Theorem constrsslem 33934

Description: Lemma for constrss 33936. This lemma requires the additional condition that 0 is a constructible number; that condition is removed in constrss 33936. (Proposed by Saveliy Skresanov, 23-JUn-2025.) (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrsscn.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
constrsslem.1	⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐶‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
constrsslem	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ (𝐶‘suc 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑠,𝑥,𝑏,𝑐   𝐶,𝑑,𝑠,𝑥   𝐶,𝑒,𝑠,𝑥,𝑓   𝑠,𝑟,𝑥   𝑡,𝑠,𝑥,𝐶   𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑡,𝑁   𝑁,𝑑,𝑠,𝑥   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐,𝑒,𝑓,𝑠,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑑)   𝐶(𝑟)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem constrsslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constr0.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
2		constrsscn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
3	1, 2	constrsscn 33933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
4	3	sselda 3915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
5		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁))
6		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → 𝑎 = 𝑥)
7		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑏 − 𝑎) = (𝑏 − 𝑥))
8	7	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)) = (𝑡 · (𝑏 − 𝑥)))
9	6, 8	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))))
10	9	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ↔ 𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥)))))
11	10	anbi1d 637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → ((𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
12	11	rexbidv 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
13	12	2rexbidv 3204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
14	13	2rexbidv 3204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑥 → (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
15	14	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑎 = 𝑥) → (∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
16		constrsslem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (𝐶‘𝑁))
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ (𝐶‘𝑁))
18		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑏 − 𝑥) = (0 − 𝑥))
19	18	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑡 · (𝑏 − 𝑥)) = (𝑡 · (0 − 𝑥)))
20	19	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))))
21	20	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 0 → (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ↔ 𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥)))))
22	21	anbi1d 637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
23	22	2rexbidv 3204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 0 → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
24	23	2rexbidv 3204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 0 → (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
25	24	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑏 = 0) → (∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
26		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑥 − 𝑐) = (𝑥 − 0))
27	26	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = 0 → (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
28	27	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = 0 → ((abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
29	28	anbi2d 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
30	29	rexbidv 3163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 0 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
31	30	2rexbidv 3204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 0 → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
32	31	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑐 = 0) → (∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
33		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → (𝑒 − 𝑓) = (𝑥 − 𝑓))
34	33	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → (abs‘(𝑒 − 𝑓)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓)))
35	34	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → ((abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)) ↔ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓))))
36	35	anbi2d 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓)))))
37	36	2rexbidv 3204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓)))))
38	37	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑒 = 𝑥) → (∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓)))))
39		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 0 → (𝑥 − 𝑓) = (𝑥 − 0))
40	39	fveq2d 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 0 → (abs‘(𝑥 − 𝑓)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
41	40	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = 0 → ((abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓)) ↔ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0))))
42	41	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 0 → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))))
43	42	rexbidv 3163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 0 → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))))
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑓 = 0) → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓))) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))))
45		0red 11139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
46		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑡 · (0 − 𝑥)) = (0 · (0 − 𝑥)))
47	46	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))))
48	47	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ↔ 𝑥 = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥)))))
49	48	anbi1d 637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))))
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) ∧ 𝑡 = 0) → ((𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0))) ↔ (𝑥 = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))))
51		0cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
52	51, 4	subcld 11497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (0 − 𝑥) ∈ ℂ)
53	52	mul02d 11336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (0 · (0 − 𝑥)) = 0)
54	53	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))) = (𝑥 + 0))
55	4	addridd 11338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
56	54, 55	eqtr2d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑥 = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))))
57		eqidd 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
58	56, 57	jca 516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (𝑥 = (𝑥 + (0 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0))))
59	45, 50, 58	rspcedvd 3562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 0))))
60	17, 44, 59	rspcedvd 3562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑥 − 𝑓))))
61	5, 38, 60	rspcedvd 3562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
62	17, 32, 61	rspcedvd 3562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (0 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
63	17, 25, 62	rspcedvd 3562	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑥 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑥))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
64	5, 15, 63	rspcedvd 3562	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))
65	64	3mix2d 1344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))
66		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝐶‘𝑁) = (𝐶‘𝑁)
67	1, 2, 66	constrsuc 33931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
68	67	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑁)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑁)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
69	4, 65, 68	mpbir2and 719	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑁))
70	69	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶‘𝑁) → 𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑁)))
71	70	ssrdv 3921	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ (𝐶‘suc 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ w3o 1091   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  {crab 3391  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  {cpr 4558   ↦ cmpt 5154  Oncon0 6311  suc csuc 6313  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  reccrdg 8339  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   − cmin 11369  ∗ccj 15050  ℑcim 15052  abscabs 15188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176  df-sub 11371

This theorem is referenced by:  constr01  33935  constrss  33936