Theorem cnrest 23229

Description: Continuity of a restriction from a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrest.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cnrest	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest

Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrest.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	cnf 23190	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	fssresd 6701	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾)
7		cnvresima 6188	. . . 4 ⊢ (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) = ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴)
8		cntop1 23184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
10	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
11	1	topopn 22850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
12		ssexg 5268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ V)
13	12	ancoms 458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
14	11, 13	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
15	8, 14	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ V)
17		cnima 23209	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽)
18	17	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽)
19		elrestr 17348	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽) → ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
20	10, 16, 18, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
21	7, 20	eqeltrid 2840	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
22	21	ralrimiva 3128	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
23	1	toptopon 22861	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
24	8, 23	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25		resttopon 23105	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
26	24, 25	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
27		cntop2 23185	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ Top)
29	2	toptopon 22861	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
30	28, 29	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
31		iscn 23179	. . 3 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾)) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
32	26, 30, 31	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
33	6, 22, 32	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∪ cuni 4863  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↾_t crest 17340  Topctop 22837  TopOnctopon 22854   Cn ccn 23168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8765  df-en 8884  df-fin 8887  df-fi 9314  df-rest 17342  df-topgen 17363  df-top 22838  df-topon 22855  df-bases 22890  df-cn 23171

This theorem is referenced by:  resthauslem  23307  imacmp  23341  connima  23369  kgencn2  23501  kgencn3  23502  xkopjcn  23600  cnmpt1res  23620  cnmpt2res  23621  qtoprest  23661  hmeores  23715  ftalem3  27041  rmulccn  34085  raddcn  34086  xrge0mulc1cn  34098  rrhre  34178  cvmliftmolem1  35475  cvmlift2lem9a  35497  cvmlift2lem9  35505  ivthALT  36529  broucube  37855  areacirclem2  37910  cnres2  37964  resuppsinopn  42618  stoweidlem28  46272  dirkercncflem2  46348