Theorem nnred 11655

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 11644	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	1, 2	sseldi 3967	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ℝcr 10538  ℕcn 11640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-nn 11641

This theorem is referenced by:  nnne0  11674  uzwo3  12346  modmulnn  13260  bernneq3  13595  expmulnbnd  13599  expnngt1b  13606  facwordi  13652  faclbnd  13653  faclbnd2  13654  faclbnd3  13655  faclbnd5  13661  faclbnd6  13662  facubnd  13663  facavg  13664  bcp1nk  13680  hashf1  13818  swrds2  14304  isercolllem1  15023  isercoll  15026  o1fsum  15170  climcndslem1  15206  climcndslem2  15207  climcnds  15208  eftabs  15431  efcllem  15433  ege2le3  15445  efcj  15447  eftlub  15464  eflegeo  15476  eirrlem  15559  fzm1ndvds  15674  nno  15735  nnoddm1d2  15739  bitsfzolem  15785  bitsfzo  15786  bitsinv1lem  15792  sadcaddlem  15808  smueqlem  15841  bezoutlem3  15891  bezoutlem4  15892  sqgcd  15911  lcmgcdlem  15952  lcmf  15979  prmind2  16031  coprm  16057  prmfac1  16065  prmndvdsfaclt  16069  divdenle  16091  qnumgt0  16092  zsqrtelqelz  16100  hashdvds  16114  eulerthlem2  16121  odzdvds  16134  vfermltl  16140  modprm0  16144  pythagtriplem11  16164  pythagtriplem13  16166  pythagtriplem19  16172  pclem  16177  pcpre1  16181  pcidlem  16210  dvdsprmpweqle  16224  pcadd  16227  pcmpt  16230  pcmpt2  16231  pcfaclem  16236  pcfac  16237  qexpz  16239  pockthlem  16243  pockthg  16244  prmreclem1  16254  prmreclem3  16256  prmreclem4  16257  prmreclem5  16258  1arithlem4  16264  1arith  16265  4sqlem5  16280  4sqlem6  16281  4sqlem10  16285  mul4sqlem  16291  4sqlem11  16293  4sqlem12  16294  4sqlem13  16295  4sqlem14  16296  4sqlem15  16297  4sqlem16  16298  4sqlem17  16299  vdwlem1  16319  vdwlem3  16321  vdwlem6  16324  vdwlem9  16327  vdwlem10  16328  vdwlem12  16330  vdwnnlem3  16335  ramub1lem1  16364  prmolefac  16384  prmgaplem4  16392  prmgaplem5  16393  prmgaplem6  16394  prmgaplem8  16396  2expltfac  16428  cshwshashnsame  16439  setsstruct2  16523  psgnunilem4  18627  mndodconglem  18671  oddvds  18677  sylow1lem1  18725  sylow1lem5  18729  fislw  18752  efgredlem  18875  gexexlem  18974  zringlpirlem3  20635  prmirredlem  20642  fvmptnn04if  21459  fvmptnn04ifb  21461  fvmptnn04ifc  21462  fvmptnn04ifd  21463  chfacfisf  21464  chfacfisfcpmat  21465  chfacfscmulgsum  21470  chfacfpmmulgsum  21474  lebnumii  23572  lmnn  23868  ovolunlem1a  24099  ovoliunlem1  24105  ovolicc2lem3  24122  ovolicc2lem4  24123  iundisj  24151  voliunlem1  24153  uniioombllem3  24188  dyadf  24194  dyadovol  24196  dyaddisjlem  24198  dyadmaxlem  24200  opnmbllem  24204  vitalilem4  24214  mbfi1fseqlem1  24318  mbfi1fseqlem3  24320  mbfi1fseqlem4  24321  mbfi1fseqlem5  24322  mbfi1fseqlem6  24323  itg2gt0  24363  itg2cnlem2  24365  dgreq0  24857  dgrco  24867  elqaalem2  24911  aaliou3lem2  24934  aaliou3lem8  24936  aaliou3lem9  24941  leibpi  25522  log2tlbnd  25525  birthdaylem3  25533  amgm  25570  emcllem2  25576  harmonicbnd4  25590  lgamgulmlem1  25608  lgamgulmlem2  25609  lgamgulmlem3  25610  lgamgulmlem4  25611  lgamgulmlem5  25612  lgamgulmlem6  25613  lgamucov  25617  lgamcvg2  25634  wilthlem1  25647  ftalem5  25656  basellem1  25660  basellem2  25661  basellem3  25662  basellem4  25663  basellem5  25664  basellem6  25665  basellem8  25667  chtge0  25691  chtwordi  25735  vma1  25745  dvdsflf1o  25766  dvdsflsumcom  25767  fsumfldivdiaglem  25768  sgmmul  25779  chtublem  25789  fsumvma2  25792  logfac2  25795  chpchtsum  25797  chpub  25798  logfaclbnd  25800  logexprlim  25803  mersenne  25805  perfectlem2  25808  dchrelbas4  25821  bposlem1  25862  bposlem2  25863  bposlem3  25864  bposlem4  25865  bposlem5  25866  bposlem6  25867  bposlem7  25868  bposlem9  25870  lgslem1  25875  lgsval2lem  25885  lgsdirprm  25909  lgsdir  25910  lgsne0  25913  lgsqrlem2  25925  gausslemma2dlem0h  25941  gausslemma2dlem0i  25942  gausslemma2dlem1a  25943  gausslemma2dlem2  25945  gausslemma2dlem7  25951  gausslemma2d  25952  lgseisenlem1  25953  lgseisenlem2  25954  lgseisenlem3  25955  lgseisenlem4  25956  lgseisen  25957  lgsquadlem1  25958  lgsquadlem2  25959  lgsquadlem3  25960  2sqlem3  25998  2sqlem8  26004  2sqblem  26009  2sqmod  26014  chebbnd1lem1  26047  chebbnd1lem3  26049  chtppilimlem1  26051  rplogsumlem1  26062  rplogsumlem2  26063  dchrisum0lem1a  26064  rpvmasumlem  26065  dchrisumlema  26066  dchrisumlem1  26067  dchrisumlem2  26068  dchrisumlem3  26069  dchrvmasumiflem1  26079  dchrisum0flblem2  26087  dchrisum0re  26091  dchrisum0lem1b  26093  dchrisum0lem1  26094  dirith2  26106  selbergb  26127  selberg2lem  26128  logdivbnd  26134  selberg3lem2  26136  selberg4lem1  26138  pntrsumo1  26143  pntrsumbnd2  26145  pntrlog2bndlem1  26155  pntrlog2bndlem2  26156  pntrlog2bndlem3  26157  pntrlog2bndlem4  26158  pntrlog2bndlem5  26159  pntpbnd1a  26163  pntpbnd1  26164  pntibndlem2a  26168  pntibndlem2  26169  pntlemg  26176  pntlemh  26177  pntlemj  26181  pntlemf  26183  ostth2lem1  26196  padicabvf  26209  padicabvcxp  26210  ostth2lem2  26212  ostth2lem3  26213  ostth2lem4  26214  ostth2  26215  ostth3  26216  numclwwlk5  28169  numclwwlk7  28172  ubthlem2  28650  minvecolem4  28659  iundisjf  30341  ssnnssfz  30512  iundisjfi  30521  pfxlsw2ccat  30628  pmtrto1cl  30743  psgnfzto1stlem  30744  fzto1st1  30746  fzto1st  30747  psgnfzto1st  30749  cycpmco2lem6  30775  cycpmco2lem7  30776  smatrcl  31063  smattr  31066  smatbl  31067  smatbr  31068  1smat1  31071  submateqlem1  31074  submateqlem2  31075  submateq  31076  esumcst  31324  fiunelros  31435  oddpwdc  31614  eulerpartlems  31620  eulerpartlemgc  31622  fiblem  31658  dstfrvunirn  31734  dstfrvclim1  31737  ballotlemimin  31765  fsum2dsub  31880  reprinfz1  31895  hgt750lemd  31921  hgt750lemb  31929  hgt750leme  31931  tgoldbachgtde  31933  tgoldbachgt  31936  subfaclim  32437  subfacval3  32438  erdszelem7  32446  erdszelem8  32447  erdsze2lem2  32453  cvmliftlem2  32535  cvmliftlem6  32539  cvmliftlem7  32540  cvmliftlem8  32541  cvmliftlem9  32542  cvmliftlem10  32543  cvmliftlem13  32545  bcprod  32972  bccolsum  32973  faclimlem2  32978  faclim2  32982  nn0prpwlem  33672  knoppndvlem15  33867  knoppndvlem17  33869  knoppndvlem18  33870  knoppndvlem19  33871  knoppndvlem20  33872  knoppndvlem21  33873  poimirlem3  34897  poimirlem6  34900  poimirlem7  34901  poimirlem8  34902  poimirlem9  34903  poimirlem10  34904  poimirlem11  34905  poimirlem12  34906  poimirlem13  34907  poimirlem15  34909  poimirlem16  34910  poimirlem17  34911  poimirlem19  34913  poimirlem20  34914  poimirlem21  34915  poimirlem22  34916  poimirlem23  34917  poimirlem26  34920  poimirlem28  34922  opnmbllem0  34930  mblfinlem2  34932  incsequz  35025  nninfnub  35028  nnadddir  39170  oexpreposd  39186  nn0expgcd  39191  rtprmirr  39201  fltltc  39280  fltnltalem  39281  fltnlta  39282  3cubeslem3r  39291  irrapxlem3  39428  irrapxlem4  39429  irrapxlem5  39430  pellexlem2  39434  pellexlem6  39438  pell14qrgt0  39463  pell14qrgapw  39480  pellfundgt1  39487  rmspecsqrtnq  39510  ltrmxnn0  39553  jm3.1lem1  39621  jm3.1lem3  39623  dgraa0p  39756  hashnzfz2  40660  rfcnnnub  41300  nnxrd  41306  fzisoeu  41574  fsumnncl  41859  sumnnodd  41918  limsup10exlem  42060  stoweidlem1  42293  stoweidlem3  42295  stoweidlem11  42303  stoweidlem17  42309  stoweidlem20  42312  stoweidlem25  42317  stoweidlem26  42318  stoweidlem34  42326  stoweidlem38  42330  stoweidlem42  42334  stoweidlem44  42336  stoweidlem51  42343  stoweidlem59  42351  stoweidlem60  42352  wallispi  42362  wallispi2  42365  stirlinglem3  42368  stirlinglem4  42369  stirlinglem8  42373  stirlinglem10  42375  stirlinglem12  42377  stirlinglem15  42380  dirkertrigeqlem2  42391  dirkertrigeqlem3  42392  dirkercncflem2  42396  fourierdlem11  42410  fourierdlem14  42413  fourierdlem15  42414  fourierdlem20  42419  fourierdlem31  42430  fourierdlem64  42462  fourierdlem93  42491  fourierdlem95  42493  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  fourierdlem112  42510  sqwvfourb  42521  etransclem3  42529  etransclem19  42545  etransclem23  42549  etransclem24  42550  etransclem25  42551  etransclem32  42558  etransclem35  42561  etransclem41  42567  etransclem48  42574  qndenserrnbllem  42586  hoiqssbllem1  42911  hoiqssbllem2  42912  ovolval5lem1  42941  ovolval5lem2  42942  iccpartlt  43591  iccpartgt  43594  odz2prm2pw  43732  fmtnoprmfac1lem  43733  2pwp1prm  43758  sfprmdvdsmersenne  43775  lighneallem2  43778  proththdlem  43785  perfectALTVlem2  43894  gbowge7  43935  ztprmneprm  44402  pgrple2abl  44420  logbpw2m1  44634  nnpw2pmod  44650  nnolog2flm1  44657  blennngt2o2  44659