Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftmoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftmoi 31596
 Description: A lift of a continuous function from a connected and locally connected space over a covering map is unique when it exists. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftmo.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftmo.y 𝑌 = 𝐾
cvmliftmo.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftmo.k (𝜑𝐾 ∈ Conn)
cvmliftmo.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn)
cvmliftmo.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmliftmoi.m (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.n (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
cvmliftmoi.g (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
cvmliftmoi.p (𝜑 → (𝑀𝑂) = (𝑁𝑂))
Assertion
Ref Expression
cvmliftmoi (𝜑𝑀 = 𝑁)

Proof of Theorem cvmliftmoi
Dummy variables 𝑏 𝑘 𝑚 𝑟 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftmo.b . 2 𝐵 = 𝐶
2 cvmliftmo.y . 2 𝑌 = 𝐾
3 cvmliftmo.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4 cvmliftmo.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ Conn)
5 cvmliftmo.l . 2 (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally Conn)
6 cvmliftmo.o . 2 (𝜑𝑂𝑌)
7 cvmliftmoi.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
8 cvmliftmoi.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ (𝐾 Cn 𝐶))
9 cvmliftmoi.g . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀) = (𝐹𝑁))
10 cvmliftmoi.p . 2 (𝜑 → (𝑀𝑂) = (𝑁𝑂))
11 eqid 2771 . . 3 (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))}) = (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))})
1211cvmscbv 31571 . 2 (𝑘𝐽 ↦ {𝑠 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑠 = (𝐹𝑘) ∧ ∀𝑢𝑠 (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∖ {𝑢})(𝑢𝑣) = ∅ ∧ (𝐹𝑢) ∈ ((𝐶t 𝑢)Homeo(𝐽t 𝑘))))}) = (𝑏𝐽 ↦ {𝑚 ∈ (𝒫 𝐶 ∖ {∅}) ∣ ( 𝑚 = (𝐹𝑏) ∧ ∀𝑟𝑚 (∀𝑤 ∈ (𝑚 ∖ {𝑟})(𝑟𝑤) = ∅ ∧ (𝐹𝑟) ∈ ((𝐶t 𝑟)Homeo(𝐽t 𝑏))))})
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12cvmliftmolem2 31595 1 (𝜑𝑀 = 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  {crab 3065   ∖ cdif 3720   ∩ cin 3722  ∅c0 4063  𝒫 cpw 4297  {csn 4316  ∪ cuni 4574   ↦ cmpt 4863  ◡ccnv 5248   ↾ cres 5251   “ cima 5252   ∘ ccom 5253  ‘cfv 6029  (class class class)co 6791   ↾t crest 16282   Cn ccn 21242  Conncconn 21428  𝑛-Locally cnlly 21482  Homeochmeo 21770   CovMap ccvm 31568 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-fin 8111  df-fi 8471  df-rest 16284  df-topgen 16305  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964  df-cld 21037  df-nei 21116  df-cn 21245  df-conn 21429  df-nlly 21484  df-hmeo 21772  df-cvm 31569 This theorem is referenced by:  cvmliftmo  31597  cvmliftphtlem  31630
 Copyright terms: Public domain W3C validator