Theorem cnrest 23492

Description: Continuity of a restriction from a subspace. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrest.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cnrest	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest

Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrest.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
3	1, 2	cnf 23453	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶∪ 𝐾)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	fssresd 6749	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾)
7		cnvresima 6233	. . . 4 ⊢ (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) = ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴)
8		cntop1 23447	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
9	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
11	1	topopn 23113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
12		ssexg 5292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → 𝐴 ∈ V)
13	12	ancoms 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
14	11, 13	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
15	8, 14	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → 𝐴 ∈ V)
17		cnima 23472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽)
18	17	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽)
19		elrestr 17503	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (◡𝐹 “ 𝑜) ∈ 𝐽) → ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
20	10, 16, 18, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → ((◡𝐹 “ 𝑜) ∩ 𝐴) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
21	7, 20	eqeltrid 2869	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑜 ∈ 𝐾) → (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
22	21	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
23	1	toptopon 23124	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
24	8, 23	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
25		resttopon 23368	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
26	24, 25	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
27		cntop2 23448	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
28	27	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ Top)
29	2	toptopon 23124	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
30	28, 29	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
31		iscn 23442	. . 3 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾)) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
32	26, 30, 31	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾) ↔ ((𝐹 ↾ 𝐴):𝐴⟶∪ 𝐾 ∧ ∀𝑜 ∈ 𝐾 (◡(𝐹 ↾ 𝐴) “ 𝑜) ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))))
33	6, 22, 32	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝐴) Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↾_t crest 17495  Topctop 23100  TopOnctopon 23117   Cn ccn 23431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-map 8832  df-en 8950  df-fin 8953  df-fi 9378  df-rest 17497  df-topgen 17518  df-top 23101  df-topon 23118  df-bases 23153  df-cn 23434

This theorem is used by:  resthauslem  23570  imacmp  23604  connima  23632  kgencn2  23765  kgencn3  23766  xkopjcn  23864  cnmpt1res  23884  cnmpt2res  23885  qtoprest  23925  hmeores  23979  ftalem3  27290  rmulccn  34382  raddcn  34383  xrge0mulc1cn  34395  rrhre  34475  cvmliftmolem1  35810  cvmlift2lem9a  35832  cvmlift2lem9  35840  ivthALT  36903  broucube  38362  areacirclem2  38417  cnres2  38472  resuppsinopn  43182  stoweidlem28  46800  dirkercncflem2  46876