Theorem nnred 12140

Description: A positive integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssre 12129	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
2		nnred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
3	1, 2	sselid 3927	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ℝcr 11005  ℕcn 12125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  nnne0  12159  uzwo3  12841  modmulnn  13793  bernneq3  14138  expmulnbnd  14142  expnngt1b  14149  facwordi  14196  faclbnd  14197  faclbnd2  14198  faclbnd3  14199  faclbnd5  14205  faclbnd6  14206  facubnd  14207  facavg  14208  bcp1nk  14224  hashf1  14364  swrds2  14847  isercolllem1  15572  isercoll  15575  o1fsum  15720  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  climcnds  15758  eftabs  15982  efcllem  15984  ege2le3  15997  efcj  15999  eftlub  16018  eflegeo  16030  eirrlem  16113  fzm1ndvds  16233  nno  16293  nnoddm1d2  16297  bitsfzolem  16345  bitsfzo  16346  bitsinv1lem  16352  sadcaddlem  16368  smueqlem  16401  bezoutlem3  16452  bezoutlem4  16453  sqgcd  16473  nn0expgcd  16475  lcmgcdlem  16517  lcmf  16544  prmind2  16596  coprm  16622  prmfac1  16631  prmndvdsfaclt  16636  divdenle  16660  qnumgt0  16661  zsqrtelqelz  16669  hashdvds  16686  eulerthlem2  16693  odzdvds  16707  vfermltl  16713  modprm0  16717  pythagtriplem11  16737  pythagtriplem13  16739  pythagtriplem19  16745  pclem  16750  pcpre1  16754  pcidlem  16784  dvdsprmpweqle  16798  pcadd  16801  pcmpt  16804  pcmpt2  16805  pcfaclem  16810  pcfac  16811  qexpz  16813  pockthlem  16817  pockthg  16818  prmreclem1  16828  prmreclem3  16830  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  1arithlem4  16838  1arith  16839  4sqlem5  16854  4sqlem6  16855  4sqlem10  16859  mul4sqlem  16865  4sqlem11  16867  4sqlem12  16868  4sqlem13  16869  4sqlem14  16870  4sqlem15  16871  4sqlem16  16872  4sqlem17  16873  vdwlem1  16893  vdwlem3  16895  vdwlem6  16898  vdwlem9  16901  vdwlem10  16902  vdwlem12  16904  vdwnnlem3  16909  ramub1lem1  16938  prmolefac  16958  prmgaplem4  16966  prmgaplem5  16967  prmgaplem6  16968  prmgaplem8  16970  2expltfac  17004  cshwshashnsame  17015  setsstruct2  17085  chnub  18528  psgnunilem4  19409  mndodconglem  19453  oddvds  19459  sylow1lem1  19510  sylow1lem5  19514  fislw  19537  efgredlem  19659  gexexlem  19764  zringlpirlem3  21401  prmirredlem  21409  fvmptnn04if  22764  fvmptnn04ifb  22766  fvmptnn04ifc  22767  fvmptnn04ifd  22768  chfacfisf  22769  chfacfisfcpmat  22770  chfacfscmulgsum  22775  chfacfpmmulgsum  22779  lebnumii  24892  lmnn  25190  ovolunlem1a  25424  ovoliunlem1  25430  ovolicc2lem3  25447  ovolicc2lem4  25448  iundisj  25476  voliunlem1  25478  uniioombllem3  25513  dyadf  25519  dyadovol  25521  dyaddisjlem  25523  dyadmaxlem  25525  opnmbllem  25529  vitalilem4  25539  mbfi1fseqlem1  25643  mbfi1fseqlem3  25645  mbfi1fseqlem4  25646  mbfi1fseqlem5  25647  mbfi1fseqlem6  25648  itg2gt0  25688  itg2cnlem2  25690  dgreq0  26198  dgrco  26208  elqaalem2  26255  aaliou3lem2  26278  aaliou3lem8  26280  aaliou3lem9  26285  rtprmirr  26697  leibpi  26879  log2tlbnd  26882  birthdaylem3  26890  amgm  26928  emcllem2  26934  harmonicbnd4  26948  lgamgulmlem1  26966  lgamgulmlem2  26967  lgamgulmlem3  26968  lgamgulmlem4  26969  lgamgulmlem5  26970  lgamgulmlem6  26971  lgamucov  26975  lgamcvg2  26992  wilthlem1  27005  ftalem5  27014  basellem1  27018  basellem2  27019  basellem3  27020  basellem4  27021  basellem5  27022  basellem6  27023  basellem8  27025  chtge0  27049  chtwordi  27093  vma1  27103  dvdsflf1o  27124  dvdsflsumcom  27125  fsumfldivdiaglem  27126  sgmmul  27139  chtublem  27149  fsumvma2  27152  logfac2  27155  chpchtsum  27157  chpub  27158  logfaclbnd  27160  logexprlim  27163  mersenne  27165  perfectlem2  27168  dchrelbas4  27181  bposlem1  27222  bposlem2  27223  bposlem3  27224  bposlem4  27225  bposlem5  27226  bposlem6  27227  bposlem7  27228  bposlem9  27230  lgslem1  27235  lgsval2lem  27245  lgsdirprm  27269  lgsdir  27270  lgsne0  27273  lgsqrlem2  27285  gausslemma2dlem0h  27301  gausslemma2dlem0i  27302  gausslemma2dlem1a  27303  gausslemma2dlem2  27305  gausslemma2dlem7  27311  gausslemma2d  27312  lgseisenlem1  27313  lgseisenlem2  27314  lgseisenlem3  27315  lgseisenlem4  27316  lgseisen  27317  lgsquadlem1  27318  lgsquadlem2  27319  lgsquadlem3  27320  2sqlem3  27358  2sqlem8  27364  2sqblem  27369  2sqmod  27374  chebbnd1lem1  27407  chebbnd1lem3  27409  chtppilimlem1  27411  rplogsumlem1  27422  rplogsumlem2  27423  dchrisum0lem1a  27424  rpvmasumlem  27425  dchrisumlema  27426  dchrisumlem1  27427  dchrisumlem2  27428  dchrisumlem3  27429  dchrvmasumiflem1  27439  dchrisum0flblem2  27447  dchrisum0re  27451  dchrisum0lem1b  27453  dchrisum0lem1  27454  dirith2  27466  selbergb  27487  selberg2lem  27488  logdivbnd  27494  selberg3lem2  27496  selberg4lem1  27498  pntrsumo1  27503  pntrsumbnd2  27505  pntrlog2bndlem1  27515  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem3  27517  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem5  27519  pntpbnd1a  27523  pntpbnd1  27524  pntibndlem2a  27528  pntibndlem2  27529  pntlemg  27536  pntlemh  27537  pntlemj  27541  pntlemf  27543  ostth2lem1  27556  padicabvf  27569  padicabvcxp  27570  ostth2lem2  27572  ostth2lem3  27573  ostth2lem4  27574  ostth2  27575  ostth3  27576  numclwwlk5  30368  numclwwlk7  30371  nrt2irr  30453  ubthlem2  30851  minvecolem4  30860  iundisjf  32569  ssnnssfz  32770  iundisjfi  32778  nexple  32827  2exple2exp  32828  pfxlsw2ccat  32931  pmtrto1cl  33068  psgnfzto1stlem  33069  fzto1st1  33071  fzto1st  33072  psgnfzto1st  33074  cycpmco2lem6  33100  cycpmco2lem7  33101  fldextrspundgdvdslem  33693  fldextrspundgdvds  33694  fldext2rspun  33695  smatrcl  33809  smattr  33812  smatbl  33813  smatbr  33814  1smat1  33817  submateqlem1  33820  submateqlem2  33821  submateq  33822  esumcst  34076  fiunelros  34187  oddpwdc  34367  eulerpartlems  34373  eulerpartlemgc  34375  fiblem  34411  dstfrvunirn  34488  dstfrvclim1  34491  ballotlemimin  34519  fsum2dsub  34620  reprinfz1  34635  hgt750lemd  34661  hgt750lemb  34669  hgt750leme  34671  tgoldbachgtde  34673  tgoldbachgt  34676  subfaclim  35232  subfacval3  35233  erdszelem7  35241  erdszelem8  35242  erdsze2lem2  35248  cvmliftlem2  35330  cvmliftlem6  35334  cvmliftlem7  35335  cvmliftlem8  35336  cvmliftlem9  35337  cvmliftlem10  35338  cvmliftlem13  35340  bcprod  35782  bccolsum  35783  faclimlem2  35788  faclim2  35792  nn0prpwlem  36366  knoppcnlem10  36546  knoppndvlem15  36570  knoppndvlem17  36572  knoppndvlem18  36573  knoppndvlem19  36574  knoppndvlem20  36575  knoppndvlem21  36576  poimirlem3  37662  poimirlem6  37665  poimirlem7  37666  poimirlem8  37667  poimirlem9  37668  poimirlem10  37669  poimirlem11  37670  poimirlem12  37671  poimirlem13  37672  poimirlem15  37674  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem21  37680  poimirlem22  37681  poimirlem23  37682  poimirlem26  37685  poimirlem28  37687  opnmbllem0  37695  mblfinlem2  37697  incsequz  37787  nninfnub  37790  lcmineqlem4  42124  lcmineqlem10  42130  lcmineqlem11  42131  lcmineqlem15  42135  lcmineqlem18  42138  lcmineqlem19  42139  lcmineqlem20  42140  lcmineqlem21  42141  lcmineqlem22  42142  lcmineqlem23  42143  lcmineqlem  42144  3lexlogpow5ineq2  42147  3lexlogpow5ineq4  42148  3lexlogpow2ineq2  42151  3lexlogpow5ineq5  42152  aks4d1p1p3  42161  aks4d1p1p2  42162  aks4d1p1p4  42163  aks4d1p1p5  42167  aks4d1p1  42168  aks4d1p3  42170  aks4d1p4  42171  aks4d1p5  42172  aks4d1p6  42173  aks4d1p7  42175  aks4d1p8d2  42177  aks4d1p8  42179  aks4d1p9  42180  posbezout  42192  primrootlekpowne0  42197  primrootspoweq0  42198  aks6d1c1  42208  hashscontpow1  42213  aks6d1c3  42215  aks6d1c4  42216  aks6d1c2lem4  42219  aks6d1c2  42222  aks6d1c5lem1  42228  2ap1caineq  42237  sticksstones1  42238  sticksstones2  42239  sticksstones3  42240  sticksstones6  42243  sticksstones7  42244  sticksstones10  42247  sticksstones12a  42249  sticksstones12  42250  aks6d1c6lem4  42265  bcled  42270  bcle2d  42271  aks6d1c7lem1  42272  aks6d1c7lem2  42273  unitscyglem1  42287  unitscyglem2  42288  unitscyglem4  42290  unitscyglem5  42291  aks5lem8  42293  nnadddir  42362  oexpreposd  42414  fimgmcyclem  42625  fimgmcyc  42626  flt4lem5e  42748  flt4lem6  42750  flt4lem7  42751  fltltc  42753  fltnltalem  42754  fltnlta  42755  3cubeslem3r  42779  irrapxlem3  42916  irrapxlem4  42917  irrapxlem5  42918  pellexlem2  42922  pellexlem6  42926  pell14qrgt0  42951  pell14qrgapw  42968  pellfundgt1  42975  rmspecsqrtnq  42998  ltrmxnn0  43041  jm3.1lem1  43109  jm3.1lem3  43111  dgraa0p  43241  hashnzfz2  44413  rfcnnnub  45132  nnxrd  45374  fzisoeu  45400  fsumnncl  45671  sumnnodd  45729  limsup10exlem  45869  stoweidlem1  46098  stoweidlem3  46100  stoweidlem11  46108  stoweidlem17  46114  stoweidlem20  46117  stoweidlem25  46122  stoweidlem26  46123  stoweidlem34  46131  stoweidlem38  46135  stoweidlem42  46139  stoweidlem44  46141  stoweidlem51  46148  stoweidlem59  46156  stoweidlem60  46157  wallispi  46167  wallispi2  46170  stirlinglem3  46173  stirlinglem4  46174  stirlinglem8  46178  stirlinglem10  46180  stirlinglem12  46182  stirlinglem15  46185  dirkertrigeqlem2  46196  dirkertrigeqlem3  46197  dirkercncflem2  46201  fourierdlem11  46215  fourierdlem14  46218  fourierdlem15  46219  fourierdlem20  46224  fourierdlem31  46235  fourierdlem64  46267  fourierdlem93  46296  fourierdlem95  46298  fourierdlem103  46306  fourierdlem104  46307  fourierdlem112  46315  sqwvfourb  46326  etransclem3  46334  etransclem19  46350  etransclem23  46354  etransclem24  46355  etransclem25  46356  etransclem32  46363  etransclem35  46366  etransclem41  46372  etransclem48  46379  qndenserrnbllem  46391  hoiqssbllem1  46719  hoiqssbllem2  46720  ovolval5lem1  46749  ovolval5lem2  46750  iccpartlt  47523  iccpartgt  47526  odz2prm2pw  47662  fmtnoprmfac1lem  47663  2pwp1prm  47688  sfprmdvdsmersenne  47702  lighneallem2  47705  proththdlem  47712  perfectALTVlem2  47821  gbowge7  47862  ztprmneprm  48446  pgrple2abl  48464  logbpw2m1  48667  nnpw2pmod  48683  nnolog2flm1  48690  blennngt2o2  48692  itcovalt2lem2lem1  48773