Theorem constrsscn 33774

Description: Closure of the constructible points in the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrsscn.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
constrsscn	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑠,𝑥   𝐶,𝑏,𝑠,𝑥   𝐶,𝑐,𝑠,𝑥   𝐶,𝑑,𝑠,𝑥   𝐶,𝑒,𝑠,𝑥   𝐶,𝑓,𝑠,𝑥   𝑠,𝑟,𝑥   𝑡,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑡,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem constrsscn

Dummy variables 𝑛 𝑜 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrsscn.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
2		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘∅))
3	2	sseq1d 3990	. . 3 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘∅) ⊆ ℂ))
4		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛))
5	4	sseq1d 3990	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ))
6		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
7	6	sseq1d 3990	. . 3 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘suc 𝑛) ⊆ ℂ))
8		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑁))
9	8	sseq1d 3990	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ))
10		constr0.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
11	10	constr0 33771	. . . 4 ⊢ (𝐶‘∅) = {0, 1}
12		0cn 11227	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
13		ax-1cn 11187	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		prssi 4797	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {0, 1} ⊆ ℂ)
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
16	11, 15	eqsstri 4005	. . 3 ⊢ (𝐶‘∅) ⊆ ℂ
17		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → 𝑛 ∈ On)
18		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)
19	10, 17, 18	constrsuc 33772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
20	19	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
21	20	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	21	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) → 𝑥 ∈ ℂ))
23	22	ssrdv 3964	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝐶‘suc 𝑛) ⊆ ℂ)
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ On → ((𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ → (𝐶‘suc 𝑛) ⊆ ℂ))
25		vex 3463	. . . . . . 7 ⊢ 𝑚 ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → 𝑚 ∈ V)
27		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → Lim 𝑚)
28	10, 26, 27	constrlim 33773	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝐶‘𝑚) = ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜))
29		fveq2 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑜 → (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑜))
30	29	sseq1d 3990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑜 → ((𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘𝑜) ⊆ ℂ))
31		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑜 ∈ 𝑚) → ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑜 ∈ 𝑚) → 𝑜 ∈ 𝑚)
33	30, 31, 32	rspcdva 3602	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑜 ∈ 𝑚) → (𝐶‘𝑜) ⊆ ℂ)
34	33	iunssd 5026	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜) ⊆ ℂ)
35	28, 34	eqsstrd 3993	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ)
36	35	ex 412	. . 3 ⊢ (Lim 𝑚 → (∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ → (𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ))
37	3, 5, 7, 9, 16, 24, 36	tfinds 7855	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ On → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
38	1, 37	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {cpr 4603  ∪ ciun 4967   ↦ cmpt 5201  Oncon0 6352  Lim wlim 6353  suc csuc 6354  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  reccrdg 8423  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   − cmin 11466  ∗ccj 15115  ℑcim 15117  abscabs 15253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-mulcl 11191  ax-i2m1 11197

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424

This theorem is referenced by:  constrsslem  33775  constrconj  33779  constrfin  33780  constrelextdg2  33781  constrextdg2lem  33782  constrext2chnlem  33784  constrcn  33794