Theorem 1nn 12304

Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1nn	⊢ 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11286	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2		fr0g 8492	. . . 4 ⊢ (1 ∈ V → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1
4		frfnom 8491	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
5		peano1 7927	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
6		fnfvelrn 7114	. . . 4 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
7	4, 5, 6	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
8	3, 7	eqeltrri 2841	. 2 ⊢ 1 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
9		df-nn 12294	. . 3 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
10		df-ima 5713	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
11	9, 10	eqtri 2768	. 2 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
12	8, 11	eleqtrri 2843	1 ⊢ 1 ∈ ℕ

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701   ↾ cres 5702   “ cima 5703   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ωcom 7903  reccrdg 8465  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  dfnn2  12306  dfnn3  12307  nnind  12311  nn1suc  12315  2nn  12366  nnunb  12549  1nn0  12569  nn0p1nn  12592  elz2  12657  1z  12673  neg1z  12679  nneo  12727  9p1e10  12760  elnn1uz2  12990  zq  13019  rpnnen1lem4  13045  rpnnen1lem5  13046  ser1const  14109  exp1  14118  nnexpcl  14125  expnbnd  14281  fac1  14326  faccl  14332  faclbnd3  14341  faclbnd4lem1  14342  faclbnd4lem2  14343  faclbnd4lem3  14344  faclbnd4lem4  14345  lsw0  14613  ccat2s1p1  14677  cats1un  14769  revs1  14813  cats1fvn  14907  relexpsucnnl  15079  relexpaddg  15102  isercolllem2  15714  isercolllem3  15715  isercoll  15716  sumsnf  15791  climcndslem1  15897  climcndslem2  15898  fprodnncl  16003  prodsn  16010  prodsnf  16012  nnrisefaccl  16067  eftlub  16157  eirrlem  16252  rpnnen2lem5  16266  rpnnen2lem8  16269  rpnnen2lem12  16273  dvdsle  16358  ndvdsp1  16459  gcd1  16574  bezoutr1  16616  1nprm  16726  1idssfct  16727  isprm2lem  16728  qden1elz  16804  phi1  16820  phiprm  16824  pcpre1  16889  pczpre  16894  pcmptcl  16938  pcmpt  16939  infpnlem2  16958  prmreclem1  16963  prmreclem6  16968  mul4sq  17001  vdwmc2  17026  vdwlem8  17035  vdwlem13  17040  vdwnnlem3  17044  prmocl  17081  prmop1  17085  fvprmselelfz  17091  fvprmselgcd1  17092  prmolefac  17093  prmodvdslcmf  17094  prmgapprmo  17109  5prm  17156  7prm  17158  11prm  17162  13prm  17163  17prm  17164  19prm  17165  37prm  17168  43prm  17169  83prm  17170  139prm  17171  163prm  17172  317prm  17173  631prm  17174  1259lem4  17181  1259lem5  17182  1259prm  17183  2503lem3  17186  2503prm  17187  4001lem1  17188  4001lem2  17189  4001lem3  17190  4001lem4  17191  4001prm  17192  baseid  17261  basendx  17267  basendxnn  17268  basendxnnOLD  17269  1strstr  17273  2strstr  17280  ressval3dOLD  17306  basendxnplusgndxOLD  17342  basendxnmulrndxOLD  17355  rngstr  17357  lmodstr  17384  topgrpstr  17420  otpsstr  17435  ocndx  17440  ocid  17441  basendxnocndx  17442  plendxnocndx  17443  basendxltdsndx  17447  dsndxnplusgndx  17449  dsndxnmulrndx  17450  slotsdnscsi  17451  dsndxntsetndx  17452  slotsdifdsndx  17453  basendxltunifndx  17457  unifndxntsetndx  17459  slotsdifunifndx  17460  slotsbhcdif  17474  slotsbhcdifOLD  17475  slotsdifocndx  17477  oppcbasOLD  17778  rescbasOLD  17891  rescabsOLD  17897  catstr  18026  estrreslem1OLD  18206  ipostr  18599  mulgfval  19109  mulg1  19121  mulg2  19123  oppgbasOLD  19393  symgvalstructOLD  19439  od1  19601  0subgALT  19610  gex1  19633  efgsval2  19775  efgsp1  19779  torsubg  19896  pgpfaclem1  20125  mgpbasOLD  20168  mgpdsOLD  20175  opprbasOLD  20368  rmodislmodOLD  20951  srabaseOLD  21201  sradsOLD  21215  cnfldfunALTOLDOLD  21416  zlmbasOLD  21553  znbas2OLD  21579  thlbasOLD  21738  thlleOLD  21740  opsrbasOLD  22093  pmatcollpw3fi1lem2  22814  hauspwdom  23530  tuslemOLD  24297  imasdsf1olem  24404  setsmsdsOLD  24509  tmslemOLD  24516  tnglemOLD  24675  tngbasOLD  24677  tngdsOLD  24690  cphipval  25296  bcthlem4  25380  bcth3  25384  ovolmge0  25531  ovollb2  25543  ovolctb  25544  ovolunlem1a  25550  ovolunlem1  25551  ovoliunlem1  25556  ovoliun  25559  ovoliun2  25560  ovolicc1  25570  voliunlem1  25604  volsup  25610  ioombl1lem2  25613  ioombl1lem4  25615  uniioombllem1  25635  uniioombllem2  25637  uniioombllem6  25642  itg1climres  25769  itg2seq  25797  itg2monolem1  25805  itg2monolem2  25806  itg2monolem3  25807  itg2mono  25808  itg2i1fseq2  25811  itg2cnlem1  25816  aalioulem5  26396  aaliou2b  26401  aaliou3lem4  26406  aaliou3lem7  26409  log2ub  27010  emcllem6  27062  emcllem7  27063  lgam1  27125  gam1  27126  ftalem7  27140  efnnfsumcl  27164  vmaprm  27178  efvmacl  27181  efchtdvds  27220  vma1  27227  prmorcht  27239  sqff1o  27243  pclogsum  27277  perfectlem1  27291  perfectlem2  27292  bpos1  27345  bposlem5  27350  lgsdir  27394  lgs1  27403  lgsquad2lem2  27447  addsqn2reu  27503  addsqrexnreu  27504  dchrmusumlema  27555  dchrisum0lema  27576  slotsinbpsd  28467  slotslnbpsd  28468  trkgstr  28470  ttgbasOLD  28906  ttgplusgOLD  28908  ttgvscaOLD  28911  eengstr  29013  basendxltedgfndx  29028  baseltedgfOLD  29029  usgrexmplef  29294  lfgrn1cycl  29838  clwwlkn1  30073  ipval2  30739  opsqrlem2  32173  ssnnssfz  32792  znumd  32816  zdend  32817  nnindf  32823  nn0min  32824  isarchi3  33167  eufndx  33259  eufid  33260  resvbasOLD  33325  rge0scvg  33895  zlmdsOLD  33909  qqh0  33930  qqh1  33931  esumfzf  34033  esumfsup  34034  esumpcvgval  34042  voliune  34193  eulerpartgbij  34337  eulerpartlemgs2  34345  fib2  34367  rrvsum  34419  ballotlem4  34463  ballotlemi1  34467  ballotlemii  34468  ballotlemic  34471  ballotlem1c  34472  hgt750lem  34628  hgt750leme  34635  0nn0m1nnn0  35080  faclimlem1  35705  nn0prpwlem  36288  nn0prpw  36289  poimirlem32  37612  ovoliunnfl  37622  voliunnfl  37624  volsupnfl  37625  incsequz  37708  bfplem1  37782  rrncmslem  37792  hlhilsbaseOLD  41898  60gcd7e1  41962  12lcm5e60  41965  60lcm7e420  41967  lcm1un  41970  lcmineqlem10  41995  3lexlogpow5ineq1  42011  3lexlogpow5ineq2  42012  3lexlogpow5ineq4  42013  aks4d1p1p7  42031  aks6d1c1p8  42072  sticksstones9  42111  sticksstones11  42113  aks6d1c7lem1  42137  nnmulcom  42261  3cubes  42646  jm2.23  42953  rmydioph  42971  rmxdioph  42973  expdiophlem2  42979  expdioph  42980  relexp2  43639  iunrelexpmin1  43670  iunrelexpmin2  43674  dftrcl3  43682  fvtrcllb1d  43684  cotrcltrcl  43687  corcltrcl  43701  cotrclrcl  43704  mnringbasedOLD  44181  prmunb2  44280  sumsnd  44926  nnn0  45293  xrralrecnnge  45305  iooiinicc  45460  iooiinioc  45474  mccl  45519  sumnnodd  45551  wallispilem4  45989  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  stirlinglem8  46002  stirlinglem11  46005  stirlinglem12  46006  stirlinglem13  46007  fourierdlem31  46059  nnfoctbdjlem  46376  hoicvr  46469  hoicvrrex  46477  hoidmvlelem3  46518  ovnhoilem1  46522  ovnhoilem2  46523  ovnlecvr2  46531  ovnsubadd2lem  46566  iinhoiicclem  46594  vonicclem2  46605  iccpartlt  47298  257prm  47435  fmtnoprmfac2lem1  47440  fmtno4prmfac193  47447  fmtno4nprmfac193  47448  fmtno5nprm  47457  3ndvds4  47469  139prmALT  47470  31prm  47471  127prm  47473  3exp4mod41  47490  41prothprmlem2  47492  perfectALTVlem1  47595  perfectALTVlem2  47596  2exp340mod341  47607  341fppr2  47608  4fppr1  47609  nnsum3primesprm  47664  bgoldbtbndlem1  47679  tgblthelfgott  47689  nnsgrpmgm  47899  nnsgrpnmnd  47901  blennn0elnn  48311  blen1  48318  ackval42  48430