MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfres 24077
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfres.c 𝐶 = 𝐽
cnextfres.b 𝐵 = 𝐾
cnextfres.j (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextfres.k (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextfres.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextfres.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
cnextfres.x (𝜑𝑋𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnextfres (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋))

Proof of Theorem cnextfres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextfres.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
2 cnextfres.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
3 cnextfres.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
4 eqid 2737 . . . . . 6 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
5 cnextfres.b . . . . . 6 𝐵 = 𝐾
64, 5cnf 23254 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) → 𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵)
8 cnextfres.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
9 cnextfres.c . . . . . . 7 𝐶 = 𝐽
109restuni 23170 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
1211feq2d 6722 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵))
137, 12mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
149, 5cnextfun 24072 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
151, 2, 13, 8, 14syl22anc 839 . 2 (𝜑 → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
169sscls 23064 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
171, 8, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
18 cnextfres.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
1917, 18sseldd 3984 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
209, 5, 1, 8, 3, 18flfcntr 24051 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
21 sneq 4636 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
2221fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑋}))
2322oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))
2423oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴)))
2524fveq1d 6908 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
2625opeliunxp2 5849 . . . . 5 (⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ (𝐹𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
2719, 20, 26sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
28 haustop 23339 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
292, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
309, 5cnextfval 24070 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
311, 29, 13, 8, 30syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
3227, 31eleqtrrd 2844 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
33 df-br 5144 . . 3 (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹𝑋) ↔ ⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
3432, 33sylibr 234 . 2 (𝜑𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹𝑋))
35 funbrfv 6957 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) → (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹𝑋) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋)))
3615, 34, 35sylc 65 1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  {csn 4626  cop 4632   cuni 4907   ciun 4991   class class class wbr 5143   × cxp 5683  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  t crest 17465  Topctop 22899  clsccl 23026  neicnei 23105   Cn ccn 23232  Hauscha 23316   fLimf cflf 23943  CnExtccnext 24067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-cnext 24068
This theorem is referenced by:  rrhqima  34015
  Copyright terms: Public domain W3C validator