Theorem dfnn3 12224

Description: Alternate definition of the set of positive integers. Definition of positive integers in [Apostol] p. 22. (Contributed by NM, 3-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
dfnn3	⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfnn3

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2814	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ 𝑧))
2		eleq2 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
3	2	raleqbi1dv 3325	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧))
4	1, 3	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)))
5		dfnn2 12223	. . . . 5 ⊢ ℕ = ∩ {𝑧 ∣ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)}
6	5	eqeq2i 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ℕ ↔ 𝑥 = ∩ {𝑧 ∣ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)})
7		eleq2 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ℕ → (1 ∈ 𝑥 ↔ 1 ∈ ℕ))
8		eleq2 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ℕ → ((𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦 + 1) ∈ ℕ))
9	8	raleqbi1dv 3325	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ℕ → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 + 1) ∈ ℕ))
10	7, 9	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ℕ → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 + 1) ∈ ℕ)))
11	6, 10	sylbir 234	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∩ {𝑧 ∣ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)} → ((1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 + 1) ∈ ℕ)))
12		nnssre 12214	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
13	5, 12	eqsstrri 4010	. . . 4 ⊢ ∩ {𝑧 ∣ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)} ⊆ ℝ
14		1nn 12221	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
15		peano2nn 12222	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
16	15	rgen 3055	. . . . 5 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 + 1) ∈ ℕ
17	14, 16	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 + 1) ∈ ℕ)
18	13, 17	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (∩ {𝑧 ∣ (1 ∈ 𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑧 (𝑦 + 1) ∈ 𝑧)} ⊆ ℝ ∧ (1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 + 1) ∈ ℕ))
19	4, 11, 18	intabs 5333	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥))} = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
20		3anass 1092	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)))
21	20	abbii 2794	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥))}
22	21	inteqi 4945	. 2 ⊢ ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)} = ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥))}
23		dfnn2 12223	. 2 ⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
24	19, 22, 23	3eqtr4ri 2763	1 ⊢ ℕ = ∩ {𝑥 ∣ (𝑥 ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701  ∀wral 3053   ⊆ wss 3941  ∩ cint 4941  (class class class)co 7402  ℝcr 11106  1c1 11108   + caddc 11110  ℕcn 12210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12211

This theorem is referenced by: (None)