Theorem constrsscn 34139

Description: Closure of the constructible points in the complex numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
constr0.1	⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
constrsscn.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)

Assertion

Ref	Expression
constrsscn	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑠,𝑥   𝐶,𝑏,𝑠,𝑥   𝐶,𝑐,𝑠,𝑥   𝐶,𝑑,𝑠,𝑥   𝐶,𝑒,𝑠,𝑥   𝐶,𝑓,𝑠,𝑥   𝑠,𝑟,𝑥   𝑡,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑟, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝐶(𝑡, 𝑟)   𝑁(𝑥, 𝑡, 𝑒, 𝑓, 𝑠, 𝑟, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)

Proof of Theorem constrsscn

Dummy variables 𝑛 𝑜 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		constrsscn.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ On)
2		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ∅ → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘∅))
3	2	sseq1d 3967	. . 3 ⊢ (𝑚 = ∅ → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘∅) ⊆ ℂ))
4		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛))
5	4	sseq1d 3967	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ))
6		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛))
7	6	sseq1d 3967	. . 3 ⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘suc 𝑛) ⊆ ℂ))
8		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑁))
9	8	sseq1d 3967	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ))
10		constr0.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1})
11	10	constr0 34136	. . . 4 ⊢ (𝐶‘∅) = {0, 1}
12		0cn 11204	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
13		ax-1cn 11164	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		prssi 4786	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → {0, 1} ⊆ ℂ)
15	12, 13, 14	mp2an 704	. . . 4 ⊢ {0, 1} ⊆ ℂ
16	11, 15	eqsstri 3982	. . 3 ⊢ (𝐶‘∅) ⊆ ℂ
17		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → 𝑛 ∈ On)
18		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑛)
19	10, 17, 18	constrsuc 34137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))))
20	19	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧ (ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))
21	20	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℂ)
22	21	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) → 𝑥 ∈ ℂ))
23	22	ssrdv 3942	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ On ∧ (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝐶‘suc 𝑛) ⊆ ℂ)
24	23	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ On → ((𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ → (𝐶‘suc 𝑛) ⊆ ℂ))
25		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑚 ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → 𝑚 ∈ V)
27		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → Lim 𝑚)
28	10, 26, 27	constrlim 34138	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝐶‘𝑚) = ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜))
29		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑜 → (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑜))
30	29	sseq1d 3967	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑜 → ((𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ ↔ (𝐶‘𝑜) ⊆ ℂ))
31		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑜 ∈ 𝑚) → ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ)
32		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑜 ∈ 𝑚) → 𝑜 ∈ 𝑚)
33	30, 31, 32	rspcdva 3581	. . . . . 6 ⊢ (((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) ∧ 𝑜 ∈ 𝑚) → (𝐶‘𝑜) ⊆ ℂ)
34	33	iunssd 5014	. . . . 5 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → ∪ 𝑜 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑜) ⊆ ℂ)
35	28, 34	eqsstrd 3970	. . . 4 ⊢ ((Lim 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) → (𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ)
36	35	ex 417	. . 3 ⊢ (Lim 𝑚 → (∀𝑛 ∈ 𝑚 (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ → (𝐶‘𝑚) ⊆ ℂ))
37	3, 5, 7, 9, 16, 24, 36	tfinds 7854	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ On → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)
38	1, 37	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ⊆ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ w3o 1101   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3415  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {cpr 4590  ∪ ciun 4955   ↦ cmpt 5191  Oncon0 6360  Lim wlim 6361  suc csuc 6362  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  reccrdg 8394  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11447  ∗ccj 15154  ℑcim 15156  abscabs 15292

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-mulcl 11168  ax-i2m1 11174

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395

This theorem is used by:  constrsslem  34140  constrconj  34144  constrfin  34145  constrelextdg2  34146  constrextdg2lem  34147  constrext2chnlem  34149  constrcn  34159