MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextfres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextfres 24093
Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextfres.c 𝐶 = 𝐽
cnextfres.b 𝐵 = 𝐾
cnextfres.j (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextfres.k (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextfres.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextfres.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
cnextfres.x (𝜑𝑋𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnextfres (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋))

Proof of Theorem cnextfres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnextfres.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
2 cnextfres.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
3 cnextfres.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
4 eqid 2735 . . . . . 6 (𝐽t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
5 cnextfres.b . . . . . 6 𝐵 = 𝐾
64, 5cnf 23270 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) → 𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵)
73, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵)
8 cnextfres.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
9 cnextfres.c . . . . . . 7 𝐶 = 𝐽
109restuni 23186 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝐴 = (𝐽t 𝐴))
1211feq2d 6723 . . . 4 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵𝐹: (𝐽t 𝐴)⟶𝐵))
137, 12mpbird 257 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
149, 5cnextfun 24088 . . 3 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
151, 2, 13, 8, 14syl22anc 839 . 2 (𝜑 → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
169sscls 23080 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐶) → 𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
171, 8, 16syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
18 cnextfres.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐴)
1917, 18sseldd 3996 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
209, 5, 1, 8, 3, 18flfcntr 24067 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
21 sneq 4641 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
2221fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑋 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑋}))
2322oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))
2423oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴)))
2524fveq1d 6909 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
2625opeliunxp2 5852 . . . . 5 (⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ (𝐹𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
2719, 20, 26sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
28 haustop 23355 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
292, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
309, 5cnextfval 24086 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴𝐵𝐴𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
311, 29, 13, 8, 30syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
3227, 31eleqtrrd 2842 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
33 df-br 5149 . . 3 (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹𝑋) ↔ ⟨𝑋, (𝐹𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
3432, 33sylibr 234 . 2 (𝜑𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹𝑋))
35 funbrfv 6958 . 2 (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) → (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹𝑋) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋)))
3615, 34, 35sylc 65 1 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  {csn 4631  cop 4637   cuni 4912   ciun 4996   class class class wbr 5148   × cxp 5687  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  t crest 17467  Topctop 22915  clsccl 23042  neicnei 23121   Cn ccn 23248  Hauscha 23332   fLimf cflf 23959  CnExtccnext 24083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-cnext 24084
This theorem is referenced by:  rrhqima  33977
  Copyright terms: Public domain W3C validator