Theorem 1nn 12274

Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1nn	⊢ 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11254	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2		fr0g 8474	. . . 4 ⊢ (1 ∈ V → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1
4		frfnom 8473	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
5		peano1 7910	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
6		fnfvelrn 7099	. . . 4 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
8	3, 7	eqeltrri 2835	. 2 ⊢ 1 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
9		df-nn 12264	. . 3 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
10		df-ima 5701	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
11	9, 10	eqtri 2762	. 2 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
12	8, 11	eleqtrri 2837	1 ⊢ 1 ∈ ℕ

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477  ∅c0 4338   ↦ cmpt 5230  ran crn 5689   ↾ cres 5690   “ cima 5691   Fn wfn 6557  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886  reccrdg 8447  1c1 11153   + caddc 11155  ℕcn 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-1cn 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264

This theorem is referenced by:  dfnn2  12276  dfnn3  12277  nnind  12281  nn1suc  12285  2nn  12336  nnunb  12519  1nn0  12539  nn0p1nn  12562  elz2  12628  1z  12644  neg1z  12650  nneo  12699  9p1e10  12732  elnn1uz2  12964  zq  12993  rpnnen1lem4  13019  rpnnen1lem5  13020  ser1const  14095  exp1  14104  nnexpcl  14111  expnbnd  14267  fac1  14312  faccl  14318  faclbnd3  14327  faclbnd4lem1  14328  faclbnd4lem2  14329  faclbnd4lem3  14330  faclbnd4lem4  14331  lsw0  14599  ccat2s1p1  14663  cats1un  14755  revs1  14799  cats1fvn  14893  relexpsucnnl  15065  relexpaddg  15088  isercolllem2  15698  isercolllem3  15699  isercoll  15700  sumsnf  15775  climcndslem1  15881  climcndslem2  15882  fprodnncl  15987  prodsn  15994  prodsnf  15996  nnrisefaccl  16051  eftlub  16141  eirrlem  16236  rpnnen2lem5  16250  rpnnen2lem8  16253  rpnnen2lem12  16257  dvdsle  16343  ndvdsp1  16444  5ndvds6  16447  gcd1  16561  bezoutr1  16602  1nprm  16712  1idssfct  16713  isprm2lem  16714  qden1elz  16790  phi1  16806  phiprm  16810  pcpre1  16875  pczpre  16880  pcmptcl  16924  pcmpt  16925  infpnlem2  16944  prmreclem1  16949  prmreclem6  16954  mul4sq  16987  vdwmc2  17012  vdwlem8  17021  vdwlem13  17026  vdwnnlem3  17030  prmocl  17067  prmop1  17071  fvprmselelfz  17077  fvprmselgcd1  17078  prmolefac  17079  prmodvdslcmf  17080  prmgapprmo  17095  5prm  17142  7prm  17144  11prm  17148  13prm  17149  17prm  17150  19prm  17151  37prm  17154  43prm  17155  83prm  17156  139prm  17157  163prm  17158  317prm  17159  631prm  17160  1259lem4  17167  1259lem5  17168  1259prm  17169  2503lem3  17172  2503prm  17173  4001lem1  17174  4001lem2  17175  4001lem3  17176  4001lem4  17177  4001prm  17178  baseid  17247  basendx  17253  basendxnn  17254  basendxnnOLD  17255  1strstr  17259  2strstr  17266  ressval3dOLD  17292  basendxnplusgndxOLD  17328  basendxnmulrndxOLD  17341  rngstr  17343  lmodstr  17370  topgrpstr  17406  otpsstr  17421  ocndx  17426  ocid  17427  basendxnocndx  17428  plendxnocndx  17429  basendxltdsndx  17433  dsndxnplusgndx  17435  dsndxnmulrndx  17436  slotsdnscsi  17437  dsndxntsetndx  17438  slotsdifdsndx  17439  basendxltunifndx  17443  unifndxntsetndx  17445  slotsdifunifndx  17446  slotsbhcdif  17460  slotsbhcdifOLD  17461  slotsdifocndx  17463  oppcbasOLD  17764  rescbasOLD  17877  rescabsOLD  17883  catstr  18012  estrreslem1OLD  18192  ipostr  18586  mulgfval  19099  mulg1  19111  mulg2  19113  oppgbasOLD  19383  symgvalstructOLD  19429  od1  19591  0subgALT  19600  gex1  19623  efgsval2  19765  efgsp1  19769  torsubg  19886  pgpfaclem1  20115  mgpbasOLD  20158  mgpdsOLD  20165  opprbasOLD  20358  rmodislmodOLD  20945  srabaseOLD  21195  sradsOLD  21209  cnfldfunALTOLDOLD  21410  zlmbasOLD  21547  znbas2OLD  21573  thlbasOLD  21732  thlleOLD  21734  opsrbasOLD  22087  pmatcollpw3fi1lem2  22808  hauspwdom  23524  tuslemOLD  24291  imasdsf1olem  24398  setsmsdsOLD  24503  tmslemOLD  24510  tnglemOLD  24669  tngbasOLD  24671  tngdsOLD  24684  cphipval  25290  bcthlem4  25374  bcth3  25378  ovolmge0  25525  ovollb2  25537  ovolctb  25538  ovolunlem1a  25544  ovolunlem1  25545  ovoliunlem1  25550  ovoliun  25553  ovoliun2  25554  ovolicc1  25564  voliunlem1  25598  volsup  25604  ioombl1lem2  25607  ioombl1lem4  25609  uniioombllem1  25629  uniioombllem2  25631  uniioombllem6  25636  itg1climres  25763  itg2seq  25791  itg2monolem1  25799  itg2monolem2  25800  itg2monolem3  25801  itg2mono  25802  itg2i1fseq2  25805  itg2cnlem1  25810  aalioulem5  26392  aaliou2b  26397  aaliou3lem4  26402  aaliou3lem7  26405  log2ub  27006  emcllem6  27058  emcllem7  27059  lgam1  27121  gam1  27122  ftalem7  27136  efnnfsumcl  27160  vmaprm  27174  efvmacl  27177  efchtdvds  27216  vma1  27223  prmorcht  27235  sqff1o  27239  pclogsum  27273  perfectlem1  27287  perfectlem2  27288  bpos1  27341  bposlem5  27346  lgsdir  27390  lgs1  27399  lgsquad2lem2  27443  addsqn2reu  27499  addsqrexnreu  27500  dchrmusumlema  27551  dchrisum0lema  27572  slotsinbpsd  28463  slotslnbpsd  28464  trkgstr  28466  ttgbasOLD  28902  ttgplusgOLD  28904  ttgvscaOLD  28907  eengstr  29009  basendxltedgfndx  29024  baseltedgfOLD  29025  usgrexmplef  29290  lfgrn1cycl  29834  clwwlkn1  30069  ipval2  30735  opsqrlem2  32169  ssnnssfz  32795  znumd  32818  zdend  32819  nnindf  32825  nn0min  32826  isarchi3  33176  eufndx  33273  eufid  33274  resvbasOLD  33339  rge0scvg  33909  zlmdsOLD  33923  qqh0  33946  qqh1  33947  esumfzf  34049  esumfsup  34050  esumpcvgval  34058  voliune  34209  eulerpartgbij  34353  eulerpartlemgs2  34361  fib2  34383  rrvsum  34435  ballotlem4  34479  ballotlemi1  34483  ballotlemii  34484  ballotlemic  34487  ballotlem1c  34488  hgt750lem  34644  hgt750leme  34651  0nn0m1nnn0  35096  faclimlem1  35722  nn0prpwlem  36304  nn0prpw  36305  poimirlem32  37638  ovoliunnfl  37648  voliunnfl  37650  volsupnfl  37651  incsequz  37734  bfplem1  37808  rrncmslem  37818  hlhilsbaseOLD  41923  60gcd7e1  41986  12lcm5e60  41989  60lcm7e420  41991  lcm1un  41994  lcmineqlem10  42019  3lexlogpow5ineq1  42035  3lexlogpow5ineq2  42036  3lexlogpow5ineq4  42037  aks4d1p1p7  42055  aks6d1c1p8  42096  sticksstones9  42135  sticksstones11  42137  aks6d1c7lem1  42161  nnmulcom  42285  3cubes  42677  jm2.23  42984  rmydioph  43002  rmxdioph  43004  expdiophlem2  43010  expdioph  43011  relexp2  43666  iunrelexpmin1  43697  iunrelexpmin2  43701  dftrcl3  43709  fvtrcllb1d  43711  cotrcltrcl  43714  corcltrcl  43728  cotrclrcl  43731  mnringbasedOLD  44207  prmunb2  44306  sumsnd  44963  nnn0  45327  xrralrecnnge  45339  iooiinicc  45494  iooiinioc  45508  mccl  45553  sumnnodd  45585  wallispilem4  46023  wallispi2lem1  46026  wallispi2lem2  46027  stirlinglem8  46036  stirlinglem11  46039  stirlinglem12  46040  stirlinglem13  46041  fourierdlem31  46093  nnfoctbdjlem  46410  hoicvr  46503  hoicvrrex  46511  hoidmvlelem3  46552  ovnhoilem1  46556  ovnhoilem2  46557  ovnlecvr2  46565  ovnsubadd2lem  46600  iinhoiicclem  46628  vonicclem2  46639  iccpartlt  47348  257prm  47485  fmtnoprmfac2lem1  47490  fmtno4prmfac193  47497  fmtno4nprmfac193  47498  fmtno5nprm  47507  3ndvds4  47519  139prmALT  47520  31prm  47521  127prm  47523  3exp4mod41  47540  41prothprmlem2  47542  perfectALTVlem1  47645  perfectALTVlem2  47646  2exp340mod341  47657  341fppr2  47658  4fppr1  47659  nnsum3primesprm  47714  bgoldbtbndlem1  47729  tgblthelfgott  47739  nnsgrpmgm  48019  nnsgrpnmnd  48021  blennn0elnn  48426  blen1  48433  ackval42  48545