Theorem constrsscn 33730

Description: Closure of the constructible points in the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrsscn.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
constrsscn	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑠,𝑥   𝐶,𝑏,𝑠,𝑥   𝐶,𝑐,𝑠,𝑥   𝐶,𝑑,𝑠,𝑥   𝐶,𝑒,𝑠,𝑥   𝐶,𝑓,𝑠,𝑥   𝑠,𝑟,𝑥   𝑡,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑡,𝑟)   𝑁(𝑥,𝑡,𝑒,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem constrsscn

Dummy variables 𝑛 𝑜 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrsscn.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
2		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘∅))
3	2	sseq1d 3978	. . 3 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘∅) ⊆ ℂ))
4		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛))
5	4	sseq1d 3978	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ))
6		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
7	6	sseq1d 3978	. . 3 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘suc 𝑛) ⊆ ℂ))
8		fveq2 6858	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑁))
9	8	sseq1d 3978	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ))
10		constr0.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
11	10	constr0 33727	. . . 4 ⊢ (𝐶‘∅) = {0, 1}
12		0cn 11166	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
13		ax-1cn 11126	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		prssi 4785	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {0, 1} ⊆ ℂ)
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
16	11, 15	eqsstri 3993	. . 3 ⊢ (𝐶‘∅) ⊆ ℂ
17		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → 𝑛 ∈ On)
18		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)
19	10, 17, 18	constrsuc 33728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
20	19	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
21	20	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	21	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) → 𝑥 ∈ ℂ))
23	22	ssrdv 3952	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝐶‘suc 𝑛) ⊆ ℂ)
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ On → ((𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ → (𝐶‘suc 𝑛) ⊆ ℂ))
25		vex 3451	. . . . . . 7 ⊢ 𝑚 ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → 𝑚 ∈ V)
27		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → Lim 𝑚)
28	10, 26, 27	constrlim 33729	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝐶‘𝑚) = ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜))
29		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑜 → (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑜))
30	29	sseq1d 3978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑜 → ((𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘𝑜) ⊆ ℂ))
31		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑜 ∈ 𝑚) → ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
32		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑜 ∈ 𝑚) → 𝑜 ∈ 𝑚)
33	30, 31, 32	rspcdva 3589	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑜 ∈ 𝑚) → (𝐶‘𝑜) ⊆ ℂ)
34	33	iunssd 5014	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜) ⊆ ℂ)
35	28, 34	eqsstrd 3981	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ)
36	35	ex 412	. . 3 ⊢ (Lim 𝑚 → (∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ → (𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ))
37	3, 5, 7, 9, 16, 24, 36	tfinds 7836	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ On → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
38	1, 37	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  {cpr 4591  ∪ ciun 4955   ↦ cmpt 5188  Oncon0 6332  Lim wlim 6333  suc csuc 6334  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  reccrdg 8377  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   − cmin 11405  ∗ccj 15062  ℑcim 15064  abscabs 15200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-mulcl 11130  ax-i2m1 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378

This theorem is referenced by:  constrsslem  33731  constrconj  33735  constrfin  33736  constrelextdg2  33737  constrextdg2lem  33738  constrext2chnlem  33740  constrcn  33750