MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnred 12169
Description: A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnred (𝜑𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnred
StepHypRef Expression
1 nnssre 12158 . 2 ℕ ⊆ ℝ
2 nnred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
31, 2sselid 3943 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cr 11051  cn 12154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12155
This theorem is referenced by:  nnne0  12188  uzwo3  12869  modmulnn  13795  bernneq3  14135  expmulnbnd  14139  expnngt1b  14146  facwordi  14190  faclbnd  14191  faclbnd2  14192  faclbnd3  14193  faclbnd5  14199  faclbnd6  14200  facubnd  14201  facavg  14202  bcp1nk  14218  hashf1  14357  swrds2  14830  isercolllem1  15550  isercoll  15553  o1fsum  15699  climcndslem1  15735  climcndslem2  15736  climcnds  15737  eftabs  15959  efcllem  15961  ege2le3  15973  efcj  15975  eftlub  15992  eflegeo  16004  eirrlem  16087  fzm1ndvds  16205  nno  16265  nnoddm1d2  16269  bitsfzolem  16315  bitsfzo  16316  bitsinv1lem  16322  sadcaddlem  16338  smueqlem  16371  bezoutlem3  16423  bezoutlem4  16424  sqgcd  16442  lcmgcdlem  16483  lcmf  16510  prmind2  16562  coprm  16588  prmfac1  16598  prmndvdsfaclt  16602  divdenle  16625  qnumgt0  16626  zsqrtelqelz  16634  hashdvds  16648  eulerthlem2  16655  odzdvds  16668  vfermltl  16674  modprm0  16678  pythagtriplem11  16698  pythagtriplem13  16700  pythagtriplem19  16706  pclem  16711  pcpre1  16715  pcidlem  16745  dvdsprmpweqle  16759  pcadd  16762  pcmpt  16765  pcmpt2  16766  pcfaclem  16771  pcfac  16772  qexpz  16774  pockthlem  16778  pockthg  16779  prmreclem1  16789  prmreclem3  16791  prmreclem4  16792  prmreclem5  16793  1arithlem4  16799  1arith  16800  4sqlem5  16815  4sqlem6  16816  4sqlem10  16820  mul4sqlem  16826  4sqlem11  16828  4sqlem12  16829  4sqlem13  16830  4sqlem14  16831  4sqlem15  16832  4sqlem16  16833  4sqlem17  16834  vdwlem1  16854  vdwlem3  16856  vdwlem6  16859  vdwlem9  16862  vdwlem10  16863  vdwlem12  16865  vdwnnlem3  16870  ramub1lem1  16899  prmolefac  16919  prmgaplem4  16927  prmgaplem5  16928  prmgaplem6  16929  prmgaplem8  16931  2expltfac  16966  cshwshashnsame  16977  setsstruct2  17047  psgnunilem4  19280  mndodconglem  19324  oddvds  19330  sylow1lem1  19381  sylow1lem5  19385  fislw  19408  efgredlem  19530  gexexlem  19631  zringlpirlem3  20888  prmirredlem  20896  fvmptnn04if  22201  fvmptnn04ifb  22203  fvmptnn04ifc  22204  fvmptnn04ifd  22205  chfacfisf  22206  chfacfisfcpmat  22207  chfacfscmulgsum  22212  chfacfpmmulgsum  22216  lebnumii  24332  lmnn  24630  ovolunlem1a  24863  ovoliunlem1  24869  ovolicc2lem3  24886  ovolicc2lem4  24887  iundisj  24915  voliunlem1  24917  uniioombllem3  24952  dyadf  24958  dyadovol  24960  dyaddisjlem  24962  dyadmaxlem  24964  opnmbllem  24968  vitalilem4  24978  mbfi1fseqlem1  25083  mbfi1fseqlem3  25085  mbfi1fseqlem4  25086  mbfi1fseqlem5  25087  mbfi1fseqlem6  25088  itg2gt0  25128  itg2cnlem2  25130  dgreq0  25629  dgrco  25639  elqaalem2  25683  aaliou3lem2  25706  aaliou3lem8  25708  aaliou3lem9  25713  leibpi  26295  log2tlbnd  26298  birthdaylem3  26306  amgm  26343  emcllem2  26349  harmonicbnd4  26363  lgamgulmlem1  26381  lgamgulmlem2  26382  lgamgulmlem3  26383  lgamgulmlem4  26384  lgamgulmlem5  26385  lgamgulmlem6  26386  lgamucov  26390  lgamcvg2  26407  wilthlem1  26420  ftalem5  26429  basellem1  26433  basellem2  26434  basellem3  26435  basellem4  26436  basellem5  26437  basellem6  26438  basellem8  26440  chtge0  26464  chtwordi  26508  vma1  26518  dvdsflf1o  26539  dvdsflsumcom  26540  fsumfldivdiaglem  26541  sgmmul  26552  chtublem  26562  fsumvma2  26565  logfac2  26568  chpchtsum  26570  chpub  26571  logfaclbnd  26573  logexprlim  26576  mersenne  26578  perfectlem2  26581  dchrelbas4  26594  bposlem1  26635  bposlem2  26636  bposlem3  26637  bposlem4  26638  bposlem5  26639  bposlem6  26640  bposlem7  26641  bposlem9  26643  lgslem1  26648  lgsval2lem  26658  lgsdirprm  26682  lgsdir  26683  lgsne0  26686  lgsqrlem2  26698  gausslemma2dlem0h  26714  gausslemma2dlem0i  26715  gausslemma2dlem1a  26716  gausslemma2dlem2  26718  gausslemma2dlem7  26724  gausslemma2d  26725  lgseisenlem1  26726  lgseisenlem2  26727  lgseisenlem3  26728  lgseisenlem4  26729  lgseisen  26730  lgsquadlem1  26731  lgsquadlem2  26732  lgsquadlem3  26733  2sqlem3  26771  2sqlem8  26777  2sqblem  26782  2sqmod  26787  chebbnd1lem1  26820  chebbnd1lem3  26822  chtppilimlem1  26824  rplogsumlem1  26835  rplogsumlem2  26836  dchrisum0lem1a  26837  rpvmasumlem  26838  dchrisumlema  26839  dchrisumlem1  26840  dchrisumlem2  26841  dchrisumlem3  26842  dchrvmasumiflem1  26852  dchrisum0flblem2  26860  dchrisum0re  26864  dchrisum0lem1b  26866  dchrisum0lem1  26867  dirith2  26879  selbergb  26900  selberg2lem  26901  logdivbnd  26907  selberg3lem2  26909  selberg4lem1  26911  pntrsumo1  26916  pntrsumbnd2  26918  pntrlog2bndlem1  26928  pntrlog2bndlem2  26929  pntrlog2bndlem3  26930  pntrlog2bndlem4  26931  pntrlog2bndlem5  26932  pntpbnd1a  26936  pntpbnd1  26937  pntibndlem2a  26941  pntibndlem2  26942  pntlemg  26949  pntlemh  26950  pntlemj  26954  pntlemf  26956  ostth2lem1  26969  padicabvf  26982  padicabvcxp  26983  ostth2lem2  26985  ostth2lem3  26986  ostth2lem4  26987  ostth2  26988  ostth3  26989  numclwwlk5  29335  numclwwlk7  29338  ubthlem2  29816  minvecolem4  29825  iundisjf  31510  ssnnssfz  31693  iundisjfi  31702  pfxlsw2ccat  31809  pmtrto1cl  31951  psgnfzto1stlem  31952  fzto1st1  31954  fzto1st  31955  psgnfzto1st  31957  cycpmco2lem6  31983  cycpmco2lem7  31984  smatrcl  32380  smattr  32383  smatbl  32384  smatbr  32385  1smat1  32388  submateqlem1  32391  submateqlem2  32392  submateq  32393  esumcst  32665  fiunelros  32776  oddpwdc  32957  eulerpartlems  32963  eulerpartlemgc  32965  fiblem  33001  dstfrvunirn  33077  dstfrvclim1  33080  ballotlemimin  33108  fsum2dsub  33223  reprinfz1  33238  hgt750lemd  33264  hgt750lemb  33272  hgt750leme  33274  tgoldbachgtde  33276  tgoldbachgt  33279  subfaclim  33785  subfacval3  33786  erdszelem7  33794  erdszelem8  33795  erdsze2lem2  33801  cvmliftlem2  33883  cvmliftlem6  33887  cvmliftlem7  33888  cvmliftlem8  33889  cvmliftlem9  33890  cvmliftlem10  33891  cvmliftlem13  33893  bcprod  34314  bccolsum  34315  faclimlem2  34320  faclim2  34324  nn0prpwlem  34797  knoppndvlem15  34992  knoppndvlem17  34994  knoppndvlem18  34995  knoppndvlem19  34996  knoppndvlem20  34997  knoppndvlem21  34998  poimirlem3  36084  poimirlem6  36087  poimirlem7  36088  poimirlem8  36089  poimirlem9  36090  poimirlem10  36091  poimirlem11  36092  poimirlem12  36093  poimirlem13  36094  poimirlem15  36096  poimirlem16  36097  poimirlem17  36098  poimirlem19  36100  poimirlem20  36101  poimirlem21  36102  poimirlem22  36103  poimirlem23  36104  poimirlem26  36107  poimirlem28  36109  opnmbllem0  36117  mblfinlem2  36119  incsequz  36210  nninfnub  36213  lcmineqlem4  40492  lcmineqlem10  40498  lcmineqlem11  40499  lcmineqlem15  40503  lcmineqlem18  40506  lcmineqlem19  40507  lcmineqlem20  40508  lcmineqlem21  40509  lcmineqlem22  40510  lcmineqlem23  40511  lcmineqlem  40512  3lexlogpow5ineq2  40515  3lexlogpow5ineq4  40516  3lexlogpow2ineq2  40519  3lexlogpow5ineq5  40520  aks4d1p1p3  40529  aks4d1p1p2  40530  aks4d1p1p4  40531  aks4d1p1p5  40535  aks4d1p1  40536  aks4d1p3  40538  aks4d1p4  40539  aks4d1p5  40540  aks4d1p6  40541  aks4d1p7  40543  aks4d1p8d2  40545  aks4d1p8  40547  aks4d1p9  40548  2ap1caineq  40556  sticksstones1  40557  sticksstones2  40558  sticksstones3  40559  sticksstones6  40562  sticksstones7  40563  sticksstones10  40566  sticksstones12a  40568  sticksstones12  40569  metakunt1  40580  metakunt2  40581  metakunt6  40585  metakunt7  40586  metakunt9  40588  metakunt10  40589  metakunt11  40590  metakunt12  40591  metakunt16  40595  metakunt18  40597  metakunt20  40599  metakunt22  40601  metakunt24  40603  metakunt27  40606  metakunt28  40607  metakunt29  40608  metakunt30  40609  nnadddir  40789  oexpreposd  40810  nn0expgcd  40824  rtprmirr  40836  flt4lem5e  40997  flt4lem6  40999  flt4lem7  41000  fltltc  41002  fltnltalem  41003  fltnlta  41004  3cubeslem3r  41013  irrapxlem3  41150  irrapxlem4  41151  irrapxlem5  41152  pellexlem2  41156  pellexlem6  41160  pell14qrgt0  41185  pell14qrgapw  41202  pellfundgt1  41209  rmspecsqrtnq  41232  ltrmxnn0  41276  jm3.1lem1  41344  jm3.1lem3  41346  dgraa0p  41479  hashnzfz2  42608  rfcnnnub  43248  nnxrd  43514  fzisoeu  43541  fsumnncl  43820  sumnnodd  43878  limsup10exlem  44020  stoweidlem1  44249  stoweidlem3  44251  stoweidlem11  44259  stoweidlem17  44265  stoweidlem20  44268  stoweidlem25  44273  stoweidlem26  44274  stoweidlem34  44282  stoweidlem38  44286  stoweidlem42  44290  stoweidlem44  44292  stoweidlem51  44299  stoweidlem59  44307  stoweidlem60  44308  wallispi  44318  wallispi2  44321  stirlinglem3  44324  stirlinglem4  44325  stirlinglem8  44329  stirlinglem10  44331  stirlinglem12  44333  stirlinglem15  44336  dirkertrigeqlem2  44347  dirkertrigeqlem3  44348  dirkercncflem2  44352  fourierdlem11  44366  fourierdlem14  44369  fourierdlem15  44370  fourierdlem20  44375  fourierdlem31  44386  fourierdlem64  44418  fourierdlem93  44447  fourierdlem95  44449  fourierdlem103  44457  fourierdlem104  44458  fourierdlem112  44466  sqwvfourb  44477  etransclem3  44485  etransclem19  44501  etransclem23  44505  etransclem24  44506  etransclem25  44507  etransclem32  44514  etransclem35  44517  etransclem41  44523  etransclem48  44530  qndenserrnbllem  44542  hoiqssbllem1  44870  hoiqssbllem2  44871  ovolval5lem1  44900  ovolval5lem2  44901  iccpartlt  45623  iccpartgt  45626  odz2prm2pw  45762  fmtnoprmfac1lem  45763  2pwp1prm  45788  sfprmdvdsmersenne  45802  lighneallem2  45805  proththdlem  45812  perfectALTVlem2  45921  gbowge7  45962  ztprmneprm  46430  pgrple2abl  46448  logbpw2m1  46660  nnpw2pmod  46676  nnolog2flm1  46683  blennngt2o2  46685  itcovalt2lem2lem1  46766
  Copyright terms: Public domain W3C validator