Theorem cnextfres 23994

Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextfres.c	⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
cnextfres.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
cnextfres.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
cnextfres.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
cnextfres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
cnextfres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
cnextfres.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnextfres	⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem cnextfres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnextfres.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		cnextfres.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
3		cnextfres.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
4		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)
5		cnextfres.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
6	4, 5	cnf 23171	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵)
8		cnextfres.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
9		cnextfres.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
10	9	restuni 23087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
11	1, 8, 10	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
12	11	feq2d 6643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵))
13	7, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	9, 5	cnextfun 23989	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
15	1, 2, 13, 8, 14	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
16	9	sscls 22981	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
17	1, 8, 16	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
18		cnextfres.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
19	17, 18	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
20	9, 5, 1, 8, 3, 18	flfcntr 23968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
21		sneq 4587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
22	21	fveq2d 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑋}))
23	22	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))
24	23	oveq2d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴)))
25	24	fveq1d 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
26	25	opeliunxp2 5785	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
27	19, 20, 26	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
28		haustop 23256	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
29	2, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
30	9, 5	cnextfval 23987	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
31	1, 29, 13, 8, 30	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
32	27, 31	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
33		df-br 5096	. . 3 ⊢ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋) ↔ ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
34	32, 33	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋))
35		funbrfv 6879	. 2 ⊢ (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) → (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋)))
36	15, 34, 35	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  {csn 4577  ⟨cop 4583  ∪ cuni 4860  ∪ ciun 4943   class class class wbr 5095   × cxp 5619  Fun wfun 6483  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ↾_t crest 17334  Topctop 22818  clsccl 22943  neicnei 23022   Cn ccn 23149  Hauscha 23233   fLimf cflf 23860  CnExtccnext 23984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-map 8761  df-pm 8762  df-en 8879  df-fin 8882  df-fi 9305  df-rest 17336  df-topgen 17357  df-fbas 21298  df-fg 21299  df-top 22819  df-topon 22836  df-bases 22871  df-cld 22944  df-ntr 22945  df-cls 22946  df-nei 23023  df-cn 23152  df-cnp 23153  df-haus 23240  df-fil 23771  df-fm 23863  df-flim 23864  df-flf 23865  df-cnext 23985

This theorem is referenced by:  rrhqima  34038