Theorem nnred 12308

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 12297	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	1, 2	sselid 4006	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ℝcr 11183  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  nnne0  12327  uzwo3  13008  modmulnn  13940  bernneq3  14280  expmulnbnd  14284  expnngt1b  14291  facwordi  14338  faclbnd  14339  faclbnd2  14340  faclbnd3  14341  faclbnd5  14347  faclbnd6  14348  facubnd  14349  facavg  14350  bcp1nk  14366  hashf1  14506  swrds2  14989  isercolllem1  15713  isercoll  15716  o1fsum  15861  climcndslem1  15897  climcndslem2  15898  climcnds  15899  eftabs  16123  efcllem  16125  ege2le3  16138  efcj  16140  eftlub  16157  eflegeo  16169  eirrlem  16252  fzm1ndvds  16370  nno  16430  nnoddm1d2  16434  bitsfzolem  16480  bitsfzo  16481  bitsinv1lem  16487  sadcaddlem  16503  smueqlem  16536  bezoutlem3  16588  bezoutlem4  16589  sqgcd  16609  nn0expgcd  16611  lcmgcdlem  16653  lcmf  16680  prmind2  16732  coprm  16758  prmfac1  16767  prmndvdsfaclt  16772  divdenle  16796  qnumgt0  16797  zsqrtelqelz  16805  hashdvds  16822  eulerthlem2  16829  odzdvds  16842  vfermltl  16848  modprm0  16852  pythagtriplem11  16872  pythagtriplem13  16874  pythagtriplem19  16880  pclem  16885  pcpre1  16889  pcidlem  16919  dvdsprmpweqle  16933  pcadd  16936  pcmpt  16939  pcmpt2  16940  pcfaclem  16945  pcfac  16946  qexpz  16948  pockthlem  16952  pockthg  16953  prmreclem1  16963  prmreclem3  16965  prmreclem4  16966  prmreclem5  16967  1arithlem4  16973  1arith  16974  4sqlem5  16989  4sqlem6  16990  4sqlem10  16994  mul4sqlem  17000  4sqlem11  17002  4sqlem12  17003  4sqlem13  17004  4sqlem14  17005  4sqlem15  17006  4sqlem16  17007  4sqlem17  17008  vdwlem1  17028  vdwlem3  17030  vdwlem6  17033  vdwlem9  17036  vdwlem10  17037  vdwlem12  17039  vdwnnlem3  17044  ramub1lem1  17073  prmolefac  17093  prmgaplem4  17101  prmgaplem5  17102  prmgaplem6  17103  prmgaplem8  17105  2expltfac  17140  cshwshashnsame  17151  setsstruct2  17221  psgnunilem4  19539  mndodconglem  19583  oddvds  19589  sylow1lem1  19640  sylow1lem5  19644  fislw  19667  efgredlem  19789  gexexlem  19894  zringlpirlem3  21498  prmirredlem  21506  fvmptnn04if  22876  fvmptnn04ifb  22878  fvmptnn04ifc  22879  fvmptnn04ifd  22880  chfacfisf  22881  chfacfisfcpmat  22882  chfacfscmulgsum  22887  chfacfpmmulgsum  22891  lebnumii  25017  lmnn  25316  ovolunlem1a  25550  ovoliunlem1  25556  ovolicc2lem3  25573  ovolicc2lem4  25574  iundisj  25602  voliunlem1  25604  uniioombllem3  25639  dyadf  25645  dyadovol  25647  dyaddisjlem  25649  dyadmaxlem  25651  opnmbllem  25655  vitalilem4  25665  mbfi1fseqlem1  25770  mbfi1fseqlem3  25772  mbfi1fseqlem4  25773  mbfi1fseqlem5  25774  mbfi1fseqlem6  25775  itg2gt0  25815  itg2cnlem2  25817  dgreq0  26325  dgrco  26335  elqaalem2  26380  aaliou3lem2  26403  aaliou3lem8  26405  aaliou3lem9  26410  rtprmirr  26821  leibpi  27003  log2tlbnd  27006  birthdaylem3  27014  amgm  27052  emcllem2  27058  harmonicbnd4  27072  lgamgulmlem1  27090  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem4  27093  lgamgulmlem5  27094  lgamgulmlem6  27095  lgamucov  27099  lgamcvg2  27116  wilthlem1  27129  ftalem5  27138  basellem1  27142  basellem2  27143  basellem3  27144  basellem4  27145  basellem5  27146  basellem6  27147  basellem8  27149  chtge0  27173  chtwordi  27217  vma1  27227  dvdsflf1o  27248  dvdsflsumcom  27249  fsumfldivdiaglem  27250  sgmmul  27263  chtublem  27273  fsumvma2  27276  logfac2  27279  chpchtsum  27281  chpub  27282  logfaclbnd  27284  logexprlim  27287  mersenne  27289  perfectlem2  27292  dchrelbas4  27305  bposlem1  27346  bposlem2  27347  bposlem3  27348  bposlem4  27349  bposlem5  27350  bposlem6  27351  bposlem7  27352  bposlem9  27354  lgslem1  27359  lgsval2lem  27369  lgsdirprm  27393  lgsdir  27394  lgsne0  27397  lgsqrlem2  27409  gausslemma2dlem0h  27425  gausslemma2dlem0i  27426  gausslemma2dlem1a  27427  gausslemma2dlem2  27429  gausslemma2dlem7  27435  gausslemma2d  27436  lgseisenlem1  27437  lgseisenlem2  27438  lgseisenlem3  27439  lgseisenlem4  27440  lgseisen  27441  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  lgsquadlem3  27444  2sqlem3  27482  2sqlem8  27488  2sqblem  27493  2sqmod  27498  chebbnd1lem1  27531  chebbnd1lem3  27533  chtppilimlem1  27535  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  dchrisum0lem1a  27548  rpvmasumlem  27549  dchrisumlema  27550  dchrisumlem1  27551  dchrisumlem2  27552  dchrisumlem3  27553  dchrvmasumiflem1  27563  dchrisum0flblem2  27571  dchrisum0re  27575  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dirith2  27590  selbergb  27611  selberg2lem  27612  logdivbnd  27618  selberg3lem2  27620  selberg4lem1  27622  pntrsumo1  27627  pntrsumbnd2  27629  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntpbnd1a  27647  pntpbnd1  27648  pntibndlem2a  27652  pntibndlem2  27653  pntlemg  27660  pntlemh  27661  pntlemj  27665  pntlemf  27667  ostth2lem1  27680  padicabvf  27693  padicabvcxp  27694  ostth2lem2  27696  ostth2lem3  27697  ostth2lem4  27698  ostth2  27699  ostth3  27700  numclwwlk5  30420  numclwwlk7  30423  nrt2irr  30505  ubthlem2  30903  minvecolem4  30912  iundisjf  32611  ssnnssfz  32792  iundisjfi  32801  pfxlsw2ccat  32917  chnub  32984  pmtrto1cl  33092  psgnfzto1stlem  33093  fzto1st1  33095  fzto1st  33096  psgnfzto1st  33098  cycpmco2lem6  33124  cycpmco2lem7  33125  smatrcl  33742  smattr  33745  smatbl  33746  smatbr  33747  1smat1  33750  submateqlem1  33753  submateqlem2  33754  submateq  33755  esumcst  34027  fiunelros  34138  oddpwdc  34319  eulerpartlems  34325  eulerpartlemgc  34327  fiblem  34363  dstfrvunirn  34439  dstfrvclim1  34442  ballotlemimin  34470  fsum2dsub  34584  reprinfz1  34599  hgt750lemd  34625  hgt750lemb  34633  hgt750leme  34635  tgoldbachgtde  34637  tgoldbachgt  34640  subfaclim  35156  subfacval3  35157  erdszelem7  35165  erdszelem8  35166  erdsze2lem2  35172  cvmliftlem2  35254  cvmliftlem6  35258  cvmliftlem7  35259  cvmliftlem8  35260  cvmliftlem9  35261  cvmliftlem10  35262  cvmliftlem13  35264  bcprod  35700  bccolsum  35701  faclimlem2  35706  faclim2  35710  nn0prpwlem  36288  knoppcnlem10  36468  knoppndvlem15  36492  knoppndvlem17  36494  knoppndvlem18  36495  knoppndvlem19  36496  knoppndvlem20  36497  knoppndvlem21  36498  poimirlem3  37583  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem8  37588  poimirlem9  37589  poimirlem10  37590  poimirlem11  37591  poimirlem12  37592  poimirlem13  37593  poimirlem15  37595  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem19  37599  poimirlem20  37600  poimirlem21  37601  poimirlem22  37602  poimirlem23  37603  poimirlem26  37606  poimirlem28  37608  opnmbllem0  37616  mblfinlem2  37618  incsequz  37708  nninfnub  37711  lcmineqlem4  41989  lcmineqlem10  41995  lcmineqlem11  41996  lcmineqlem15  42000  lcmineqlem18  42003  lcmineqlem19  42004  lcmineqlem20  42005  lcmineqlem21  42006  lcmineqlem22  42007  lcmineqlem23  42008  lcmineqlem  42009  3lexlogpow5ineq2  42012  3lexlogpow5ineq4  42013  3lexlogpow2ineq2  42016  3lexlogpow5ineq5  42017  aks4d1p1p3  42026  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p1  42033  aks4d1p3  42035  aks4d1p4  42036  aks4d1p5  42037  aks4d1p6  42038  aks4d1p7  42040  aks4d1p8d2  42042  aks4d1p8  42044  aks4d1p9  42045  posbezout  42057  primrootlekpowne0  42062  primrootspoweq0  42063  aks6d1c1  42073  hashscontpow1  42078  aks6d1c3  42080  aks6d1c4  42081  aks6d1c2lem4  42084  aks6d1c2  42087  aks6d1c5lem1  42093  2ap1caineq  42102  sticksstones1  42103  sticksstones2  42104  sticksstones3  42105  sticksstones6  42108  sticksstones7  42109  sticksstones10  42112  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  aks6d1c6lem4  42130  bcled  42135  bcle2d  42136  aks6d1c7lem1  42137  aks6d1c7lem2  42138  unitscyglem1  42152  unitscyglem2  42153  unitscyglem4  42155  unitscyglem5  42156  aks5lem8  42158  metakunt1  42162  metakunt2  42163  metakunt6  42167  metakunt7  42168  metakunt9  42170  metakunt10  42171  metakunt11  42172  metakunt12  42173  metakunt16  42177  metakunt18  42179  metakunt20  42181  metakunt22  42183  metakunt24  42185  metakunt27  42188  metakunt28  42189  metakunt29  42190  metakunt30  42191  nnadddir  42259  oexpreposd  42309  fimgmcyclem  42488  fimgmcyc  42489  flt4lem5e  42611  flt4lem6  42613  flt4lem7  42614  fltltc  42616  fltnltalem  42617  fltnlta  42618  3cubeslem3r  42643  irrapxlem3  42780  irrapxlem4  42781  irrapxlem5  42782  pellexlem2  42786  pellexlem6  42790  pell14qrgt0  42815  pell14qrgapw  42832  pellfundgt1  42839  rmspecsqrtnq  42862  ltrmxnn0  42906  jm3.1lem1  42974  jm3.1lem3  42976  dgraa0p  43106  hashnzfz2  44290  rfcnnnub  44936  nnxrd  45188  fzisoeu  45215  fsumnncl  45493  sumnnodd  45551  limsup10exlem  45693  stoweidlem1  45922  stoweidlem3  45924  stoweidlem11  45932  stoweidlem17  45938  stoweidlem20  45941  stoweidlem25  45946  stoweidlem26  45947  stoweidlem34  45955  stoweidlem38  45959  stoweidlem42  45963  stoweidlem44  45965  stoweidlem51  45972  stoweidlem59  45980  stoweidlem60  45981  wallispi  45991  wallispi2  45994  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem8  46002  stirlinglem10  46004  stirlinglem12  46006  stirlinglem15  46009  dirkertrigeqlem2  46020  dirkertrigeqlem3  46021  dirkercncflem2  46025  fourierdlem11  46039  fourierdlem14  46042  fourierdlem15  46043  fourierdlem20  46048  fourierdlem31  46059  fourierdlem64  46091  fourierdlem93  46120  fourierdlem95  46122  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem112  46139  sqwvfourb  46150  etransclem3  46158  etransclem19  46174  etransclem23  46178  etransclem24  46179  etransclem25  46180  etransclem32  46187  etransclem35  46190  etransclem41  46196  etransclem48  46203  qndenserrnbllem  46215  hoiqssbllem1  46543  hoiqssbllem2  46544  ovolval5lem1  46573  ovolval5lem2  46574  iccpartlt  47298  iccpartgt  47301  odz2prm2pw  47437  fmtnoprmfac1lem  47438  2pwp1prm  47463  sfprmdvdsmersenne  47477  lighneallem2  47480  proththdlem  47487  perfectALTVlem2  47596  gbowge7  47637  ztprmneprm  48072  pgrple2abl  48090  logbpw2m1  48301  nnpw2pmod  48317  nnolog2flm1  48324  blennngt2o2  48326  itcovalt2lem2lem1  48407