Theorem cnextfres 24205

Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextfres.c	⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
cnextfres.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
cnextfres.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
cnextfres.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
cnextfres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
cnextfres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
cnextfres.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnextfres	⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem cnextfres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnextfres.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		cnextfres.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
3		cnextfres.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)
5		cnextfres.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
6	4, 5	cnf 23382	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵)
7	3, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵)
8		cnextfres.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
9		cnextfres.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
10	9	restuni 23298	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
11	1, 8, 10	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
12	11	feq2d 6689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵))
13	7, 12	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	9, 5	cnextfun 24200	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
15	1, 2, 13, 8, 14	syl22anc 851	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
16	9	sscls 23192	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
17	1, 8, 16	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
18		cnextfres.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
19	17, 18	sseldd 3937	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
20	9, 5, 1, 8, 3, 18	flfcntr 24179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
21		sneq 4598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
22	21	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑋}))
23	22	oveq1d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))
24	23	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴)))
25	24	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
26	25	opeliunxp2 5824	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
27	19, 20, 26	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
28		haustop 23467	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
29	2, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
30	9, 5	cnextfval 24198	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
31	1, 29, 13, 8, 30	syl22anc 851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
32	27, 31	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
33		df-br 5109	. . 3 ⊢ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋) ↔ ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
34	32, 33	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋))
35		funbrfv 6929	. 2 ⊢ (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) → (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋)))
36	15, 34, 35	sylc 66	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  {csn 4588  ⟨cop 4594  ∪ cuni 4871  ∪ ciun 4955   class class class wbr 5108   × cxp 5659  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_t crest 17472  Topctop 23029  clsccl 23154  neicnei 23233   Cn ccn 23360  Hauscha 23444   fLimf cflf 24071  CnExtccnext 24195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-fin 8946  df-fi 9370  df-rest 17474  df-topgen 17495  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-top 23030  df-topon 23047  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-cnext 24196

This theorem is referenced by:  rrhqima  34370