MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrest Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnrest 22789
Description: Continuity of a restriction from a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrest.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
cnrest ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
Proof of Theorem cnrest
Dummy variable π‘œ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrest.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
2 eqid 2733 . . . . 5 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
31, 2cnf 22750 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
43adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
5 simpr 486 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
64, 5fssresd 6759 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢βˆͺ 𝐾)
7 cnvresima 6230 . . . 4 (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘œ) = ((◑𝐹 β€œ π‘œ) ∩ 𝐴)
8 cntop1 22744 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
98adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
109adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
111topopn 22408 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
12 ssexg 5324 . . . . . . . . 9 ((𝐴 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) β†’ 𝐴 ∈ V)
1312ancoms 460 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
1411, 13sylan 581 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
158, 14sylan 581 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ V)
1615adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ 𝐴 ∈ V)
17 cnima 22769 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ 𝐽)
1817adantlr 714 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ 𝐽)
19 elrestr 17374 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (◑𝐹 β€œ π‘œ) ∈ 𝐽) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘œ) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2010, 16, 18, 19syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘œ) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
217, 20eqeltrid 2838 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) ∧ π‘œ ∈ 𝐾) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘œ) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
2221ralrimiva 3147 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘œ) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))
231toptopon 22419 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
248, 23sylib 217 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
25 resttopon 22665 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
2624, 25sylan 581 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄))
27 cntop2 22745 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
2827adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Top)
292toptopon 22419 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
3028, 29sylib 217 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
31 iscn 22739 . . 3 (((𝐽 β†Ύt 𝐴) ∈ (TopOnβ€˜π΄) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾)) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘œ) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))))
3226, 30, 31syl2anc 585 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 β†Ύ 𝐴):𝐴⟢βˆͺ 𝐾 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐾 (β—‘(𝐹 β†Ύ 𝐴) β€œ π‘œ) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐴))))
336, 22, 32mpbir2and 712 1 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ 𝐴) ∈ ((𝐽 β†Ύt 𝐴) Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β†Ύt crest 17366  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731
This theorem is referenced by:  resthauslem  22867  imacmp  22901  connima  22929  kgencn2  23061  kgencn3  23062  xkopjcn  23160  cnmpt1res  23180  cnmpt2res  23181  qtoprest  23221  hmeores  23275  ftalem3  26579  rmulccn  32939  raddcn  32940  xrge0mulc1cn  32952  rrhre  33032  cvmliftmolem1  34303  cvmlift2lem9a  34325  cvmlift2lem9  34333  gg-rmulccn  35210  ivthALT  35268  broucube  36570  areacirclem2  36625  cnres2  36679  stoweidlem28  44792  dirkercncflem2  44868
  Copyright terms: Public domain W3C validator