Theorem constrsuc 34352

Description: Membership in the successor step of the construction of constructible numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrsuc.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
constrsuc.2	⊢ 𝑆 = (𝐶‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
constrsuc	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑎,𝑠,𝑥   𝑆,𝑏,𝑠,𝑥   𝑆,𝑐,𝑠,𝑥   𝑆,𝑑,𝑠,𝑥   𝑆,𝑒,𝑠,𝑥   𝑆,𝑓,𝑠,𝑥   𝑋,𝑎   𝑋,𝑏   𝑋,𝑐   𝑋,𝑑   𝑒,𝑋   𝑓,𝑋   𝑋,𝑟   𝑡,𝑋   𝜑,𝑠   𝑠,𝑟,𝑥   𝑡,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑟, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝐶(𝑥, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑟, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑆(𝑡, 𝑟)   𝑁(𝑥, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑟, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑋(𝑥, 𝑠)

Proof of Theorem constrsuc

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constr0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
2	1	fveq1i 6878	. . . . 5 ⊢ (𝐶‘suc 𝑁) = (rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})‘suc 𝑁)
3		constrsuc.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
4		rdgsuc 8416	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ On → (rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})‘suc 𝑁) = ((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})‘(rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})‘𝑁)))
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})‘suc 𝑁) = ((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})‘(rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})‘𝑁)))
6	2, 5	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘suc 𝑁) = ((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})‘(rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})‘𝑁)))
7		constrsuc.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (𝐶‘𝑁)
8	1	fveq1i 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝐶‘𝑁) = (rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})‘𝑁)
9	7, 8	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})‘𝑁)
10	9	fveq2i 6880	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})‘𝑆) = ((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})‘(rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})‘𝑁))
11	6, 10	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘suc 𝑁) = ((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})‘𝑆))
12	11	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁) ↔ 𝑋 ∈ ((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})‘𝑆)))
13		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}) = (𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})
14		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → 𝑠 = 𝑆)
15		rexeq 3316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
16	14, 15	rexeqbidv 3336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
17	14, 16	rexeqbidv 3336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
18	14, 17	rexeqbidv 3336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
19		rexeq 3316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
20	14, 19	rexeqbidv 3336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
21	14, 20	rexeqbidv 3336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
22	14, 21	rexeqbidv 3336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
23	14, 22	rexeqbidvv 3329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
24		rexeq 3316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
25	14, 24	rexeqbidv 3336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
26	14, 25	rexeqbidv 3336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
27	14, 26	rexeqbidv 3336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
28	14, 27	rexeqbidv 3336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
29	14, 28	rexeqbidvv 3329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
30	18, 23, 29	3orbi123d 1463	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
31	30	rabbidv 3420	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})
32	31	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 = 𝑆) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})
33	7	fvexi 6891	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ V
34	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
35		cnex 11262	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
36		ssrab2 4028	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} ⊆ ℂ
37	35, 36	ssexi 5284	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} ∈ V
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} ∈ V)
39	13, 32, 34, 38	fvmptd2 6994	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})‘𝑆) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})
40	39	eleq2d 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})‘𝑆) ↔ 𝑋 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}))
41		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ↔ 𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))))
42		eqeq1 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ↔ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)))))
43	41, 42	3anbi12d 1465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
44	43	2rexbidv 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
45	44	2rexbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
46	45	2rexbidv 3228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
47		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑦 − 𝑐)))
48	47	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
49	41, 48	anbi12d 644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
50	49	2rexbidv 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
51	50	2rexbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
52	51	2rexbidv 3228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
53		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑦 − 𝑎)))
54	53	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))))
55		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑦 − 𝑑)))
56	55	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
57	54, 56	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
58	57	2rexbidv 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
59	58	2rexbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
60	59	2rexbidv 3228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
61	46, 52, 60	3orbi123d 1463	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
62	61	cbvrabv 3423	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} = {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}
63	62	eleq2i 2853	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} ↔ 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})
64		eqeq1 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ↔ 𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))))
65		eqeq1 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ↔ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)))))
66	64, 65	3anbi12d 1465	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
67	66	2rexbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
68	67	2rexbidv 3228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
69	68	2rexbidv 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
70		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑋 − 𝑐)))
71	70	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
72	64, 71	anbi12d 644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
73	72	2rexbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
74	73	2rexbidv 3228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
75	74	2rexbidv 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
76		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑋 − 𝑎)))
77	76	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ↔ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))))
78		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑋 − 𝑑)))
79	78	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
80	77, 79	3anbi23d 1467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
81	80	2rexbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
82	81	2rexbidv 3228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
83	82	2rexbidv 3228	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
84	69, 75, 83	3orbi123d 1463	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ↔ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
85	84	elrab 3645	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
86	63, 85	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
87	86	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
88	12, 40, 87	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐶‘suc 𝑁) ↔ (𝑋 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑋 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑋 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑆 ∃𝑏 ∈ 𝑆 ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∃𝑑 ∈ 𝑆 ∃𝑒 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ 𝑆 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑋 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451  {cpr 4586   ↦ cmpt 5186  Oncon0 6355  suc csuc 6357  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  reccrdg 8401  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522  ∗ccj 15243  ℑcim 15245  abscabs 15381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402

This theorem is used by:  constrsscn  34354  constrsslem  34355  constrconj  34359  constrfin  34360  constrelextdg2  34361  constrllcllem  34366  constrlccllem  34367  constrcccllem  34368