Theorem cnrest 22344

Description: Continuity of a restriction from a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrest.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cnrest	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest

Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrest.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	cnf 22305	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	fssresd 6625	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾)
7		cnvresima 6122	. . . 4 ⊢ (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) = ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴)
8		cntop1 22299	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
11	1	topopn 21963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
12		ssexg 5242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ V)
13	12	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
14	11, 13	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
15	8, 14	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ V)
17		cnima 22324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽)
18	17	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽)
19		elrestr 17056	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽) → ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
20	10, 16, 18, 19	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
21	7, 20	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
22	21	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
23	1	toptopon 21974	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
24	8, 23	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25		resttopon 22220	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
26	24, 25	sylan 579	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
27		cntop2 22300	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ Top)
29	2	toptopon 21974	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
30	28, 29	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
31		iscn 22294	. . 3 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾)) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
32	26, 30, 31	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
33	6, 22, 32	mpbir2and 709	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582   “ cima 5583  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↾_t crest 17048  Topctop 21950  TopOnctopon 21967   Cn ccn 22283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575  df-en 8692  df-fin 8695  df-fi 9100  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cn 22286

This theorem is referenced by:  resthauslem  22422  imacmp  22456  connima  22484  kgencn2  22616  kgencn3  22617  xkopjcn  22715  cnmpt1res  22735  cnmpt2res  22736  qtoprest  22776  hmeores  22830  ftalem3  26129  rmulccn  31780  raddcn  31781  xrge0mulc1cn  31793  rrhre  31871  cvmliftmolem1  33143  cvmlift2lem9a  33165  cvmlift2lem9  33173  ivthALT  34451  broucube  35738  areacirclem2  35793  cnres2  35848  stoweidlem28  43459  dirkercncflem2  43535