MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnextfres 23572
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfres.c 𝐢 = βˆͺ 𝐽
cnextfres.b 𝐡 = βˆͺ 𝐾
cnextfres.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
cnextfres.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
cnextfres.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
cnextfres.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
cnextfres.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnextfres (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
Proof of Theorem cnextfres
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextfres.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
2 cnextfres.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Haus)
3 cnextfres.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
4 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)
5 cnextfres.b . . . . . 6 𝐡 = βˆͺ 𝐾
64, 5cnf 22749 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡)
73, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡)
8 cnextfres.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝐢)
9 cnextfres.c . . . . . . 7 𝐢 = βˆͺ 𝐽
109restuni 22665 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
1211feq2d 6703 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ↔ 𝐹:βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐴)⟢𝐡))
137, 12mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
149, 5cnextfun 23567 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
151, 2, 13, 8, 14syl22anc 837 . 2 (πœ‘ β†’ Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
169sscls 22559 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢) β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
171, 8, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
18 cnextfres.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐴)
1917, 18sseldd 3983 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄))
209, 5, 1, 8, 3, 18flfcntr 23546 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
21 sneq 4638 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {π‘₯} = {𝑋})
2221fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) = ((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}))
2322oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴) = (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))
2423oveq2d 7424 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴)))
2524fveq1d 6893 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ) = ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ))
2625opeliunxp2 5838 . . . . 5 (βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)) ↔ (𝑋 ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{𝑋}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
2719, 20, 26sylanbrc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
28 haustop 22834 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Haus β†’ 𝐾 ∈ Top)
292, 28syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
309, 5cnextfval 23565 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐴 βŠ† 𝐢)) β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
311, 29, 13, 8, 30syl22anc 837 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) = βˆͺ π‘₯ ∈ ((clsβ€˜π½)β€˜π΄)({π‘₯} Γ— ((𝐾 fLimf (((neiβ€˜π½)β€˜{π‘₯}) β†Ύt 𝐴))β€˜πΉ)))
3227, 31eleqtrrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
33 df-br 5149 . . 3 (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘‹)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ))
3432, 33sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)(πΉβ€˜π‘‹))
35 funbrfv 6942 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ) β†’ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)(πΉβ€˜π‘‹) β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹)))
3615, 34, 35sylc 65 1 (πœ‘ β†’ (((𝐽CnExt𝐾)β€˜πΉ)β€˜π‘‹) = (πΉβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   β†Ύt crest 17365  Topctop 22394  clsccl 22521  neicnei 22600   Cn ccn 22727  Hauscha 22811   fLimf cflf 23438  CnExtccnext 23562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-cnext 23563
This theorem is referenced by:  rrhqima  32989
  Copyright terms: Public domain W3C validator