Theorem 1nn 12350

Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1nn	⊢ 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11307	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2		fr0g 8448	. . . 4 ⊢ (1 ∈ V → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1
4		frfnom 8447	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
5		peano1 7901	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
6		fnfvelrn 7081	. . . 4 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
8	3, 7	eqeltrri 2857	. 2 ⊢ 1 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
9		df-nn 12340	. . 3 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
10		df-ima 5663	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
11	9, 10	eqtri 2783	. 2 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
12	8, 11	eleqtrri 2859	1 ⊢ 1 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651   ↾ cres 5652   “ cima 5653   Fn wfn 6534  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ωcom 7878  reccrdg 8421  1c1 11205   + caddc 11207  ℕcn 12339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-1cn 11262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12340

This theorem is used by:  dfnn2  12352  dfnn3  12353  nnind  12357  nn1suc  12361  nnmulcom  12400  2nn  12420  nnunb  12606  1nn0  12626  nn0p1nn  12649  elz2  12715  1z  12730  neg1z  12736  0nn0m1nnn0  12757  nneo  12787  9p1e10  12820  11nn  12843  elnn1uz2  13056  zq  13085  rpnnen1lem4  13112  rpnnen1lem5  13113  1elfzo1  13853  ser1const  14205  exp1  14214  nnexpcl  14221  expnbnd  14380  fac1  14425  faccl  14431  faclbnd3  14440  faclbnd4lem1  14441  faclbnd4lem2  14442  faclbnd4lem3  14443  faclbnd4lem4  14444  lsw0  14714  ccat2s1p1  14782  cats1un  14875  revs1  14919  cats1fvn  15014  relexpsucnnl  15189  relexpaddg  15212  isercolllem2  15839  isercolllem3  15840  isercoll  15841  sumsnf  15915  climcndslem1  16024  climcndslem2  16025  fprodnncl  16128  prodsn  16135  prodsnf  16137  nnrisefaccl  16192  eftlub  16283  eirrlem  16378  rpnnen2lem5  16392  rpnnen2lem8  16395  rpnnen2lem12  16399  dvdsle  16486  ndvdsp1  16587  5ndvds6  16590  gcd1  16707  bezoutr1  16750  1nprm  16860  1idssfct  16861  isprm2lem  16862  qden1elz  16939  phi1  16956  phiprm  16960  pcpre1  17026  pczpre  17031  pcmptcl  17075  pcmpt  17076  infpnlem2  17095  prmreclem1  17100  prmreclem6  17105  mul4sq  17138  vdwmc2  17163  vdwlem8  17172  vdwlem13  17177  vdwnnlem3  17181  prmocl  17218  prmop1  17222  fvprmselelfz  17228  fvprmselgcd1  17229  prmolefac  17230  prmodvdslcmf  17231  prmgapprmo  17246  5prm  17292  7prm  17294  10nprm  17297  11prm  17299  13prm  17300  17prm  17301  19prm  17302  37prm  17305  43prm  17306  83prm  17307  139prm  17308  163prm  17309  317prm  17310  631prm  17311  1259lem4  17318  1259lem5  17319  1259prm  17320  2503lem3  17323  2503prm  17324  4001lem1  17325  4001lem2  17326  4001lem3  17327  4001lem4  17328  4001prm  17329  baseid  17396  basendx  17402  basendxnn  17403  rngstr  17475  lmodstr  17502  topgrpstr  17538  otpsstr  17553  ocndx  17558  ocid  17559  basendxnocndx  17560  plendxnocndx  17561  basendxltdsndx  17565  dsndxnplusgndx  17567  dsndxnmulrndx  17568  slotsdnscsi  17569  dsndxntsetndx  17570  slotsdifdsndx  17571  basendxltunifndx  17575  unifndxntsetndx  17577  slotsdifunifndx  17578  slotsbhcdif  17592  slotsdifocndx  17594  catstr  18141  ipostr  18709  mulgfval  19285  mulg1  19297  mulg2  19299  od1  19779  0subgALT  19788  gex1  19811  efgsval2  19953  efgsp1  19957  torsubg  20074  pgpfaclem1  20303  pmatcollpw3fi1lem2  23111  hauspwdom  23826  imasdsf1olem  24698  cphipval  25570  bcthlem4  25654  bcth3  25658  ovolmge0  25804  ovollb2  25816  ovolctb  25817  ovolunlem1a  25823  ovolunlem1  25824  ovoliunlem1  25829  ovoliun  25832  ovoliun2  25833  ovolicc1  25843  voliunlem1  25877  volsup  25883  ioombl1lem2  25886  ioombl1lem4  25888  uniioombllem1  25908  uniioombllem2  25910  uniioombllem6  25915  itg1climres  26041  itg2seq  26069  itg2monolem1  26077  itg2monolem2  26078  itg2monolem3  26079  itg2mono  26080  itg2i1fseq2  26083  itg2cnlem1  26088  aalioulem5  26669  aaliou2b  26674  aaliou3lem4  26679  aaliou3lem7  26682  log2ub  27283  emcllem6  27334  emcllem7  27335  lgam1  27397  gam1  27398  ftalem7  27412  efnnfsumcl  27436  vmaprm  27450  efvmacl  27453  efchtdvds  27492  vma1  27499  prmorcht  27511  sqff1o  27515  pclogsum  27548  perfectlem1  27562  perfectlem2  27563  bpos1  27616  bposlem5  27621  lgsdir  27665  lgs1  27674  lgsquad2lem2  27718  addsqn2reu  27774  addsqrexnreu  27775  dchrmusumlema  27826  dchrisum0lema  27847  slotsinbpsd  28909  slotslnbpsd  28910  trkgstr  28912  angmgmlem  29401  angmgmbas  29404  eengstr  29564  basendxltedgfndx  29578  usgrexmplef  29846  lfgrn1cycl  30400  clwwlkn1  30638  ipval2  31315  opsqrlem2  32749  ssnnssfz  33426  znumd  33451  zdend  33452  nnindf  33458  nn0min  33459  isarchi3  33795  eufndx  33901  eufid  33902  constrext2chnlem  34429  iconstr  34445  rge0scvg  34628  qqh0  34663  qqh1  34664  esumfzf  34748  esumfsup  34749  esumpcvgval  34757  voliune  34909  eulerpartgbij  35051  eulerpartlemgs2  35059  fib2  35081  rrvsum  35133  ballotlem4  35178  ballotlemi1  35182  ballotlemii  35183  ballotlemic  35186  ballotlem1c  35187  hgt750lem  35327  hgt750leme  35334  faclimlem1  36601  nn0prpwlem  37203  nn0prpw  37204  poimirlem32  38664  ovoliunnfl  38674  voliunnfl  38676  volsupnfl  38677  incsequz  38776  bfplem1  38850  rrncmslem  38860  60gcd7e1  43149  12lcm5e60  43152  60lcm7e420  43154  lcm1un  43157  lcmineqlem10  43182  3lexlogpow5ineq1  43198  3lexlogpow5ineq2  43199  aks4d1p1p7  43218  aks6d1c1p8  43259  sticksstones9  43298  sticksstones11  43300  aks6d1c7lem1  43324  3cubes  43794  jm2.23  44097  rmydioph  44115  rmxdioph  44117  expdiophlem2  44123  expdioph  44124  relexp2  44771  iunrelexpmin1  44802  iunrelexpmin2  44806  dftrcl3  44814  fvtrcllb1d  44816  cotrcltrcl  44819  corcltrcl  44833  cotrclrcl  44836  prmunb2  45389  sumsnd  46137  nnn0  46483  xrralrecnnge  46495  iooiinicc  46648  iooiinioc  46662  mccl  46704  sumnnodd  46736  wallispilem4  47172  wallispi2lem1  47175  wallispi2lem2  47176  stirlinglem8  47185  stirlinglem11  47188  stirlinglem12  47189  stirlinglem13  47190  fourierdlem31  47242  nnfoctbdjlem  47559  hoicvrrex  47660  hoidmvlelem3  47701  ovnhoilem1  47705  ovnhoilem2  47706  ovnlecvr2  47714  ovnsubadd2lem  47749  iinhoiicclem  47777  vonicclem2  47788  numtowerdt  48010  1elfzo1ceilhalf1  48505  iccpartlt  48600  257prm  48740  fmtnoprmfac2lem1  48745  fmtno4prmfac193  48752  fmtno4nprmfac193  48753  fmtno5nprm  48762  3ndvds4  48774  139prmALT  48775  31prm  48776  127prm  48778  3exp4mod41  48795  41prothprmlem2  48797  perfectALTVlem1  48913  perfectALTVlem2  48914  2exp340mod341  48925  341fppr2  48926  4fppr1  48927  nnsum3primesprm  48982  bgoldbtbndlem1  48997  tgblthelfgott  49007  nnsgrpmgm  49367  nnsgrpnmnd  49369  blennn0elnn  49783  blen1  49790  ackval42  49902  1elfz13  51112  veronesevrowd  51148  veronesematrowd  51150  veroquadgsumlem  51152  veroquadmodzerod  51153  veroquadnolindfd  51154