Theorem 1nn 12223

Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1nn	⊢ 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11210	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2		fr0g 8436	. . . 4 ⊢ (1 ∈ V → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1
4		frfnom 8435	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
5		peano1 7879	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
6		fnfvelrn 7083	. . . 4 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
7	4, 5, 6	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
8	3, 7	eqeltrri 2831	. 2 ⊢ 1 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
9		df-nn 12213	. . 3 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
10		df-ima 5690	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
11	9, 10	eqtri 2761	. 2 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
12	8, 11	eleqtrri 2833	1 ⊢ 1 ∈ ℕ

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4323   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   ↾ cres 5679   “ cima 5680   Fn wfn 6539  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ωcom 7855  reccrdg 8409  1c1 11111   + caddc 11113  ℕcn 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213

This theorem is referenced by:  dfnn2  12225  dfnn3  12226  nnind  12230  nn1suc  12234  2nn  12285  nnunb  12468  1nn0  12488  nn0p1nn  12511  elz2  12576  1z  12592  neg1z  12598  nneo  12646  9p1e10  12679  elnn1uz2  12909  zq  12938  rpnnen1lem4  12964  rpnnen1lem5  12965  ser1const  14024  exp1  14033  nnexpcl  14040  expnbnd  14195  fac1  14237  faccl  14243  faclbnd3  14252  faclbnd4lem1  14253  faclbnd4lem2  14254  faclbnd4lem3  14255  faclbnd4lem4  14256  lsw0  14515  ccat2s1p1  14579  cats1un  14671  revs1  14715  cats1fvn  14809  relexpsucnnl  14977  relexpaddg  15000  isercolllem2  15612  isercolllem3  15613  isercoll  15614  sumsnf  15689  climcndslem1  15795  climcndslem2  15796  fprodnncl  15899  prodsn  15906  prodsnf  15908  nnrisefaccl  15963  eftlub  16052  eirrlem  16147  rpnnen2lem5  16161  rpnnen2lem8  16164  rpnnen2lem12  16168  dvdsle  16253  ndvdsp1  16354  gcd1  16469  bezoutr1  16506  1nprm  16616  1idssfct  16617  isprm2lem  16618  qden1elz  16693  phi1  16706  phiprm  16710  pcpre1  16775  pczpre  16780  pcmptcl  16824  pcmpt  16825  infpnlem2  16844  prmreclem1  16849  prmreclem6  16854  mul4sq  16887  vdwmc2  16912  vdwlem8  16921  vdwlem13  16926  vdwnnlem3  16930  prmocl  16967  prmop1  16971  fvprmselelfz  16977  fvprmselgcd1  16978  prmolefac  16979  prmodvdslcmf  16980  prmgapprmo  16995  5prm  17042  7prm  17044  11prm  17048  13prm  17049  17prm  17050  19prm  17051  37prm  17054  43prm  17055  83prm  17056  139prm  17057  163prm  17058  317prm  17059  631prm  17060  1259lem4  17067  1259lem5  17068  1259prm  17069  2503lem3  17072  2503prm  17073  4001lem1  17074  4001lem2  17075  4001lem3  17076  4001lem4  17077  4001prm  17078  baseid  17147  basendx  17153  basendxnn  17154  basendxnnOLD  17155  1strstr  17159  2strstr  17166  ressval3dOLD  17192  basendxnplusgndxOLD  17228  basendxnmulrndxOLD  17241  rngstr  17243  lmodstr  17270  topgrpstr  17306  otpsstr  17321  ocndx  17326  ocid  17327  basendxnocndx  17328  plendxnocndx  17329  basendxltdsndx  17333  dsndxnplusgndx  17335  dsndxnmulrndx  17336  slotsdnscsi  17337  dsndxntsetndx  17338  slotsdifdsndx  17339  basendxltunifndx  17343  unifndxntsetndx  17345  slotsdifunifndx  17346  slotsbhcdif  17360  slotsbhcdifOLD  17361  slotsdifocndx  17363  oppcbasOLD  17664  rescbasOLD  17777  rescabsOLD  17783  catstr  17909  estrreslem1OLD  18089  ipostr  18482  mulgfval  18952  mulg1  18961  mulg2  18963  oppgbasOLD  19217  symgvalstructOLD  19265  od1  19427  0subgALT  19436  gex1  19459  efgsval2  19601  efgsp1  19605  torsubg  19722  pgpfaclem1  19951  mgpbasOLD  19994  mgpdsOLD  20001  opprbasOLD  20158  rmodislmodOLD  20541  srabaseOLD  20793  sradsOLD  20807  cnfldfunALTOLD  20958  zlmbasOLD  21069  znbas2OLD  21093  thlbasOLD  21250  thlleOLD  21252  opsrbasOLD  21607  pmatcollpw3fi1lem2  22289  hauspwdom  23005  tuslemOLD  23772  imasdsf1olem  23879  setsmsdsOLD  23984  tmslemOLD  23991  tnglemOLD  24150  tngbasOLD  24152  tngdsOLD  24165  cphipval  24760  bcthlem4  24844  bcth3  24848  ovolmge0  24994  ovollb2  25006  ovolctb  25007  ovolunlem1a  25013  ovolunlem1  25014  ovoliunlem1  25019  ovoliun  25022  ovoliun2  25023  ovolicc1  25033  voliunlem1  25067  volsup  25073  ioombl1lem2  25076  ioombl1lem4  25078  uniioombllem1  25098  uniioombllem2  25100  uniioombllem6  25105  itg1climres  25232  itg2seq  25260  itg2monolem1  25268  itg2monolem2  25269  itg2monolem3  25270  itg2mono  25271  itg2i1fseq2  25274  itg2cnlem1  25279  aalioulem5  25849  aaliou2b  25854  aaliou3lem4  25859  aaliou3lem7  25862  log2ub  26454  emcllem6  26505  emcllem7  26506  lgam1  26568  gam1  26569  ftalem7  26583  efnnfsumcl  26607  vmaprm  26621  efvmacl  26624  efchtdvds  26663  vma1  26670  prmorcht  26682  sqff1o  26686  pclogsum  26718  perfectlem1  26732  perfectlem2  26733  bpos1  26786  bposlem5  26791  lgsdir  26835  lgs1  26844  lgsquad2lem2  26888  addsqn2reu  26944  addsqrexnreu  26945  dchrmusumlema  26996  dchrisum0lema  27017  slotsinbpsd  27692  slotslnbpsd  27693  trkgstr  27695  ttgbasOLD  28131  ttgplusgOLD  28133  ttgvscaOLD  28136  eengstr  28238  basendxltedgfndx  28253  baseltedgfOLD  28254  usgrexmplef  28516  lfgrn1cycl  29059  clwwlkn1  29294  ipval2  29960  opsqrlem2  31394  ssnnssfz  31998  nnindf  32025  nn0min  32026  isarchi3  32333  eufndx  32390  eufid  32391  resvbasOLD  32448  rge0scvg  32929  zlmdsOLD  32943  qqh0  32964  qqh1  32965  esumfzf  33067  esumfsup  33068  esumpcvgval  33076  voliune  33227  eulerpartgbij  33371  eulerpartlemgs2  33379  fib2  33401  rrvsum  33453  ballotlem4  33497  ballotlemi1  33501  ballotlemii  33502  ballotlemic  33505  ballotlem1c  33506  hgt750lem  33663  hgt750leme  33670  0nn0m1nnn0  34102  faclimlem1  34713  nn0prpwlem  35207  nn0prpw  35208  poimirlem32  36520  ovoliunnfl  36530  voliunnfl  36532  volsupnfl  36533  incsequz  36616  bfplem1  36690  rrncmslem  36700  hlhilsbaseOLD  40812  60gcd7e1  40870  12lcm5e60  40873  60lcm7e420  40875  lcm1un  40878  lcmineqlem10  40903  3lexlogpow5ineq1  40919  3lexlogpow5ineq2  40920  3lexlogpow5ineq4  40921  aks4d1p1p7  40939  sticksstones9  40970  sticksstones11  40972  nnmulcom  41186  3cubes  41428  jm2.23  41735  rmydioph  41753  rmxdioph  41755  expdiophlem2  41761  expdioph  41762  relexp2  42428  iunrelexpmin1  42459  iunrelexpmin2  42463  dftrcl3  42471  fvtrcllb1d  42473  cotrcltrcl  42476  corcltrcl  42490  cotrclrcl  42493  mnringbasedOLD  42971  prmunb2  43070  sumsnd  43710  nnn0  44088  xrralrecnnge  44100  iooiinicc  44255  iooiinioc  44269  mccl  44314  sumnnodd  44346  wallispilem4  44784  wallispi2lem1  44787  wallispi2lem2  44788  stirlinglem8  44797  stirlinglem11  44800  stirlinglem12  44801  stirlinglem13  44802  fourierdlem31  44854  nnfoctbdjlem  45171  hoicvr  45264  hoicvrrex  45272  hoidmvlelem3  45313  ovnhoilem1  45317  ovnhoilem2  45318  ovnlecvr2  45326  ovnsubadd2lem  45361  iinhoiicclem  45389  vonicclem2  45400  iccpartlt  46092  257prm  46229  fmtnoprmfac2lem1  46234  fmtno4prmfac193  46241  fmtno4nprmfac193  46242  fmtno5nprm  46251  3ndvds4  46263  139prmALT  46264  31prm  46265  127prm  46267  3exp4mod41  46284  41prothprmlem2  46286  perfectALTVlem1  46389  perfectALTVlem2  46390  2exp340mod341  46401  341fppr2  46402  4fppr1  46403  nnsum3primesprm  46458  bgoldbtbndlem1  46473  tgblthelfgott  46483  nnsgrpmgm  46586  nnsgrpnmnd  46588  blennn0elnn  47263  blen1  47270  ackval42  47382