Theorem cnextfres 24098

Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextfres.c	⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
cnextfres.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
cnextfres.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
cnextfres.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
cnextfres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
cnextfres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
cnextfres.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnextfres	⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem cnextfres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnextfres.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		cnextfres.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
3		cnextfres.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)
5		cnextfres.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
6	4, 5	cnf 23275	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵)
8		cnextfres.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
9		cnextfres.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
10	9	restuni 23191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
11	1, 8, 10	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
12	11	feq2d 6733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵))
13	7, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	9, 5	cnextfun 24093	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
15	1, 2, 13, 8, 14	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
16	9	sscls 23085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
17	1, 8, 16	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
18		cnextfres.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
19	17, 18	sseldd 4009	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
20	9, 5, 1, 8, 3, 18	flfcntr 24072	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
21		sneq 4658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
22	21	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑋}))
23	22	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))
24	23	oveq2d 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴)))
25	24	fveq1d 6922	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
26	25	opeliunxp2 5863	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
27	19, 20, 26	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
28		haustop 23360	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
29	2, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
30	9, 5	cnextfval 24091	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
31	1, 29, 13, 8, 30	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
32	27, 31	eleqtrrd 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
33		df-br 5167	. . 3 ⊢ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋) ↔ ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
34	32, 33	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋))
35		funbrfv 6971	. 2 ⊢ (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) → (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋)))
36	15, 34, 35	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ⟨cop 4654  ∪ cuni 4931  ∪ ciun 5015   class class class wbr 5166   × cxp 5698  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↾_t crest 17480  Topctop 22920  clsccl 23047  neicnei 23126   Cn ccn 23253  Hauscha 23337   fLimf cflf 23964  CnExtccnext 24088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-fin 9007  df-fi 9480  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-cnext 24089

This theorem is referenced by:  rrhqima  33960