MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrest Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrest 23294
Description: Continuity of a restriction from a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrest.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
cnrest ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest
Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrest.1 . . . . 5 𝑋 = 𝐽
2 eqid 2736 . . . . 5 𝐾 = 𝐾
31, 2cnf 23255 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋 𝐾)
43adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐹:𝑋 𝐾)
5 simpr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴𝑋)
64, 5fssresd 6774 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴):𝐴 𝐾)
7 cnvresima 6249 . . . 4 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) = ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴)
8 cntop1 23249 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
109adantr 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
111topopn 22913 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
12 ssexg 5322 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋𝑋𝐽) → 𝐴 ∈ V)
1312ancoms 458 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐽𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
1411, 13sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
158, 14sylan 580 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ V)
1615adantr 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → 𝐴 ∈ V)
17 cnima 23274 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑜𝐾) → (𝐹𝑜) ∈ 𝐽)
1817adantlr 715 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → (𝐹𝑜) ∈ 𝐽)
19 elrestr 17474 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝐹𝑜) ∈ 𝐽) → ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
2010, 16, 18, 19syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → ((𝐹𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽t 𝐴))
217, 20eqeltrid 2844 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑜𝐾) → ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))
2221ralrimiva 3145 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))
231toptopon 22924 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
248, 23sylib 218 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25 resttopon 23170 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
2624, 25sylan 580 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
27 cntop2 23250 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
2827adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ Top)
292toptopon 22924 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
3028, 29sylib 218 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
31 iscn 23244 . . 3 (((𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾)) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴 𝐾 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))))
3226, 30, 31syl2anc 584 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → ((𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹𝐴):𝐴 𝐾 ∧ ∀𝑜𝐾 ((𝐹𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽t 𝐴))))
336, 22, 32mpbir2and 713 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ ((𝐽t 𝐴) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950   cuni 4906  ccnv 5683  cres 5686  cima 5687  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  t crest 17466  Topctop 22900  TopOnctopon 22917   Cn ccn 23233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-map 8869  df-en 8987  df-fin 8990  df-fi 9452  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954  df-cn 23236
This theorem is referenced by:  resthauslem  23372  imacmp  23406  connima  23434  kgencn2  23566  kgencn3  23567  xkopjcn  23665  cnmpt1res  23685  cnmpt2res  23686  qtoprest  23726  hmeores  23780  ftalem3  27119  rmulccn  33928  raddcn  33929  xrge0mulc1cn  33941  rrhre  34023  cvmliftmolem1  35287  cvmlift2lem9a  35309  cvmlift2lem9  35317  ivthALT  36337  broucube  37662  areacirclem2  37717  cnres2  37771  resuppsinopn  42398  stoweidlem28  46048  dirkercncflem2  46124
  Copyright terms: Public domain W3C validator