Theorem cnextfres 24025

Description: 𝐹 and its extension by continuity agree on the domain of 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnextfres.c	⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
cnextfres.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
cnextfres.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
cnextfres.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
cnextfres.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
cnextfres.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
cnextfres.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnextfres	⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Proof of Theorem cnextfres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnextfres.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
2		cnextfres.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Haus)
3		cnextfres.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ∪ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴)
5		cnextfres.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐾
6	4, 5	cnf 23202	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵)
8		cnextfres.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)
9		cnextfres.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ∪ 𝐽
10	9	restuni 23118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
11	1, 8, 10	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ∪ (𝐽 ↾t 𝐴))
12	11	feq2d 6654	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ↔ 𝐹:∪ (𝐽 ↾t 𝐴)⟶𝐵))
13	7, 12	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
14	9, 5	cnextfun 24020	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Haus) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
15	1, 2, 13, 8, 14	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
16	9	sscls 23012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
17	1, 8, 16	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
18		cnextfres.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
19	17, 18	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
20	9, 5, 1, 8, 3, 18	flfcntr 23999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
21		sneq 4592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → {𝑥} = {𝑋})
22	21	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑋}))
23	22	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))
24	23	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴)))
25	24	fveq1d 6844	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
26	25	opeliunxp2 5795	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑋}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
27	19, 20, 26	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
28		haustop 23287	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
29	2, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
30	9, 5	cnextfval 24018	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶)) → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
31	1, 29, 13, 8, 30	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = ∪ 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴)({𝑥} × ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)))
32	27, 31	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
33		df-br 5101	. . 3 ⊢ (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋) ↔ ⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩ ∈ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
34	32, 33	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋))
35		funbrfv 6890	. 2 ⊢ (Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) → (𝑋((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)(𝐹‘𝑋) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋)))
36	15, 34, 35	sylc 65	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ⟨cop 4588  ∪ cuni 4865  ∪ ciun 4948   class class class wbr 5100   × cxp 5630  Fun wfun 6494  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↾_t crest 17352  Topctop 22849  clsccl 22974  neicnei 23053   Cn ccn 23180  Hauscha 23264   fLimf cflf 23891  CnExtccnext 24015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-fin 8899  df-fi 9326  df-rest 17354  df-topgen 17375  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-cnext 24016

This theorem is referenced by:  rrhqima  34191