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
2221fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
2322oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))
2423oveq2d 7377 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴)))
2524fveq1d 6848 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
2625opeliunxp2 5798 . . . . 5 (βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
2719, 20, 26sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
28 haustop 22705 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
292, 28syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
309, 5cnextfval 23436 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
311, 29, 13, 8, 30syl22anc 838 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
3227, 31eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
33 df-br 5110 . . 3 (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
3432, 33sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)(πΉβ€˜π‘‹))
35 funbrfv 6897 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†’ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)(πΉβ€˜π‘‹) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹)))
3615, 34, 35sylc 65 1 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  {csn 4590  βŸ¨cop 4596  βˆͺ cuni 4869  βˆͺ ciun 4958   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   β†Ύt crest 17310  Topctop 22265  clsccl 22392  neicnei 22471   Cn ccn 22598  Hauscha 22682   fLimf cflf 23309  CnExtccnext 23433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-fin 8893  df-fi 9355  df-rest 17312  df-topgen 17333  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-cnext 23434
This theorem is referenced by:  rrhqima  32659
  Copyright terms: Public domain W3C validator