Theorem constrsslem 33724

Description: Lemma for constrss 33726. This lemma requires the additional condition that 0 is a constructible number; that condition is removed in constrss 33726. (Proposed by Saveliy Skresanov, 23-JUn-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrsscn.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
constrsslem.1	⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐶‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
constrsslem	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ (𝐶‘suc 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑠,𝑥,𝑏,𝑐   𝐶,𝑑,𝑠,𝑥   𝐶,𝑒,𝑠,𝑥,𝑓   𝑠,𝑟,𝑥   𝑡,𝑠,𝑥,𝐶   𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑡,𝑁   𝑁,𝑑,𝑠,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑑)   𝐶(𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem constrsslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constr0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
2		constrsscn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
3	1, 2	constrsscn 33723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
4	3	sselda 3943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁))
6		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → 𝑎 = 𝑥)
7		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝑥))
8	7	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑡 · (𝑏 − 𝑥)))
9	6, 8	oveq12d 7387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))))
10	9	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ↔ 𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥)))))
11	10	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
12	11	rexbidv 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
13	12	2rexbidv 3200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
14	13	2rexbidv 3200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
15	14	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑎 = 𝑥) → (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
16		constrsslem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐶‘𝑁))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ (𝐶‘𝑁))
18		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 − 𝑥) = (0 − 𝑥))
19	18	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑡 · (𝑏 − 𝑥)) = (𝑡 · (0 − 𝑥)))
20	19	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))))
21	20	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ↔ 𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥)))))
22	21	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
23	22	2rexbidv 3200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 0 → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
24	23	2rexbidv 3200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 0 → (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 = 0) → (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
26		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑥 − 𝑐) = (𝑥 − 0))
27	26	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 0 → (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
28	27	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 0 → ((abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
29	28	anbi2d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
30	29	rexbidv 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
31	30	2rexbidv 3200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
32	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 = 0) → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
33		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → (𝑒 − 𝑓) = (𝑥 − 𝑓))
34	33	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → (abs‘(𝑒 − 𝑓)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓)))
35	34	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → ((abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓))))
36	35	anbi2d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓)))))
37	36	2rexbidv 3200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓)))))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 = 𝑥) → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓)))))
39		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 0 → (𝑥 − 𝑓) = (𝑥 − 0))
40	39	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 0 → (abs‘(𝑥 − 𝑓)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
41	40	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 0 → ((abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓)) ↔ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0))))
42	41	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 0 → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))))
43	42	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 0 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))))
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 = 0) → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))))
45		0red 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
46		oveq1 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · (0 − 𝑥)) = (0 · (0 − 𝑥)))
47	46	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))))
48	47	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ↔ 𝑥 = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥)))))
49	48	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))))
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 = 0) → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))))
51		0cnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
52	51, 4	subcld 11509	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (0 − 𝑥) ∈ ℂ)
53	52	mul02d 11348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (0 · (0 − 𝑥)) = 0)
54	53	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))) = (𝑥 + 0))
55	4	addridd 11350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
56	54, 55	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑥 = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))))
57		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
58	56, 57	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (𝑥 = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0))))
59	45, 50, 58	rspcedvd 3587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0))))
60	17, 44, 59	rspcedvd 3587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓))))
61	5, 38, 60	rspcedvd 3587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
62	17, 32, 61	rspcedvd 3587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
63	17, 25, 62	rspcedvd 3587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
64	5, 15, 63	rspcedvd 3587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
65	64	3mix2d 1338	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
66		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝐶‘𝑁) = (𝐶‘𝑁)
67	1, 2, 66	constrsuc 33721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
68	67	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
69	4, 65, 68	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑁))
70	69	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁) → 𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑁)))
71	70	ssrdv 3949	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ (𝐶‘suc 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3402  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  {cpr 4587   ↦ cmpt 5183  Oncon0 6320  suc csuc 6322  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  reccrdg 8354  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   − cmin 11381  ∗ccj 15038  ℑcim 15040  abscabs 15176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383

This theorem is referenced by:  constr01  33725  constrss  33726