Theorem constrconj 34377

Description: If a point 𝑋 of the complex plane is constructible, so is its conjugate (∗‘𝑋). (Proposed by Saveliy Skresanov, 25-Jun-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrconj.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
constrconj.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
constrconj	⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ (𝐶‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥   𝐶,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥,𝑠   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑠,𝑥,𝑒,𝑓   𝑋,𝑟,𝑡,𝑥   𝜑,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑟, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑁(𝑡, 𝑟)   𝑋(𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)

Proof of Theorem constrconj

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrconj.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
2		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘∅))
3	2	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅)))
4	2, 3	raleqbidv 3335	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ∅ → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘∅)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅)))
5		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛))
6	5	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)))
7	5, 6	raleqbidv 3335	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)))
8		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
9	8	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
10	8, 9	raleqbidv 3335	. . . 4 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
11		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑁))
12	11	eleq2d 2847	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁)))
13	11, 12	raleqbidv 3335	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁)))
14		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
15	14	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → (∗‘𝑥) = (∗‘0))
16		cj0 15325	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘0) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → (∗‘𝑥) = 0)
18		0elpr01 11301	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
19	18	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → 0 ∈ {0, 1})
20	17, 19	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → (∗‘𝑥) ∈ {0, 1})
21		constr0.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
22	21	constr0 34369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶‘∅) = {0, 1}
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐶‘∅) = {0, 1})
24	20, 23	eleqtrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅))
25		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
26	25	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → (∗‘𝑥) = (∗‘1))
27		1re 11308	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
28		cjre 15306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘1) = 1
30	26, 29	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → (∗‘𝑥) = 1)
31		1elpr01 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → 1 ∈ {0, 1})
33	30, 32	eqeltrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → (∗‘𝑥) ∈ {0, 1})
34	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → (𝐶‘∅) = {0, 1})
35	33, 34	eleqtrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅))
36	22	eleq2i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ↔ 𝑥 ∈ {0, 1})
37	36	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶‘∅) → 𝑥 ∈ {0, 1})
38		elpri 4608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {0, 1} → (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1))
39	37, 38	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶‘∅) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1))
40	24, 35, 39	mpjaodan 973	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶‘∅) → (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅))
41	40	rgen 3079	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘∅)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅)
42		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
43		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)
44	21, 42, 43	constrsuc 34370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
45	44	biimpa 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
46	45	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → 𝑦 ∈ ℂ)
47	46	cjcld 15363	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∗‘𝑦) ∈ ℂ)
48	45	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
49		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑎))
50	49	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑛)))
51		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
52		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
53	50, 51, 52	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑛))
54		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → 𝑔 = (∗‘𝑎))
55		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (ℎ − 𝑔) = (ℎ − (∗‘𝑎)))
56	55	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (𝑡 · (ℎ − 𝑔)) = (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎))))
57	54, 56	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))))
58	57	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ↔ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎))))))
59	55	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∗‘(ℎ − 𝑔)) = (∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))))
60	59	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖)) = ((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖)))
61	60	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) = (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))))
62	61	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
63	58, 62	3anbi13d 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
64	63	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
65	64	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
66	65	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
67	66	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) ∧ 𝑔 = (∗‘𝑎)) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
68		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑏))
69	68	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑛)))
70		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
71		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
72	69, 70, 71	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑛))
73		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (ℎ − (∗‘𝑎)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))
74	73	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎))) = (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
75	74	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))))
76	75	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ↔ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))))
77	73	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) = (∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
78	77	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → ((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖)) = ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖)))
79	78	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) = (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))))
80	79	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → ((ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
81	76, 80	3anbi13d 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
82	81	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
83	82	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
84	83	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) ∧ ℎ = (∗‘𝑏)) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
85		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑐))
86	85	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑛)))
87		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
88		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
89	86, 87, 88	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑛))
90		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → 𝑖 = (∗‘𝑐))
91		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (𝑗 − 𝑖) = (𝑗 − (∗‘𝑐)))
92	91	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (𝑟 · (𝑗 − 𝑖)) = (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐))))
93	90, 92	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))))
94	93	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ↔ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐))))))
95	91	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖)) = ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐))))
96	95	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) = (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))))
97	96	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
98	94, 97	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
99	98	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
100	99	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
101	100	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) ∧ 𝑖 = (∗‘𝑐)) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
102		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑑))
103	102	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑑) ∈ (𝐶‘𝑛)))
104		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
105		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛))
106	103, 104, 105	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑑) ∈ (𝐶‘𝑛))
107		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (𝑗 − (∗‘𝑐)) = ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))
108	107	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐))) = (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
109	108	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))))
110	109	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ↔ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))))
111	107	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐))) = ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
112	111	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) = (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))))
113	112	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
114	110, 113	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
115	114	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
116	115	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) ∧ 𝑗 = (∗‘𝑑)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
117		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))))
118	117	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))))
119		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑛 ∈ On → 𝑛 ∈ On)
120	21, 119	constrsscn 34372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑛 ∈ On → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
121	120	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
122		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
123	121, 122	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
124		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑡 ∈ ℝ)
125	124	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑡 ∈ ℂ)
126		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
127	121, 126	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
128	127, 123	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
129	125, 128	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
130	123, 129	cjaddd 15387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))) = ((∗‘𝑎) + (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))))
131	125, 128	cjmuld 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = ((∗‘𝑡) · (∗‘(𝑏 − 𝑎))))
132	124	cjred 15393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑡) = 𝑡)
133	127, 123	cjsubd 33334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))
134	132, 133	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑡) · (∗‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
135	131, 134	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
136	135	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑎) + (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))))
137	118, 130, 136	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))))
138		simpr2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))))
139	138	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)))))
140		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
141	121, 140	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ ℂ)
142		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℝ)
143	142	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℂ)
144		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛))
145	121, 144	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ ℂ)
146	145, 141	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ ℂ)
147	143, 146	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)) ∈ ℂ)
148	141, 147	cjaddd 15387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)))) = ((∗‘𝑐) + (∗‘(𝑟 · (𝑑 − 𝑐)))))
149	143, 146	cjmuld 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) = ((∗‘𝑟) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))))
150	142	cjred 15393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑟) = 𝑟)
151	145, 141	cjsubd 33334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))
152	150, 151	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑟) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))) = (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
153	149, 152	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) = (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
154	153	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑐) + (∗‘(𝑟 · (𝑑 − 𝑐)))) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))))
155	139, 148, 154	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))))
156	128	cjcjd 15366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑏 − 𝑎))
157	156	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))) = ((𝑏 − 𝑎) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))))
158	128	cjcld 15363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
159	158, 146	cjmuld 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = ((∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))))
160	127	cjcld 15363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑏) ∈ ℂ)
161	123	cjcld 15363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑎) ∈ ℂ)
162	160, 161	cjsubd 33334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) = ((∗‘(∗‘𝑏)) − (∗‘(∗‘𝑎))))
163	127	cjcjd 15366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(∗‘𝑏)) = 𝑏)
164	123	cjcjd 15366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(∗‘𝑎)) = 𝑎)
165	163, 164	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(∗‘𝑏)) − (∗‘(∗‘𝑎))) = (𝑏 − 𝑎))
166	162, 165	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) = (𝑏 − 𝑎))
167	151	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)) = (∗‘(𝑑 − 𝑐)))
168	166, 167	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) = ((𝑏 − 𝑎) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))))
169	157, 159, 168	3eqtr4rd 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) = (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))))
170	169	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) = (ℑ‘(∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))))
171	158, 146	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) ∈ ℂ)
172	171	imcjd 15372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘(∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) = -(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))))
173	170, 172	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) = -(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))))
174		simpr3 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)
175	171	imcld 15362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ∈ ℝ)
176	175	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ∈ ℂ)
177	176	negne0bd 11662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ -(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
178	174, 177	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → -(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)
179	173, 178	eqnetrd 3023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)
180	137, 155, 179	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
181	180	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
182	181	reximdva 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
183	182	reximdva 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
184	183	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
185	106, 116, 184	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
186	185	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
187	89, 101, 186	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
188	187	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
189	72, 84, 188	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
190	189	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
191	53, 67, 190	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
192	191	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
193		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → 𝑎 = 𝑔)
194		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝑔))
195	194	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑡 · (𝑏 − 𝑔)))
196	193, 195	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))))
197	196	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ↔ (∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔)))))
198	194	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = (∗‘(𝑏 − 𝑔)))
199	198	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐)))
200	199	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))))
201	200	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
202	197, 201	3anbi13d 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
203	202	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
204	203	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
205	204	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
206	205	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
207		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑏 − 𝑔) = (ℎ − 𝑔))
208	207	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑡 · (𝑏 − 𝑔)) = (𝑡 · (ℎ − 𝑔)))
209	208	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))))
210	209	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ↔ (∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔)))))
211	207	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∗‘(𝑏 − 𝑔)) = (∗‘(ℎ − 𝑔)))
212	211	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐)))
213	212	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = ℎ → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))))
214	213	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
215	210, 214	3anbi13d 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ℎ → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
216	215	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
217	216	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
218	217	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
219		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → 𝑐 = 𝑖)
220		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (𝑑 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑖))
221	220	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)) = (𝑟 · (𝑑 − 𝑖)))
222	219, 221	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))))
223	222	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ↔ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖)))))
224	220	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖)))
225	224	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))))
226	225	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0))
227	223, 226	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0)))
228	227	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0)))
229	228	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0)))
230	229	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0))
231		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (𝑑 − 𝑖) = (𝑗 − 𝑖))
232	231	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (𝑟 · (𝑑 − 𝑖)) = (𝑟 · (𝑗 − 𝑖)))
233	232	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))))
234	233	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ↔ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖)))))
235	231	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖)) = ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖)))
236	235	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) = (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))))
237	236	neeq1d 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
238	234, 237	3anbi23d 1467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
239	238	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
240	239	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
241	240	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
242	230, 241	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
243	242	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
244	218, 243	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
245	244	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
246	206, 245	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
247	192, 246	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
248	247	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
249		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
250		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
251	50, 249, 250	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑛))
252	58	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
253	252	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
254	253	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
255	254	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
256	255	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑔 = (∗‘𝑎)) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
257		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
258		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
259	69, 257, 258	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑛))
260	76	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
261	260	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
262	261	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
263	262	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ ℎ = (∗‘𝑏)) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
264		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
265		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
266	86, 264, 265	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑛))
267		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((∗‘𝑦) − 𝑖) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐)))
268	267	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))))
269	268	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
270	269	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
271	270	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
272	271	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
273	272	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑖 = (∗‘𝑐)) → (∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
274		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑒))
275	274	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑒) ∈ (𝐶‘𝑛)))
276		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
277		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛))
278	275, 276, 277	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑒) ∈ (𝐶‘𝑛))
279		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 = (∗‘𝑒) → (𝑘 − 𝑙) = ((∗‘𝑒) − 𝑙))
280	279	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = (∗‘𝑒) → (abs‘(𝑘 − 𝑙)) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)))
281	280	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (∗‘𝑒) → ((abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))))
282	281	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (∗‘𝑒) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)))))
283	282	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (∗‘𝑒) → (∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)))))
284	283	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑘 = (∗‘𝑒)) → (∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)))))
285		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑓))
286	285	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑓) ∈ (𝐶‘𝑛)))
287		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
288		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛))
289	286, 287, 288	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑓) ∈ (𝐶‘𝑛))
290		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑙 = (∗‘𝑓) → ((∗‘𝑒) − 𝑙) = ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))
291	290	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑙 = (∗‘𝑓) → (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))
292	291	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑙 = (∗‘𝑓) → ((abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))))
293	292	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑙 = (∗‘𝑓) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))))
294	293	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑙 = (∗‘𝑓) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))))
295	294	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑙 = (∗‘𝑓)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))))
296		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))))
297	296	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))))
298	120	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
299		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
300	298, 299	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ ℂ)
301		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
302	301	recnd 11337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑡 ∈ ℂ)
303		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
304	298, 303	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ ℂ)
305	304, 300	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
306	302, 305	mulcld 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
307	300, 306	cjaddd 15387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))) = ((∗‘𝑎) + (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))))
308	302, 305	cjmuld 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = ((∗‘𝑡) · (∗‘(𝑏 − 𝑎))))
309	301	cjred 15393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑡) = 𝑡)
310	304, 300	cjsubd 33334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))
311	309, 310	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑡) · (∗‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
312	308, 311	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
313	312	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑎) + (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))))
314	297, 307, 313	3eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))))
315		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
316	46	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
317		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
318	298, 317	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ ℂ)
319	316, 318	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑦 − 𝑐) ∈ ℂ)
320	319	abscjd 15620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑐))) = (abs‘(𝑦 − 𝑐)))
321		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛))
322	298, 321	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ ℂ)
323		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛))
324	298, 323	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ ℂ)
325	322, 324	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑒 − 𝑓) ∈ ℂ)
326	325	abscjd 15620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(∗‘(𝑒 − 𝑓))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
327	315, 320, 326	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑐))) = (abs‘(∗‘(𝑒 − 𝑓))))
328	316, 318	cjsubd 33334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑦 − 𝑐)) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐)))
329	328	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))))
330	322, 324	cjsubd 33334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑒 − 𝑓)) = ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))
331	330	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(∗‘(𝑒 − 𝑓))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))
332	327, 329, 331	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))
333	314, 332	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))))
334	333	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))))
335	334	reximdva 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))))
336	335	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))))
337	289, 295, 336	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))))
338	337	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))))
339	278, 284, 338	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
340	339	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
341	266, 273, 340	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
342	341	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
343	259, 263, 342	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
344	343	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
345	251, 256, 344	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
346	345	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
347	197	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
348	347	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
349	348	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
350	349	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
351	350	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
352	210	anbi1d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ℎ → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
353	352	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
354	353	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
355	354	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
356		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((∗‘𝑦) − 𝑐) = ((∗‘𝑦) − 𝑖))
357	356	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)))
358	357	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
359	358	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
360	359	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
361	360	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
362	361	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
363		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑒 = 𝑘 → (𝑒 − 𝑓) = (𝑘 − 𝑓))
364	363	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑒 = 𝑘 → (abs‘(𝑒 − 𝑓)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓)))
365	364	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑒 = 𝑘 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))))
366	365	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑒 = 𝑘 → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓)))))
367	366	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑒 = 𝑘 → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓)))))
368	367	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))))
369		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑙 → (𝑘 − 𝑓) = (𝑘 − 𝑙))
370	369	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑙 → (abs‘(𝑘 − 𝑓)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))
371	370	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑙 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
372	371	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑙 → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
373	372	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑙 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
374	373	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
375	374	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
376	368, 375	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
377	376	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
378	362, 377	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
379	378	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
380	355, 379	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
381	380	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
382	351, 381	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
383	346, 382	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
384	383	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
385		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
386		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
387	50, 385, 386	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑛))
388		neeq1 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (𝑔 ≠ 𝑗 ↔ (∗‘𝑎) ≠ 𝑗))
389		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((∗‘𝑦) − 𝑔) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎)))
390	389	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))))
391	390	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖))))
392	388, 391	3anbi12d 1465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
393	392	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
394	393	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
395	394	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
396	395	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑔 = (∗‘𝑎)) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
397		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
398		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
399	69, 397, 398	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑛))
400		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (ℎ − 𝑖) = ((∗‘𝑏) − 𝑖))
401	400	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (abs‘(ℎ − 𝑖)) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)))
402	401	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → ((abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖))))
403	402	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
404	403	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
405	404	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
406	405	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ ℎ = (∗‘𝑏)) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
407		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
408		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
409	86, 407, 408	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑛))
410		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((∗‘𝑏) − 𝑖) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)))
411	410	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))))
412	411	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)))))
413	412	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
414	413	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
415	414	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
416	415	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑖 = (∗‘𝑐)) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
417		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
418		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛))
419	103, 417, 418	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑑) ∈ (𝐶‘𝑛))
420		neeq2 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ↔ (∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑)))
421		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((∗‘𝑦) − 𝑗) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑)))
422	421	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))))
423	422	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
424	420, 423	3anbi13d 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
425	424	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
426	425	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑗 = (∗‘𝑑)) → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
427	120	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
428		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
429	427, 428	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑎 ∈ ℂ)
430		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛))
431	427, 430	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
432		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑎 ≠ 𝑑)
433		cj11 15329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((∗‘𝑎) = (∗‘𝑑) ↔ 𝑎 = 𝑑))
434	433	necon3bid 3000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ↔ 𝑎 ≠ 𝑑))
435	434	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → (∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑))
436	429, 431, 432, 435	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → (∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑))
437	436	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑎 ≠ 𝑑 → (∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑)))
438		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)))
439	46	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑦 ∈ ℂ)
440	120	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
441		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
442	440, 441	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑎 ∈ ℂ)
443	439, 442	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (𝑦 − 𝑎) ∈ ℂ)
444	443	abscjd 15620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑎))) = (abs‘(𝑦 − 𝑎)))
445		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
446	440, 445	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑏 ∈ ℂ)
447		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
448	440, 447	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑐 ∈ ℂ)
449	446, 448	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (𝑏 − 𝑐) ∈ ℂ)
450	449	abscjd 15620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(∗‘(𝑏 − 𝑐))) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)))
451	438, 444, 450	3eqtr4d 2806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑎))) = (abs‘(∗‘(𝑏 − 𝑐))))
452	439, 442	cjsubd 33334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (∗‘(𝑦 − 𝑎)) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎)))
453	452	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))))
454	446, 448	cjsubd 33334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (∗‘(𝑏 − 𝑐)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)))
455	454	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(∗‘(𝑏 − 𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))))
456	451, 453, 455	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))))
457	456	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) → (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)))))
458	46	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → 𝑦 ∈ ℂ)
459	120	ad9antr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
460		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛))
461	459, 460	sseldd 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → 𝑑 ∈ ℂ)
462	458, 461	subcld 11669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (𝑦 − 𝑑) ∈ ℂ)
463	462	abscjd 15620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑑))) = (abs‘(𝑦 − 𝑑)))
464	458, 461	cjsubd 33334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (∗‘(𝑦 − 𝑑)) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑)))
465	464	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑑))) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))))
466		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
467	463, 465, 466	3eqtr3d 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
468	467	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) → (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
469	437, 457, 468	3anim123d 1471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → ((𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
470	469	reximdva 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
471	470	reximdva 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
472	471	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
473	419, 426, 472	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
474	473	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
475	409, 416, 474	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
476	475	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
477	399, 406, 476	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
478	477	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
479	387, 396, 478	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
480	479	r19.29an 3167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
481		neeq1 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑎 ≠ 𝑑 ↔ 𝑔 ≠ 𝑑))
482		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((∗‘𝑦) − 𝑎) = ((∗‘𝑦) − 𝑔))
483	482	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)))
484	483	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))))
485	481, 484	3anbi12d 1465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
486	485	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
487	486	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
488	487	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
489	488	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
490		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑏 − 𝑐) = (ℎ − 𝑐))
491	490	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = ℎ → (abs‘(𝑏 − 𝑐)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)))
492	491	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐))))
493	492	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
494	493	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
495	494	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
496	495	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
497		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (ℎ − 𝑐) = (ℎ − 𝑖))
498	497	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (abs‘(ℎ − 𝑐)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)))
499	498	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖))))
500	499	3anbi2d 1469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
501	500	rexbidv 3187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
502	501	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
503	502	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
504		neeq2 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (𝑔 ≠ 𝑑 ↔ 𝑔 ≠ 𝑗))
505		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((∗‘𝑦) − 𝑑) = ((∗‘𝑦) − 𝑗))
506	505	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)))
507	506	eqeq1d 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
508	504, 507	3anbi13d 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
509	508	2rexbidv 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
510	509	cbvrexvw 3242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
511	510	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
512	503, 511	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
513	512	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
514	496, 513	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
515	514	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
516	489, 515	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
517	480, 516	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
518	517	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
519	248, 384, 518	3orim123d 1472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → ((∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
520	48, 519	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
521	47, 520	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → ((∗‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
522	42	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
523	21, 522, 43	constrsuc 34370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → ((∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ ((∗‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
524	521, 523	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
525	524	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
526		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑦))
527	526	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
528	527	cbvralvw 3241	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
529	525, 528	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
530	529	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ On → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
531		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚))
532		vex 3455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑚 ∈ V
533	532	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → 𝑚 ∈ V)
534		simpll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → Lim 𝑚)
535	21, 533, 534	constrlim 34371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → (𝐶‘𝑚) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑧))
536	531, 535	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑧))
537		eliun 4955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧))
538	536, 537	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → ∃𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧))
539	526	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑧) ↔ (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧)))
540		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑧))
541	540	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑧)))
542	540, 541	raleqbidv 3335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑧)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑧)))
543		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧)) → ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
544		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑚)
545	542, 543, 544	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑧)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑧))
546		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧))
547	539, 545, 546	rspcdva 3578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧)) → (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧))
548	547	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) → (𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧) → (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧)))
549	548	reximdva 3176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → (∃𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑚 (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧)))
550	538, 549	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → ∃𝑧 ∈ 𝑚 (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧))
551		eliun 4955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘𝑦) ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑚 (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧))
552	550, 551	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → (∗‘𝑦) ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑧))
553	552, 535	eleqtrrd 2864	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑚))
554	553	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑚))
555	526	eleq1d 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑚)))
556	555	cbvralvw 3241	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑚))
557	554, 556	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚))
558	557	ex 418	. . . 4 ⊢ (Lim 𝑚 → (∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚)))
559	4, 7, 10, 13, 41, 530, 558	tfinds 7871	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ On → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁))
560	1, 559	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁))
561		constrconj.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑁))
562		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑋))
563	562	eleq1d 2846	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (∗‘𝑋) ∈ (𝐶‘𝑁)))
564	563	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (∗‘𝑋) ∈ (𝐶‘𝑁)))
565	561, 564	rspcdv 3569	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁) → (∗‘𝑋) ∈ (𝐶‘𝑁)))
566	560, 565	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ (𝐶‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {cpr 4586  ∪ ciun 4951   ↦ cmpt 5186  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  suc csuc 6364  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  reccrdg 8417  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   − cmin 11541   -cneg 11542  ∗ccj 15263  ℑcim 15265  abscabs 15401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-abs 15403

This theorem is used by:  constrelextdg2  34379  constrcjcl  34400