Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cnrest.1 |
. . . . 5
β’ π = βͺ
π½ |
2 | | eqid 2733 |
. . . . 5
β’ βͺ πΎ =
βͺ πΎ |
3 | 1, 2 | cnf 22750 |
. . . 4
β’ (πΉ β (π½ Cn πΎ) β πΉ:πβΆβͺ πΎ) |
4 | 3 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β πΉ:πβΆβͺ πΎ) |
5 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β π΄ β π) |
6 | 4, 5 | fssresd 6759 |
. 2
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β (πΉ βΎ π΄):π΄βΆβͺ πΎ) |
7 | | cnvresima 6230 |
. . . 4
β’ (β‘(πΉ βΎ π΄) β π) = ((β‘πΉ β π) β© π΄) |
8 | | cntop1 22744 |
. . . . . . 7
β’ (πΉ β (π½ Cn πΎ) β π½ β Top) |
9 | 8 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β π½ β Top) |
10 | 9 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ (((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β§ π β πΎ) β π½ β Top) |
11 | 1 | topopn 22408 |
. . . . . . . 8
β’ (π½ β Top β π β π½) |
12 | | ssexg 5324 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π΄ β π β§ π β π½) β π΄ β V) |
13 | 12 | ancoms 460 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β π½ β§ π΄ β π) β π΄ β V) |
14 | 11, 13 | sylan 581 |
. . . . . . 7
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β π) β π΄ β V) |
15 | 8, 14 | sylan 581 |
. . . . . 6
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β π΄ β V) |
16 | 15 | adantr 482 |
. . . . 5
β’ (((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β§ π β πΎ) β π΄ β V) |
17 | | cnima 22769 |
. . . . . 6
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π β πΎ) β (β‘πΉ β π) β π½) |
18 | 17 | adantlr 714 |
. . . . 5
β’ (((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β§ π β πΎ) β (β‘πΉ β π) β π½) |
19 | | elrestr 17374 |
. . . . 5
β’ ((π½ β Top β§ π΄ β V β§ (β‘πΉ β π) β π½) β ((β‘πΉ β π) β© π΄) β (π½ βΎt π΄)) |
20 | 10, 16, 18, 19 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β§ π β πΎ) β ((β‘πΉ β π) β© π΄) β (π½ βΎt π΄)) |
21 | 7, 20 | eqeltrid 2838 |
. . 3
β’ (((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β§ π β πΎ) β (β‘(πΉ βΎ π΄) β π) β (π½ βΎt π΄)) |
22 | 21 | ralrimiva 3147 |
. 2
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β βπ β πΎ (β‘(πΉ βΎ π΄) β π) β (π½ βΎt π΄)) |
23 | 1 | toptopon 22419 |
. . . . 5
β’ (π½ β Top β π½ β (TopOnβπ)) |
24 | 8, 23 | sylib 217 |
. . . 4
β’ (πΉ β (π½ Cn πΎ) β π½ β (TopOnβπ)) |
25 | | resttopon 22665 |
. . . 4
β’ ((π½ β (TopOnβπ) β§ π΄ β π) β (π½ βΎt π΄) β (TopOnβπ΄)) |
26 | 24, 25 | sylan 581 |
. . 3
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β (π½ βΎt π΄) β (TopOnβπ΄)) |
27 | | cntop2 22745 |
. . . . 5
β’ (πΉ β (π½ Cn πΎ) β πΎ β Top) |
28 | 27 | adantr 482 |
. . . 4
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β πΎ β Top) |
29 | 2 | toptopon 22419 |
. . . 4
β’ (πΎ β Top β πΎ β (TopOnββͺ πΎ)) |
30 | 28, 29 | sylib 217 |
. . 3
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β πΎ β (TopOnββͺ πΎ)) |
31 | | iscn 22739 |
. . 3
β’ (((π½ βΎt π΄) β (TopOnβπ΄) β§ πΎ β (TopOnββͺ πΎ))
β ((πΉ βΎ π΄) β ((π½ βΎt π΄) Cn πΎ) β ((πΉ βΎ π΄):π΄βΆβͺ πΎ β§ βπ β πΎ (β‘(πΉ βΎ π΄) β π) β (π½ βΎt π΄)))) |
32 | 26, 30, 31 | syl2anc 585 |
. 2
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β ((πΉ βΎ π΄) β ((π½ βΎt π΄) Cn πΎ) β ((πΉ βΎ π΄):π΄βΆβͺ πΎ β§ βπ β πΎ (β‘(πΉ βΎ π΄) β π) β (π½ βΎt π΄)))) |
33 | 6, 22, 32 | mpbir2and 712 |
1
β’ ((πΉ β (π½ Cn πΎ) β§ π΄ β π) β (πΉ βΎ π΄) β ((π½ βΎt π΄) Cn πΎ)) |