Theorem 1nn 12156

Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1nn	⊢ 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11128	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2		fr0g 8367	. . . 4 ⊢ (1 ∈ V → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1
4		frfnom 8366	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
5		peano1 7831	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
6		fnfvelrn 7025	. . . 4 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
8	3, 7	eqeltrri 2833	. 2 ⊢ 1 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
9		df-nn 12146	. . 3 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
10		df-ima 5637	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
11	9, 10	eqtri 2759	. 2 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
12	8, 11	eleqtrri 2835	1 ⊢ 1 ∈ ℕ

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∅c0 4285   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625   ↾ cres 5626   “ cima 5627   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ωcom 7808  reccrdg 8340  1c1 11027   + caddc 11029  ℕcn 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146

This theorem is referenced by:  dfnn2  12158  dfnn3  12159  nnind  12163  nn1suc  12167  2nn  12218  nnunb  12397  1nn0  12417  nn0p1nn  12440  elz2  12506  1z  12521  neg1z  12527  nneo  12576  9p1e10  12609  elnn1uz2  12838  zq  12867  rpnnen1lem4  12893  rpnnen1lem5  12894  1elfzo1  13630  ser1const  13981  exp1  13990  nnexpcl  13997  expnbnd  14155  fac1  14200  faccl  14206  faclbnd3  14215  faclbnd4lem1  14216  faclbnd4lem2  14217  faclbnd4lem3  14218  faclbnd4lem4  14219  lsw0  14488  ccat2s1p1  14553  cats1un  14644  revs1  14688  cats1fvn  14781  relexpsucnnl  14953  relexpaddg  14976  isercolllem2  15589  isercolllem3  15590  isercoll  15591  sumsnf  15666  climcndslem1  15772  climcndslem2  15773  fprodnncl  15878  prodsn  15885  prodsnf  15887  nnrisefaccl  15942  eftlub  16034  eirrlem  16129  rpnnen2lem5  16143  rpnnen2lem8  16146  rpnnen2lem12  16150  dvdsle  16237  ndvdsp1  16338  5ndvds6  16341  gcd1  16455  bezoutr1  16496  1nprm  16606  1idssfct  16607  isprm2lem  16608  qden1elz  16684  phi1  16700  phiprm  16704  pcpre1  16770  pczpre  16775  pcmptcl  16819  pcmpt  16820  infpnlem2  16839  prmreclem1  16844  prmreclem6  16849  mul4sq  16882  vdwmc2  16907  vdwlem8  16916  vdwlem13  16921  vdwnnlem3  16925  prmocl  16962  prmop1  16966  fvprmselelfz  16972  fvprmselgcd1  16973  prmolefac  16974  prmodvdslcmf  16975  prmgapprmo  16990  5prm  17036  7prm  17038  11prm  17042  13prm  17043  17prm  17044  19prm  17045  37prm  17048  43prm  17049  83prm  17050  139prm  17051  163prm  17052  317prm  17053  631prm  17054  1259lem4  17061  1259lem5  17062  1259prm  17063  2503lem3  17066  2503prm  17067  4001lem1  17068  4001lem2  17069  4001lem3  17070  4001lem4  17071  4001prm  17072  baseid  17139  basendx  17145  basendxnn  17146  rngstr  17218  lmodstr  17245  topgrpstr  17281  otpsstr  17296  ocndx  17301  ocid  17302  basendxnocndx  17303  plendxnocndx  17304  basendxltdsndx  17308  dsndxnplusgndx  17310  dsndxnmulrndx  17311  slotsdnscsi  17312  dsndxntsetndx  17313  slotsdifdsndx  17314  basendxltunifndx  17318  unifndxntsetndx  17320  slotsdifunifndx  17321  slotsbhcdif  17335  slotsdifocndx  17337  catstr  17884  ipostr  18452  mulgfval  18999  mulg1  19011  mulg2  19013  od1  19488  0subgALT  19497  gex1  19520  efgsval2  19662  efgsp1  19666  torsubg  19783  pgpfaclem1  20012  pmatcollpw3fi1lem2  22731  hauspwdom  23445  imasdsf1olem  24317  cphipval  25199  bcthlem4  25283  bcth3  25287  ovolmge0  25434  ovollb2  25446  ovolctb  25447  ovolunlem1a  25453  ovolunlem1  25454  ovoliunlem1  25459  ovoliun  25462  ovoliun2  25463  ovolicc1  25473  voliunlem1  25507  volsup  25513  ioombl1lem2  25516  ioombl1lem4  25518  uniioombllem1  25538  uniioombllem2  25540  uniioombllem6  25545  itg1climres  25671  itg2seq  25699  itg2monolem1  25707  itg2monolem2  25708  itg2monolem3  25709  itg2mono  25710  itg2i1fseq2  25713  itg2cnlem1  25718  aalioulem5  26300  aaliou2b  26305  aaliou3lem4  26310  aaliou3lem7  26313  log2ub  26915  emcllem6  26967  emcllem7  26968  lgam1  27030  gam1  27031  ftalem7  27045  efnnfsumcl  27069  vmaprm  27083  efvmacl  27086  efchtdvds  27125  vma1  27132  prmorcht  27144  sqff1o  27148  pclogsum  27182  perfectlem1  27196  perfectlem2  27197  bpos1  27250  bposlem5  27255  lgsdir  27299  lgs1  27308  lgsquad2lem2  27352  addsqn2reu  27408  addsqrexnreu  27409  dchrmusumlema  27460  dchrisum0lema  27481  slotsinbpsd  28513  slotslnbpsd  28514  trkgstr  28516  eengstr  29053  basendxltedgfndx  29067  usgrexmplef  29332  lfgrn1cycl  29878  clwwlkn1  30116  ipval2  30782  opsqrlem2  32216  ssnnssfz  32867  znumd  32893  zdend  32894  nnindf  32900  nn0min  32901  isarchi3  33269  eufndx  33372  eufid  33373  constrext2chnlem  33907  iconstr  33923  rge0scvg  34106  qqh0  34141  qqh1  34142  esumfzf  34226  esumfsup  34227  esumpcvgval  34235  voliune  34386  eulerpartgbij  34529  eulerpartlemgs2  34537  fib2  34559  rrvsum  34611  ballotlem4  34656  ballotlemi1  34660  ballotlemii  34661  ballotlemic  34664  ballotlem1c  34665  hgt750lem  34808  hgt750leme  34815  0nn0m1nnn0  35307  faclimlem1  35937  nn0prpwlem  36516  nn0prpw  36517  poimirlem32  37853  ovoliunnfl  37863  voliunnfl  37865  volsupnfl  37866  incsequz  37949  bfplem1  38023  rrncmslem  38033  60gcd7e1  42259  12lcm5e60  42262  60lcm7e420  42264  lcm1un  42267  lcmineqlem10  42292  3lexlogpow5ineq1  42308  3lexlogpow5ineq2  42309  3lexlogpow5ineq4  42310  aks4d1p1p7  42328  aks6d1c1p8  42369  sticksstones9  42408  sticksstones11  42410  aks6d1c7lem1  42434  nnmulcom  42527  3cubes  42932  jm2.23  43238  rmydioph  43256  rmxdioph  43258  expdiophlem2  43264  expdioph  43265  relexp2  43918  iunrelexpmin1  43949  iunrelexpmin2  43953  dftrcl3  43961  fvtrcllb1d  43963  cotrcltrcl  43966  corcltrcl  43980  cotrclrcl  43983  prmunb2  44552  sumsnd  45271  nnn0  45622  xrralrecnnge  45634  iooiinicc  45788  iooiinioc  45802  mccl  45844  sumnnodd  45876  wallispilem4  46312  wallispi2lem1  46315  wallispi2lem2  46316  stirlinglem8  46325  stirlinglem11  46328  stirlinglem12  46329  stirlinglem13  46330  fourierdlem31  46382  nnfoctbdjlem  46699  hoicvr  46792  hoicvrrex  46800  hoidmvlelem3  46841  ovnhoilem1  46845  ovnhoilem2  46846  ovnlecvr2  46854  ovnsubadd2lem  46889  iinhoiicclem  46917  vonicclem2  46928  nthrucw  47130  1elfzo1ceilhalf1  47583  iccpartlt  47670  257prm  47807  fmtnoprmfac2lem1  47812  fmtno4prmfac193  47819  fmtno4nprmfac193  47820  fmtno5nprm  47829  3ndvds4  47841  139prmALT  47842  31prm  47843  127prm  47845  3exp4mod41  47862  41prothprmlem2  47864  perfectALTVlem1  47967  perfectALTVlem2  47968  2exp340mod341  47979  341fppr2  47980  4fppr1  47981  nnsum3primesprm  48036  bgoldbtbndlem1  48051  tgblthelfgott  48061  nnsgrpmgm  48422  nnsgrpnmnd  48424  blennn0elnn  48823  blen1  48830  ackval42  48942