Theorem constrconj 33617

Description: If a point 𝑋 of the complex plane is constructible, so is its conjugate (∗‘𝑋). (Proposed by Saveliy Skresanov, 25-Jun-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrconj.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
constrconj.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
constrconj	⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ (𝐶‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥   𝐶,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥,𝑠   𝑁,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑠,𝑥,𝑒,𝑓   𝑋,𝑟,𝑡,𝑥   𝜑,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑒,𝑓,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝑁(𝑡,𝑟)   𝑋(𝑒,𝑓,𝑠,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem constrconj

Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrconj.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
2		fveq2 6893	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘∅))
3	2	eleq2d 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅)))
4	2, 3	raleqbidv 3330	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ∅ → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘∅)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅)))
5		fveq2 6893	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛))
6	5	eleq2d 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)))
7	5, 6	raleqbidv 3330	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)))
8		fveq2 6893	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
9	8	eleq2d 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
10	8, 9	raleqbidv 3330	. . . 4 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
11		fveq2 6893	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑁))
12	11	eleq2d 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁)))
13	11, 12	raleqbidv 3330	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁)))
14		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
15	14	fveq2d 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → (∗‘𝑥) = (∗‘0))
16		cj0 15158	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘0) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → (∗‘𝑥) = 0)
18		c0ex 11249	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
19	18	prid1 4761	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → 0 ∈ {0, 1})
21	17, 20	eqeltrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → (∗‘𝑥) ∈ {0, 1})
22		constr0.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
23	22	constr0 33609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶‘∅) = {0, 1}
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → (𝐶‘∅) = {0, 1})
25	21, 24	eleqtrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 0) → (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅))
26		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
27	26	fveq2d 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → (∗‘𝑥) = (∗‘1))
28		1re 11255	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
29		cjre 15139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∗‘1) = 1
31	27, 30	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → (∗‘𝑥) = 1)
32		1ex 11251	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
33	32	prid2 4762	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → 1 ∈ {0, 1})
35	31, 34	eqeltrd 2826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → (∗‘𝑥) ∈ {0, 1})
36	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → (𝐶‘∅) = {0, 1})
37	35, 36	eleqtrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ∧ 𝑥 = 1) → (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅))
38	23	eleq2i 2818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶‘∅) ↔ 𝑥 ∈ {0, 1})
39	38	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶‘∅) → 𝑥 ∈ {0, 1})
40		elpri 4646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {0, 1} → (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1))
41	39, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶‘∅) → (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 1))
42	25, 37, 41	mpjaodan 956	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐶‘∅) → (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅))
43	42	rgen 3053	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘∅)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘∅)
44		simpl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
45		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)
46	22, 44, 45	constrsuc 33610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
47	46	biimpa 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
48	47	simpld 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → 𝑦 ∈ ℂ)
49	48	cjcld 15196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∗‘𝑦) ∈ ℂ)
50	47	simprd 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
51		fveq2 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑎))
52	51	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑛)))
53		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
54		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
55	52, 53, 54	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑛))
56		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → 𝑔 = (∗‘𝑎))
57		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (ℎ − 𝑔) = (ℎ − (∗‘𝑎)))
58	57	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (𝑡 · (ℎ − 𝑔)) = (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎))))
59	56, 58	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))))
60	59	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ↔ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎))))))
61	57	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∗‘(ℎ − 𝑔)) = (∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))))
62	61	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖)) = ((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖)))
63	62	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) = (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))))
64	63	neeq1d 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
65	60, 64	3anbi13d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
66	65	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
67	66	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
68	67	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
69	68	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) ∧ 𝑔 = (∗‘𝑎)) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
70		fveq2 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑏))
71	70	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑏 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑛)))
72		simp-5r 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
73		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
74	71, 72, 73	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑛))
75		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (ℎ − (∗‘𝑎)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))
76	75	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎))) = (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
77	76	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))))
78	77	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ↔ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))))
79	75	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) = (∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
80	79	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → ((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖)) = ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖)))
81	80	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) = (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))))
82	81	neeq1d 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → ((ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
83	78, 82	3anbi13d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
84	83	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
85	84	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
86	85	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) ∧ ℎ = (∗‘𝑏)) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
87		fveq2 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑐))
88	87	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑛)))
89		simp-6r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
90		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
91	88, 89, 90	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑛))
92		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → 𝑖 = (∗‘𝑐))
93		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (𝑗 − 𝑖) = (𝑗 − (∗‘𝑐)))
94	93	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (𝑟 · (𝑗 − 𝑖)) = (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐))))
95	92, 94	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))))
96	95	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ↔ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐))))))
97	93	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖)) = ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐))))
98	97	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) = (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))))
99	98	neeq1d 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
100	96, 99	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
101	100	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
102	101	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
103	102	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) ∧ 𝑖 = (∗‘𝑐)) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
104		fveq2 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑑))
105	104	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑑) ∈ (𝐶‘𝑛)))
106		simp-7r 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
107		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛))
108	105, 106, 107	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑑) ∈ (𝐶‘𝑛))
109		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (𝑗 − (∗‘𝑐)) = ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))
110	109	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐))) = (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
111	110	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))))
112	111	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ↔ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))))
113	109	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐))) = ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
114	113	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) = (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))))
115	114	neeq1d 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
116	112, 115	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
117	116	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
118	117	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) ∧ 𝑗 = (∗‘𝑑)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
119		simpr1 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))))
120	119	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))))
121		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑛 ∈ On → 𝑛 ∈ On)
122	22, 121	constrsscn 33612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑛 ∈ On → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
123	122	ad9antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
124		simp-7r 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
125	123, 124	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ ℂ)
126		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑡 ∈ ℝ)
127	126	recnd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑡 ∈ ℂ)
128		simp-6r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
129	123, 128	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ ℂ)
130	129, 125	subcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
131	127, 130	mulcld 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
132	125, 131	cjaddd 15220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))) = ((∗‘𝑎) + (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))))
133	127, 130	cjmuld 15221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = ((∗‘𝑡) · (∗‘(𝑏 − 𝑎))))
134	126	cjred 15226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑡) = 𝑡)
135	129, 125	cjsubd 32655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))
136	134, 135	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑡) · (∗‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
137	133, 136	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
138	137	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑎) + (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))))
139	120, 132, 138	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))))
140		simpr2 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))))
141	140	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)))))
142		simp-5r 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
143	123, 142	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ ℂ)
144		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℝ)
145	144	recnd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℂ)
146		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛))
147	123, 146	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ ℂ)
148	147, 143	subcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑑 − 𝑐) ∈ ℂ)
149	145, 148	mulcld 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)) ∈ ℂ)
150	143, 149	cjaddd 15220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)))) = ((∗‘𝑐) + (∗‘(𝑟 · (𝑑 − 𝑐)))))
151	145, 148	cjmuld 15221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) = ((∗‘𝑟) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))))
152	144	cjred 15226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑟) = 𝑟)
153	147, 143	cjsubd 32655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))
154	152, 153	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑟) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))) = (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
155	151, 154	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) = (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))
156	155	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑐) + (∗‘(𝑟 · (𝑑 − 𝑐)))) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))))
157	141, 150, 156	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))))
158	130	cjcjd 15199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑏 − 𝑎))
159	158	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))) = ((𝑏 − 𝑎) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))))
160	130	cjcld 15196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
161	160, 148	cjmuld 15221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = ((∗‘(∗‘(𝑏 − 𝑎))) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))))
162	129	cjcld 15196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑏) ∈ ℂ)
163	125	cjcld 15196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘𝑎) ∈ ℂ)
164	162, 163	cjsubd 32655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) = ((∗‘(∗‘𝑏)) − (∗‘(∗‘𝑎))))
165	129	cjcjd 15199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(∗‘𝑏)) = 𝑏)
166	125	cjcjd 15199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘(∗‘𝑎)) = 𝑎)
167	165, 166	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(∗‘𝑏)) − (∗‘(∗‘𝑎))) = (𝑏 − 𝑎))
168	164, 167	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) = (𝑏 − 𝑎))
169	153	eqcomd 2732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)) = (∗‘(𝑑 − 𝑐)))
170	168, 169	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) = ((𝑏 − 𝑎) · (∗‘(𝑑 − 𝑐))))
171	159, 161, 170	3eqtr4rd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) = (∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))))
172	171	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) = (ℑ‘(∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))))
173	160, 148	mulcld 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) ∈ ℂ)
174	173	imcjd 15205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘(∗‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)))) = -(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))))
175	172, 174	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) = -(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))))
176		simpr3 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)
177	173	imcld 15195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ∈ ℝ)
178	177	recnd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ∈ ℂ)
179	178	negne0bd 11605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ -(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
180	176, 179	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → -(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)
181	175, 180	eqnetrd 2998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)
182	139, 157, 181	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
183	182	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
184	183	reximdva 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) → ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
185	184	reximdva 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0)))
186	185	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
187	108, 118, 186	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
188	187	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑐) + (𝑟 · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − (∗‘𝑐)))) ≠ 0))
189	91, 103, 188	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
190	189	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
191	74, 86, 190	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
192	191	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − (∗‘𝑎))) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
193	55, 69, 192	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
194	193	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
195		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → 𝑎 = 𝑔)
196		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝑔))
197	196	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑡 · (𝑏 − 𝑔)))
198	195, 197	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))))
199	198	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ↔ (∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔)))))
200	196	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = (∗‘(𝑏 − 𝑔)))
201	200	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐)))
202	201	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))))
203	202	neeq1d 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
204	199, 203	3anbi13d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
205	204	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
206	205	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
207	206	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
208	207	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
209		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑏 − 𝑔) = (ℎ − 𝑔))
210	209	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑡 · (𝑏 − 𝑔)) = (𝑡 · (ℎ − 𝑔)))
211	210	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))))
212	211	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ↔ (∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔)))))
213	209	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∗‘(𝑏 − 𝑔)) = (∗‘(ℎ − 𝑔)))
214	213	oveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐)))
215	214	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = ℎ → (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))))
216	215	neeq1d 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
217	212, 216	3anbi13d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ℎ → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
218	217	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
219	218	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
220	219	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
221		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → 𝑐 = 𝑖)
222		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (𝑑 − 𝑐) = (𝑑 − 𝑖))
223	222	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)) = (𝑟 · (𝑑 − 𝑖)))
224	221, 223	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))))
225	224	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ↔ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖)))))
226	222	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐)) = ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖)))
227	226	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) = (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))))
228	227	neeq1d 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0))
229	225, 228	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0)))
230	229	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0)))
231	230	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0)))
232	231	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0))
233		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (𝑑 − 𝑖) = (𝑗 − 𝑖))
234	233	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (𝑟 · (𝑑 − 𝑖)) = (𝑟 · (𝑗 − 𝑖)))
235	234	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))))
236	235	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ↔ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖)))))
237	233	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖)) = ((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖)))
238	237	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) = (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))))
239	238	neeq1d 2990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0 ↔ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
240	236, 239	3anbi23d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
241	240	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0)))
242	241	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
243	242	rexbii 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑖))) ≠ 0) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
244	232, 243	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
245	244	rexbii 3084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
246	220, 245	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
247	246	rexbii 3084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑔)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
248	208, 247	bitri 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑖 + (𝑟 · (𝑗 − 𝑖))) ∧ (ℑ‘((∗‘(ℎ − 𝑔)) · (𝑗 − 𝑖))) ≠ 0))
249	194, 248	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0))
250	249	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)))
251		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
252		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
253	52, 251, 252	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑛))
254	60	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
255	254	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
256	255	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
257	256	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
258	257	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑔 = (∗‘𝑎)) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
259		simp-5r 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
260		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
261	71, 259, 260	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑛))
262	78	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
263	262	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
264	263	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
265	264	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ ℎ = (∗‘𝑏)) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
266		simp-6r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
267		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
268	88, 266, 267	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑛))
269		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((∗‘𝑦) − 𝑖) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐)))
270	269	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))))
271	270	eqeq1d 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
272	271	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
273	272	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
274	273	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
275	274	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑖 = (∗‘𝑐)) → (∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
276		fveq2 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑒))
277	276	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑒 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑒) ∈ (𝐶‘𝑛)))
278		simp-7r 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
279		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛))
280	277, 278, 279	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑒) ∈ (𝐶‘𝑛))
281		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 = (∗‘𝑒) → (𝑘 − 𝑙) = ((∗‘𝑒) − 𝑙))
282	281	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = (∗‘𝑒) → (abs‘(𝑘 − 𝑙)) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)))
283	282	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (∗‘𝑒) → ((abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))))
284	283	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (∗‘𝑒) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)))))
285	284	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (∗‘𝑒) → (∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)))))
286	285	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑘 = (∗‘𝑒)) → (∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)))))
287		fveq2 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑓))
288	287	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑓) ∈ (𝐶‘𝑛)))
289		simp-8r 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
290		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛))
291	288, 289, 290	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑓) ∈ (𝐶‘𝑛))
292		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑙 = (∗‘𝑓) → ((∗‘𝑒) − 𝑙) = ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))
293	292	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑙 = (∗‘𝑓) → (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))
294	293	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑙 = (∗‘𝑓) → ((abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))))
295	294	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑙 = (∗‘𝑓) → (((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))) ↔ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))))
296	295	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑙 = (∗‘𝑓) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))))
297	296	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑙 = (∗‘𝑓)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))))
298		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))))
299	298	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑦) = (∗‘(𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))))
300	122	ad9antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
301		simp-7r 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
302	300, 301	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ ℂ)
303		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
304	303	recnd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑡 ∈ ℂ)
305		simp-6r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
306	300, 305	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ ℂ)
307	306, 302	subcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ)
308	304, 307	mulcld 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ)
309	302, 308	cjaddd 15220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))) = ((∗‘𝑎) + (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))))
310	304, 307	cjmuld 15221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = ((∗‘𝑡) · (∗‘(𝑏 − 𝑎))))
311	303	cjred 15226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑡) = 𝑡)
312	306, 302	cjsubd 32655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑏 − 𝑎)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))
313	311, 312	oveq12d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑡) · (∗‘(𝑏 − 𝑎))) = (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
314	310, 313	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎))))
315	314	oveq2d 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑎) + (∗‘(𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))))
316	299, 309, 315	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))))
317		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
318	48	ad7antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
319		simp-5r 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
320	300, 319	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ ℂ)
321	318, 320	subcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑦 − 𝑐) ∈ ℂ)
322	321	abscjd 15450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑐))) = (abs‘(𝑦 − 𝑐)))
323		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛))
324	300, 323	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ ℂ)
325		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛))
326	300, 325	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ ℂ)
327	324, 326	subcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑒 − 𝑓) ∈ ℂ)
328	327	abscjd 15450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(∗‘(𝑒 − 𝑓))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
329	317, 322, 328	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑐))) = (abs‘(∗‘(𝑒 − 𝑓))))
330	318, 320	cjsubd 32655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑦 − 𝑐)) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐)))
331	330	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))))
332	324, 326	cjsubd 32655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑒 − 𝑓)) = ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))
333	332	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(∗‘(𝑒 − 𝑓))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))
334	329, 331, 333	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))
335	316, 334	jca 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))))
336	335	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))))
337	336	reximdva 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))))))
338	337	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))))
339	291, 297, 338	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))))
340	339	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑒) − 𝑙))))
341	280, 286, 340	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
342	341	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑐))) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
343	268, 275, 342	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
344	343	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
345	261, 265, 344	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
346	345	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = ((∗‘𝑎) + (𝑡 · (ℎ − (∗‘𝑎)))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
347	253, 258, 346	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
348	347	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
349	199	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
350	349	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
351	350	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
352	351	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
353	352	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
354	212	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ℎ → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
355	354	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
356	355	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
357	356	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
358		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((∗‘𝑦) − 𝑐) = ((∗‘𝑦) − 𝑖))
359	358	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)))
360	359	eqeq1d 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
361	360	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
362	361	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
363	362	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
364	363	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
365		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑒 = 𝑘 → (𝑒 − 𝑓) = (𝑘 − 𝑓))
366	365	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑒 = 𝑘 → (abs‘(𝑒 − 𝑓)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓)))
367	366	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑒 = 𝑘 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))))
368	367	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑒 = 𝑘 → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓)))))
369	368	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑒 = 𝑘 → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓)))))
370	369	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))))
371		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑙 → (𝑘 − 𝑓) = (𝑘 − 𝑙))
372	371	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑙 → (abs‘(𝑘 − 𝑓)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))
373	372	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑙 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
374	373	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑙 → (((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
375	374	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑙 → (∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙)))))
376	375	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))) ↔ ∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
377	376	rexbii 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑓))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
378	370, 377	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
379	378	rexbii 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
380	364, 379	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
381	380	rexbii 3084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
382	357, 381	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
383	382	rexbii 3084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
384	353, 383	bitri 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑘 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑙 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑔 + (𝑡 · (ℎ − 𝑔))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑖)) = (abs‘(𝑘 − 𝑙))))
385	348, 384	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
386	385	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
387		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
388		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
389	52, 387, 388	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈ (𝐶‘𝑛))
390		neeq1 2993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (𝑔 ≠ 𝑗 ↔ (∗‘𝑎) ≠ 𝑗))
391		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((∗‘𝑦) − 𝑔) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎)))
392	391	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))))
393	392	eqeq1d 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖))))
394	390, 393	3anbi12d 1434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → ((𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
395	394	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
396	395	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
397	396	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 = (∗‘𝑎) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
398	397	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑔 = (∗‘𝑎)) → (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
399		simp-5r 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
400		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
401	71, 399, 400	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑏) ∈ (𝐶‘𝑛))
402		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (ℎ − 𝑖) = ((∗‘𝑏) − 𝑖))
403	402	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (abs‘(ℎ − 𝑖)) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)))
404	403	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → ((abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖))))
405	404	3anbi2d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
406	405	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
407	406	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = (∗‘𝑏) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
408	407	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ ℎ = (∗‘𝑏)) → (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
409		simp-6r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
410		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
411	88, 409, 410	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑐) ∈ (𝐶‘𝑛))
412		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((∗‘𝑏) − 𝑖) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)))
413	412	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))))
414	413	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → ((abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)))))
415	414	3anbi2d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
416	415	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
417	416	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 = (∗‘𝑐) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
418	417	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑖 = (∗‘𝑐)) → (∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
419		simp-7r 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
420		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛))
421	105, 419, 420	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑑) ∈ (𝐶‘𝑛))
422		neeq2 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ↔ (∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑)))
423		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((∗‘𝑦) − 𝑗) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑)))
424	423	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))))
425	424	eqeq1d 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
426	422, 425	3anbi13d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
427	426	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = (∗‘𝑑) → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
428	427	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) ∧ 𝑗 = (∗‘𝑑)) → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
429	122	ad9antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
430		simp-7r 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
431	429, 430	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑎 ∈ ℂ)
432		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛))
433	429, 432	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℂ)
434		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑎 ≠ 𝑑)
435		cj11 15162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((∗‘𝑎) = (∗‘𝑑) ↔ 𝑎 = 𝑑))
436	435	necon3bid 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ↔ 𝑎 ≠ 𝑑))
437	436	biimpar 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → (∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑))
438	431, 433, 434, 437	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → (∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑))
439	438	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑎 ≠ 𝑑 → (∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑)))
440		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)))
441	48	ad7antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑦 ∈ ℂ)
442	122	ad9antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
443		simp-7r 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛))
444	442, 443	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑎 ∈ ℂ)
445	441, 444	subcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (𝑦 − 𝑎) ∈ ℂ)
446	445	abscjd 15450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑎))) = (abs‘(𝑦 − 𝑎)))
447		simp-6r 786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛))
448	442, 447	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑏 ∈ ℂ)
449		simp-5r 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛))
450	442, 449	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → 𝑐 ∈ ℂ)
451	448, 450	subcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (𝑏 − 𝑐) ∈ ℂ)
452	451	abscjd 15450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(∗‘(𝑏 − 𝑐))) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)))
453	440, 446, 452	3eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑎))) = (abs‘(∗‘(𝑏 − 𝑐))))
454	441, 444	cjsubd 32655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (∗‘(𝑦 − 𝑎)) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎)))
455	454	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))))
456	448, 450	cjsubd 32655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (∗‘(𝑏 − 𝑐)) = ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)))
457	456	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘(∗‘(𝑏 − 𝑐))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))))
458	453, 455, 457	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) → (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))))
459	458	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) → (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐)))))
460	48	ad7antr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → 𝑦 ∈ ℂ)
461	122	ad9antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
462		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛))
463	461, 462	sseldd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → 𝑑 ∈ ℂ)
464	460, 463	subcld 11612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (𝑦 − 𝑑) ∈ ℂ)
465	464	abscjd 15450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑑))) = (abs‘(𝑦 − 𝑑)))
466	460, 463	cjsubd 32655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (∗‘(𝑦 − 𝑑)) = ((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑)))
467	466	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (abs‘(∗‘(𝑦 − 𝑑))) = (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))))
468		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
469	465, 467, 468	3eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))
470	469	ex 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → ((abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) → (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
471	439, 459, 470	3anim123d 1440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → ((𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
472	471	reximdva 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
473	472	reximdva 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
474	473	imp 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ (∗‘𝑑) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑑))) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
475	421, 428, 474	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
476	475	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − (∗‘𝑐))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
477	411, 418, 476	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
478	477	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘((∗‘𝑏) − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
479	401, 408, 478	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
480	479	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)((∗‘𝑎) ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − (∗‘𝑎))) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
481	389, 398, 480	rspcedvd 3609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
482	481	r19.29an 3148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
483		neeq1 2993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (𝑎 ≠ 𝑑 ↔ 𝑔 ≠ 𝑑))
484		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((∗‘𝑦) − 𝑎) = ((∗‘𝑦) − 𝑔))
485	484	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)))
486	485	eqeq1d 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))))
487	483, 486	3anbi12d 1434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → ((𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
488	487	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
489	488	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
490	489	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑔 → (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
491	490	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
492		oveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = ℎ → (𝑏 − 𝑐) = (ℎ − 𝑐))
493	492	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = ℎ → (abs‘(𝑏 − 𝑐)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)))
494	493	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐))))
495	494	3anbi2d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = ℎ → ((𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
496	495	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
497	496	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = ℎ → (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
498	497	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
499		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (ℎ − 𝑐) = (ℎ − 𝑖))
500	499	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (abs‘(ℎ − 𝑐)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)))
501	500	eqeq2d 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖))))
502	501	3anbi2d 1438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → ((𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
503	502	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
504	503	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = 𝑖 → (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
505	504	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
506		neeq2 2994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (𝑔 ≠ 𝑑 ↔ 𝑔 ≠ 𝑗))
507		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((∗‘𝑦) − 𝑑) = ((∗‘𝑦) − 𝑗))
508	507	fveq2d 6897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)))
509	508	eqeq1d 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
510	506, 509	3anbi13d 1435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → ((𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
511	510	2rexbidv 3210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 = 𝑗 → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
512	511	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
513	512	rexbii 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
514	505, 513	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
515	514	rexbii 3084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
516	498, 515	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
517	516	rexbii 3084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
518	491, 517	bitri 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐶‘𝑛)∃ℎ ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑖 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑗 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑔 ≠ 𝑗 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑔)) = (abs‘(ℎ − 𝑖)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑗)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
519	482, 518	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
520	519	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
521	250, 386, 520	3orim123d 1441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → ((∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑦 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑦 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
522	50, 521	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
523	49, 522	jca 510	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → ((∗‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
524	44	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → 𝑛 ∈ On)
525	22, 524, 45	constrsuc 33610	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → ((∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ ((∗‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (∗‘𝑦) = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ((∗‘𝑦) = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘((∗‘𝑦) − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
526	523, 525	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
527	526	ralrimiva 3136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
528		fveq2 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑦))
529	528	eleq1d 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
530	529	cbvralvw 3225	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
531	527, 530	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛))
532	531	ex 411	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ On → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘suc 𝑛)))
533		simpr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚))
534		vex 3466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑚 ∈ V
535	534	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → 𝑚 ∈ V)
536		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → Lim 𝑚)
537	22, 535, 536	constrlim 33611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → (𝐶‘𝑚) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑧))
538	533, 537	eleqtrd 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑧))
539		eliun 4997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧))
540	538, 539	sylib 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → ∃𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧))
541	528	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑧) ↔ (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧)))
542		fveq2 6893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑧))
543	542	eleq2d 2812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ (∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑧)))
544	542, 543	raleqbidv 3330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑧)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑧)))
545		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧)) → ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛))
546		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝑚)
547	544, 545, 546	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑧)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑧))
548		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧)) → 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧))
549	541, 547, 548	rspcdva 3608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧)) → (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧))
550	549	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑚) → (𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧) → (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧)))
551	550	reximdva 3158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → (∃𝑧 ∈ 𝑚 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝑚 (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧)))
552	540, 551	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → ∃𝑧 ∈ 𝑚 (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧))
553		eliun 4997	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∗‘𝑦) ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝑚 (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑧))
554	552, 553	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → (∗‘𝑦) ∈ ∪ 𝑧 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑧))
555	554, 537	eleqtrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)) → (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑚))
556	555	ralrimiva 3136	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑚))
557	528	eleq1d 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ (∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑚)))
558	557	cbvralvw 3225	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑦) ∈ (𝐶‘𝑚))
559	556, 558	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚))
560	559	ex 411	. . . 4 ⊢ (Lim 𝑚 → (∀𝑛 ∈ 𝑚 ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑛)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑛) → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑚)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑚)))
561	4, 7, 10, 13, 43, 532, 560	tfinds 7862	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ On → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁))
562	1, 561	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁))
563		constrconj.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐶‘𝑁))
564		fveq2 6893	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝑋))
565	564	eleq1d 2811	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (∗‘𝑋) ∈ (𝐶‘𝑁)))
566	565	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ (∗‘𝑋) ∈ (𝐶‘𝑁)))
567	563, 566	rspcdv 3599	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)(∗‘𝑥) ∈ (𝐶‘𝑁) → (∗‘𝑋) ∈ (𝐶‘𝑁)))
568	562, 567	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑋) ∈ (𝐶‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3462   ⊆ wss 3946  ∅c0 4322  {cpr 4625  ∪ ciun 4993   ↦ cmpt 5228  Oncon0 6368  Lim wlim 6369  suc csuc 6370  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  reccrdg 8431  ℂcc 11147  ℝcr 11148  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154   − cmin 11485  -cneg 11486  ∗ccj 15096  ℑcim 15098  abscabs 15234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-2 12321  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-abs 15236

This theorem is referenced by:  constrelextdg2  33619