Theorem nnred 12160

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 12149	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	1, 2	sselid 3931	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ℝcr 11025  ℕcn 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146

This theorem is referenced by:  nnne0  12179  uzwo3  12856  modmulnn  13809  bernneq3  14154  expmulnbnd  14158  expnngt1b  14165  facwordi  14212  faclbnd  14213  faclbnd2  14214  faclbnd3  14215  faclbnd5  14221  faclbnd6  14222  facubnd  14223  facavg  14224  bcp1nk  14240  hashf1  14380  swrds2  14863  isercolllem1  15588  isercoll  15591  o1fsum  15736  climcndslem1  15772  climcndslem2  15773  climcnds  15774  eftabs  15998  efcllem  16000  ege2le3  16013  efcj  16015  eftlub  16034  eflegeo  16046  eirrlem  16129  fzm1ndvds  16249  nno  16309  nnoddm1d2  16313  bitsfzolem  16361  bitsfzo  16362  bitsinv1lem  16368  sadcaddlem  16384  smueqlem  16417  bezoutlem3  16468  bezoutlem4  16469  sqgcd  16489  nn0expgcd  16491  lcmgcdlem  16533  lcmf  16560  prmind2  16612  coprm  16638  prmfac1  16647  prmndvdsfaclt  16652  divdenle  16676  qnumgt0  16677  zsqrtelqelz  16685  hashdvds  16702  eulerthlem2  16709  odzdvds  16723  vfermltl  16729  modprm0  16733  pythagtriplem11  16753  pythagtriplem13  16755  pythagtriplem19  16761  pclem  16766  pcpre1  16770  pcidlem  16800  dvdsprmpweqle  16814  pcadd  16817  pcmpt  16820  pcmpt2  16821  pcfaclem  16826  pcfac  16827  qexpz  16829  pockthlem  16833  pockthg  16834  prmreclem1  16844  prmreclem3  16846  prmreclem4  16847  prmreclem5  16848  1arithlem4  16854  1arith  16855  4sqlem5  16870  4sqlem6  16871  4sqlem10  16875  mul4sqlem  16881  4sqlem11  16883  4sqlem12  16884  4sqlem13  16885  4sqlem14  16886  4sqlem15  16887  4sqlem16  16888  4sqlem17  16889  vdwlem1  16909  vdwlem3  16911  vdwlem6  16914  vdwlem9  16917  vdwlem10  16918  vdwlem12  16920  vdwnnlem3  16925  ramub1lem1  16954  prmolefac  16974  prmgaplem4  16982  prmgaplem5  16983  prmgaplem6  16984  prmgaplem8  16986  2expltfac  17020  cshwshashnsame  17031  setsstruct2  17101  chnub  18545  psgnunilem4  19426  mndodconglem  19470  oddvds  19476  sylow1lem1  19527  sylow1lem5  19531  fislw  19554  efgredlem  19676  gexexlem  19781  zringlpirlem3  21419  prmirredlem  21427  fvmptnn04if  22793  fvmptnn04ifb  22795  fvmptnn04ifc  22796  fvmptnn04ifd  22797  chfacfisf  22798  chfacfisfcpmat  22799  chfacfscmulgsum  22804  chfacfpmmulgsum  22808  lebnumii  24921  lmnn  25219  ovolunlem1a  25453  ovoliunlem1  25459  ovolicc2lem3  25476  ovolicc2lem4  25477  iundisj  25505  voliunlem1  25507  uniioombllem3  25542  dyadf  25548  dyadovol  25550  dyaddisjlem  25552  dyadmaxlem  25554  opnmbllem  25558  vitalilem4  25568  mbfi1fseqlem1  25672  mbfi1fseqlem3  25674  mbfi1fseqlem4  25675  mbfi1fseqlem5  25676  mbfi1fseqlem6  25677  itg2gt0  25717  itg2cnlem2  25719  dgreq0  26227  dgrco  26237  elqaalem2  26284  aaliou3lem2  26307  aaliou3lem8  26309  aaliou3lem9  26314  rtprmirr  26726  leibpi  26908  log2tlbnd  26911  birthdaylem3  26919  amgm  26957  emcllem2  26963  harmonicbnd4  26977  lgamgulmlem1  26995  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamgulmlem4  26998  lgamgulmlem5  26999  lgamgulmlem6  27000  lgamucov  27004  lgamcvg2  27021  wilthlem1  27034  ftalem5  27043  basellem1  27047  basellem2  27048  basellem3  27049  basellem4  27050  basellem5  27051  basellem6  27052  basellem8  27054  chtge0  27078  chtwordi  27122  vma1  27132  dvdsflf1o  27153  dvdsflsumcom  27154  fsumfldivdiaglem  27155  sgmmul  27168  chtublem  27178  fsumvma2  27181  logfac2  27184  chpchtsum  27186  chpub  27187  logfaclbnd  27189  logexprlim  27192  mersenne  27194  perfectlem2  27197  dchrelbas4  27210  bposlem1  27251  bposlem2  27252  bposlem3  27253  bposlem4  27254  bposlem5  27255  bposlem6  27256  bposlem7  27257  bposlem9  27259  lgslem1  27264  lgsval2lem  27274  lgsdirprm  27298  lgsdir  27299  lgsne0  27302  lgsqrlem2  27314  gausslemma2dlem0h  27330  gausslemma2dlem0i  27331  gausslemma2dlem1a  27332  gausslemma2dlem2  27334  gausslemma2dlem7  27340  gausslemma2d  27341  lgseisenlem1  27342  lgseisenlem2  27343  lgseisenlem3  27344  lgseisenlem4  27345  lgseisen  27346  lgsquadlem1  27347  lgsquadlem2  27348  lgsquadlem3  27349  2sqlem3  27387  2sqlem8  27393  2sqblem  27398  2sqmod  27403  chebbnd1lem1  27436  chebbnd1lem3  27438  chtppilimlem1  27440  rplogsumlem1  27451  rplogsumlem2  27452  dchrisum0lem1a  27453  rpvmasumlem  27454  dchrisumlema  27455  dchrisumlem1  27456  dchrisumlem2  27457  dchrisumlem3  27458  dchrvmasumiflem1  27468  dchrisum0flblem2  27476  dchrisum0re  27480  dchrisum0lem1b  27482  dchrisum0lem1  27483  dirith2  27495  selbergb  27516  selberg2lem  27517  logdivbnd  27523  selberg3lem2  27525  selberg4lem1  27527  pntrsumo1  27532  pntrsumbnd2  27534  pntrlog2bndlem1  27544  pntrlog2bndlem2  27545  pntrlog2bndlem3  27546  pntrlog2bndlem4  27547  pntrlog2bndlem5  27548  pntpbnd1a  27552  pntpbnd1  27553  pntibndlem2a  27557  pntibndlem2  27558  pntlemg  27565  pntlemh  27566  pntlemj  27570  pntlemf  27572  ostth2lem1  27585  padicabvf  27598  padicabvcxp  27599  ostth2lem2  27601  ostth2lem3  27602  ostth2lem4  27603  ostth2  27604  ostth3  27605  numclwwlk5  30463  numclwwlk7  30466  nrt2irr  30548  ubthlem2  30946  minvecolem4  30955  iundisjf  32664  ssnnssfz  32867  iundisjfi  32876  nexple  32925  2exple2exp  32926  pfxlsw2ccat  33032  pmtrto1cl  33181  psgnfzto1stlem  33182  fzto1st1  33184  fzto1st  33185  psgnfzto1st  33187  cycpmco2lem6  33213  cycpmco2lem7  33214  fldextrspundgdvdslem  33837  fldextrspundgdvds  33838  fldext2rspun  33839  smatrcl  33953  smattr  33956  smatbl  33957  smatbr  33958  1smat1  33961  submateqlem1  33964  submateqlem2  33965  submateq  33966  esumcst  34220  fiunelros  34331  oddpwdc  34511  eulerpartlems  34517  eulerpartlemgc  34519  fiblem  34555  dstfrvunirn  34632  dstfrvclim1  34635  ballotlemimin  34663  fsum2dsub  34764  reprinfz1  34779  hgt750lemd  34805  hgt750lemb  34813  hgt750leme  34815  tgoldbachgtde  34817  tgoldbachgt  34820  subfaclim  35382  subfacval3  35383  erdszelem7  35391  erdszelem8  35392  erdsze2lem2  35398  cvmliftlem2  35480  cvmliftlem6  35484  cvmliftlem7  35485  cvmliftlem8  35486  cvmliftlem9  35487  cvmliftlem10  35488  cvmliftlem13  35490  bcprod  35932  bccolsum  35933  faclimlem2  35938  faclim2  35942  nn0prpwlem  36516  knoppcnlem10  36702  knoppndvlem15  36726  knoppndvlem17  36728  knoppndvlem18  36729  knoppndvlem19  36730  knoppndvlem20  36731  knoppndvlem21  36732  poimirlem3  37820  poimirlem6  37823  poimirlem7  37824  poimirlem8  37825  poimirlem9  37826  poimirlem10  37827  poimirlem11  37828  poimirlem12  37829  poimirlem13  37830  poimirlem15  37832  poimirlem16  37833  poimirlem17  37834  poimirlem19  37836  poimirlem20  37837  poimirlem21  37838  poimirlem22  37839  poimirlem23  37840  poimirlem26  37843  poimirlem28  37845  opnmbllem0  37853  mblfinlem2  37855  incsequz  37945  nninfnub  37948  lcmineqlem4  42282  lcmineqlem10  42288  lcmineqlem11  42289  lcmineqlem15  42293  lcmineqlem18  42296  lcmineqlem19  42297  lcmineqlem20  42298  lcmineqlem21  42299  lcmineqlem22  42300  lcmineqlem23  42301  lcmineqlem  42302  3lexlogpow5ineq2  42305  3lexlogpow5ineq4  42306  3lexlogpow2ineq2  42309  3lexlogpow5ineq5  42310  aks4d1p1p3  42319  aks4d1p1p2  42320  aks4d1p1p4  42321  aks4d1p1p5  42325  aks4d1p1  42326  aks4d1p3  42328  aks4d1p4  42329  aks4d1p5  42330  aks4d1p6  42331  aks4d1p7  42333  aks4d1p8d2  42335  aks4d1p8  42337  aks4d1p9  42338  posbezout  42350  primrootlekpowne0  42355  primrootspoweq0  42356  aks6d1c1  42366  hashscontpow1  42371  aks6d1c3  42373  aks6d1c4  42374  aks6d1c2lem4  42377  aks6d1c2  42380  aks6d1c5lem1  42386  2ap1caineq  42395  sticksstones1  42396  sticksstones2  42397  sticksstones3  42398  sticksstones6  42401  sticksstones7  42402  sticksstones10  42405  sticksstones12a  42407  sticksstones12  42408  aks6d1c6lem4  42423  bcled  42428  bcle2d  42429  aks6d1c7lem1  42430  aks6d1c7lem2  42431  unitscyglem1  42445  unitscyglem2  42446  unitscyglem4  42448  unitscyglem5  42449  aks5lem8  42451  nnadddir  42521  oexpreposd  42573  fimgmcyclem  42784  fimgmcyc  42785  flt4lem5e  42895  flt4lem6  42897  flt4lem7  42898  fltltc  42900  fltnltalem  42901  fltnlta  42902  3cubeslem3r  42925  irrapxlem3  43062  irrapxlem4  43063  irrapxlem5  43064  pellexlem2  43068  pellexlem6  43072  pell14qrgt0  43097  pell14qrgapw  43114  pellfundgt1  43121  rmspecsqrtnq  43144  ltrmxnn0  43187  jm3.1lem1  43255  jm3.1lem3  43257  dgraa0p  43387  hashnzfz2  44558  rfcnnnub  45277  nnxrd  45518  fzisoeu  45544  fsumnncl  45814  sumnnodd  45872  limsup10exlem  46012  stoweidlem1  46241  stoweidlem3  46243  stoweidlem11  46251  stoweidlem17  46257  stoweidlem20  46260  stoweidlem25  46265  stoweidlem26  46266  stoweidlem34  46274  stoweidlem38  46278  stoweidlem42  46282  stoweidlem44  46284  stoweidlem51  46291  stoweidlem59  46299  stoweidlem60  46300  wallispi  46310  wallispi2  46313  stirlinglem3  46316  stirlinglem4  46317  stirlinglem8  46321  stirlinglem10  46323  stirlinglem12  46325  stirlinglem15  46328  dirkertrigeqlem2  46339  dirkertrigeqlem3  46340  dirkercncflem2  46344  fourierdlem11  46358  fourierdlem14  46361  fourierdlem15  46362  fourierdlem20  46367  fourierdlem31  46378  fourierdlem64  46410  fourierdlem93  46439  fourierdlem95  46441  fourierdlem103  46449  fourierdlem104  46450  fourierdlem112  46458  sqwvfourb  46469  etransclem3  46477  etransclem19  46493  etransclem23  46497  etransclem24  46498  etransclem25  46499  etransclem32  46506  etransclem35  46509  etransclem41  46515  etransclem48  46522  qndenserrnbllem  46534  hoiqssbllem1  46862  hoiqssbllem2  46863  ovolval5lem1  46892  ovolval5lem2  46893  iccpartlt  47666  iccpartgt  47669  odz2prm2pw  47805  fmtnoprmfac1lem  47806  2pwp1prm  47831  sfprmdvdsmersenne  47845  lighneallem2  47848  proththdlem  47855  perfectALTVlem2  47964  gbowge7  48005  ztprmneprm  48589  pgrple2abl  48607  logbpw2m1  48809  nnpw2pmod  48825  nnolog2flm1  48832  blennngt2o2  48834  itcovalt2lem2lem1  48915