Theorem 1nn 12249

Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1nn	⊢ 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11229	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2		fr0g 8448	. . . 4 ⊢ (1 ∈ V → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1
4		frfnom 8447	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
5		peano1 7882	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
6		fnfvelrn 7069	. . . 4 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
8	3, 7	eqeltrri 2831	. 2 ⊢ 1 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
9		df-nn 12239	. . 3 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
10		df-ima 5667	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
11	9, 10	eqtri 2758	. 2 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
12	8, 11	eleqtrri 2833	1 ⊢ 1 ∈ ℕ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ∅c0 4308   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655   ↾ cres 5656   “ cima 5657   Fn wfn 6525  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ωcom 7859  reccrdg 8421  1c1 11128   + caddc 11130  ℕcn 12238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-1cn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-nn 12239

This theorem is referenced by:  dfnn2  12251  dfnn3  12252  nnind  12256  nn1suc  12260  2nn  12311  nnunb  12495  1nn0  12515  nn0p1nn  12538  elz2  12604  1z  12620  neg1z  12626  nneo  12675  9p1e10  12708  elnn1uz2  12939  zq  12968  rpnnen1lem4  12994  rpnnen1lem5  12995  ser1const  14074  exp1  14083  nnexpcl  14090  expnbnd  14248  fac1  14293  faccl  14299  faclbnd3  14308  faclbnd4lem1  14309  faclbnd4lem2  14310  faclbnd4lem3  14311  faclbnd4lem4  14312  lsw0  14581  ccat2s1p1  14645  cats1un  14737  revs1  14781  cats1fvn  14875  relexpsucnnl  15047  relexpaddg  15070  isercolllem2  15680  isercolllem3  15681  isercoll  15682  sumsnf  15757  climcndslem1  15863  climcndslem2  15864  fprodnncl  15969  prodsn  15976  prodsnf  15978  nnrisefaccl  16033  eftlub  16125  eirrlem  16220  rpnnen2lem5  16234  rpnnen2lem8  16237  rpnnen2lem12  16241  dvdsle  16327  ndvdsp1  16428  5ndvds6  16431  gcd1  16545  bezoutr1  16586  1nprm  16696  1idssfct  16697  isprm2lem  16698  qden1elz  16774  phi1  16790  phiprm  16794  pcpre1  16860  pczpre  16865  pcmptcl  16909  pcmpt  16910  infpnlem2  16929  prmreclem1  16934  prmreclem6  16939  mul4sq  16972  vdwmc2  16997  vdwlem8  17006  vdwlem13  17011  vdwnnlem3  17015  prmocl  17052  prmop1  17056  fvprmselelfz  17062  fvprmselgcd1  17063  prmolefac  17064  prmodvdslcmf  17065  prmgapprmo  17080  5prm  17126  7prm  17128  11prm  17132  13prm  17133  17prm  17134  19prm  17135  37prm  17138  43prm  17139  83prm  17140  139prm  17141  163prm  17142  317prm  17143  631prm  17144  1259lem4  17151  1259lem5  17152  1259prm  17153  2503lem3  17156  2503prm  17157  4001lem1  17158  4001lem2  17159  4001lem3  17160  4001lem4  17161  4001prm  17162  baseid  17229  basendx  17235  basendxnn  17236  1strstr  17240  rngstr  17310  lmodstr  17337  topgrpstr  17373  otpsstr  17388  ocndx  17393  ocid  17394  basendxnocndx  17395  plendxnocndx  17396  basendxltdsndx  17400  dsndxnplusgndx  17402  dsndxnmulrndx  17403  slotsdnscsi  17404  dsndxntsetndx  17405  slotsdifdsndx  17406  basendxltunifndx  17410  unifndxntsetndx  17412  slotsdifunifndx  17413  slotsbhcdif  17427  slotsdifocndx  17429  catstr  17971  ipostr  18537  mulgfval  19050  mulg1  19062  mulg2  19064  od1  19538  0subgALT  19547  gex1  19570  efgsval2  19712  efgsp1  19716  torsubg  19833  pgpfaclem1  20062  pmatcollpw3fi1lem2  22723  hauspwdom  23437  imasdsf1olem  24310  cphipval  25193  bcthlem4  25277  bcth3  25281  ovolmge0  25428  ovollb2  25440  ovolctb  25441  ovolunlem1a  25447  ovolunlem1  25448  ovoliunlem1  25453  ovoliun  25456  ovoliun2  25457  ovolicc1  25467  voliunlem1  25501  volsup  25507  ioombl1lem2  25510  ioombl1lem4  25512  uniioombllem1  25532  uniioombllem2  25534  uniioombllem6  25539  itg1climres  25665  itg2seq  25693  itg2monolem1  25701  itg2monolem2  25702  itg2monolem3  25703  itg2mono  25704  itg2i1fseq2  25707  itg2cnlem1  25712  aalioulem5  26294  aaliou2b  26299  aaliou3lem4  26304  aaliou3lem7  26307  log2ub  26909  emcllem6  26961  emcllem7  26962  lgam1  27024  gam1  27025  ftalem7  27039  efnnfsumcl  27063  vmaprm  27077  efvmacl  27080  efchtdvds  27119  vma1  27126  prmorcht  27138  sqff1o  27142  pclogsum  27176  perfectlem1  27190  perfectlem2  27191  bpos1  27244  bposlem5  27249  lgsdir  27293  lgs1  27302  lgsquad2lem2  27346  addsqn2reu  27402  addsqrexnreu  27403  dchrmusumlema  27454  dchrisum0lema  27475  slotsinbpsd  28366  slotslnbpsd  28367  trkgstr  28369  eengstr  28905  basendxltedgfndx  28919  usgrexmplef  29184  lfgrn1cycl  29733  clwwlkn1  29968  ipval2  30634  opsqrlem2  32068  ssnnssfz  32710  znumd  32737  zdend  32738  nnindf  32744  nn0min  32745  isarchi3  33131  eufndx  33230  eufid  33231  constrext2chnlem  33730  iconstr  33746  rge0scvg  33926  qqh0  33961  qqh1  33962  esumfzf  34046  esumfsup  34047  esumpcvgval  34055  voliune  34206  eulerpartgbij  34350  eulerpartlemgs2  34358  fib2  34380  rrvsum  34432  ballotlem4  34477  ballotlemi1  34481  ballotlemii  34482  ballotlemic  34485  ballotlem1c  34486  hgt750lem  34629  hgt750leme  34636  0nn0m1nnn0  35081  faclimlem1  35706  nn0prpwlem  36286  nn0prpw  36287  poimirlem32  37622  ovoliunnfl  37632  voliunnfl  37634  volsupnfl  37635  incsequz  37718  bfplem1  37792  rrncmslem  37802  60gcd7e1  41964  12lcm5e60  41967  60lcm7e420  41969  lcm1un  41972  lcmineqlem10  41997  3lexlogpow5ineq1  42013  3lexlogpow5ineq2  42014  3lexlogpow5ineq4  42015  aks4d1p1p7  42033  aks6d1c1p8  42074  sticksstones9  42113  sticksstones11  42115  aks6d1c7lem1  42139  nnmulcom  42269  3cubes  42660  jm2.23  42967  rmydioph  42985  rmxdioph  42987  expdiophlem2  42993  expdioph  42994  relexp2  43648  iunrelexpmin1  43679  iunrelexpmin2  43683  dftrcl3  43691  fvtrcllb1d  43693  cotrcltrcl  43696  corcltrcl  43710  cotrclrcl  43713  prmunb2  44283  sumsnd  44998  nnn0  45353  xrralrecnnge  45365  iooiinicc  45519  iooiinioc  45533  mccl  45575  sumnnodd  45607  wallispilem4  46045  wallispi2lem1  46048  wallispi2lem2  46049  stirlinglem8  46058  stirlinglem11  46061  stirlinglem12  46062  stirlinglem13  46063  fourierdlem31  46115  nnfoctbdjlem  46432  hoicvr  46525  hoicvrrex  46533  hoidmvlelem3  46574  ovnhoilem1  46578  ovnhoilem2  46579  ovnlecvr2  46587  ovnsubadd2lem  46622  iinhoiicclem  46650  vonicclem2  46661  1elfzo1ceilhalf1  47314  iccpartlt  47386  257prm  47523  fmtnoprmfac2lem1  47528  fmtno4prmfac193  47535  fmtno4nprmfac193  47536  fmtno5nprm  47545  3ndvds4  47557  139prmALT  47558  31prm  47559  127prm  47561  3exp4mod41  47578  41prothprmlem2  47580  perfectALTVlem1  47683  perfectALTVlem2  47684  2exp340mod341  47695  341fppr2  47696  4fppr1  47697  nnsum3primesprm  47752  bgoldbtbndlem1  47767  tgblthelfgott  47777  nnsgrpmgm  48099  nnsgrpnmnd  48101  blennn0elnn  48505  blen1  48512  ackval42  48624