MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnextfres 23924
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfres.c 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextfres.b 𝐡 = βˆͺ 𝐾
cnextfres.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnextfres.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
cnextfres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
cnextfres.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
cnextfres.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnextfres (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
Proof of Theorem cnextfres
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextfres.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 cnextfres.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
3 cnextfres.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
4 eqid 2726 . . . . . 6 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)
5 cnextfres.b . . . . . 6 𝐡 = βˆͺ 𝐾
64, 5cnf 23101 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡)
73, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡)
8 cnextfres.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
9 cnextfres.c . . . . . . 7 𝐢 = βˆͺ 𝐽
109restuni 23017 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1211feq2d 6696 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ↔ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡))
137, 12mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
149, 5cnextfun 23919 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
151, 2, 13, 8, 14syl22anc 836 . 2 (πœ‘ β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
169sscls 22911 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
171, 8, 16syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
18 cnextfres.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
1917, 18sseldd 3978 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
209, 5, 1, 8, 3, 18flfcntr 23898 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
21 sneq 4633 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
2221fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
2322oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))
2423oveq2d 7420 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴)))
2524fveq1d 6886 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
2625opeliunxp2 5831 . . . . 5 (βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
2719, 20, 26sylanbrc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
28 haustop 23186 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
292, 28syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
309, 5cnextfval 23917 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
311, 29, 13, 8, 30syl22anc 836 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
3227, 31eleqtrrd 2830 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
33 df-br 5142 . . 3 (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
3432, 33sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)(πΉβ€˜π‘‹))
35 funbrfv 6935 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†’ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)(πΉβ€˜π‘‹) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹)))
3615, 34, 35sylc 65 1 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βŸ¨cop 4629  βˆͺ cuni 4902  βˆͺ ciun 4990   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  Fun wfun 6530  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   β†Ύt crest 17373  Topctop 22746  clsccl 22873  neicnei 22952   Cn ccn 23079  Hauscha 23163   fLimf cflf 23790  CnExtccnext 23914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-top 22747  df-topon 22764  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-cnext 23915
This theorem is referenced by:  rrhqima  33524
  Copyright terms: Public domain W3C validator