Theorem nnssre 12214

Description: The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnssre	⊢ ℕ ⊆ ℝ

Proof of Theorem nnssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11181	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		peano2re 11356	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3	2	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ
4		peano5nni 12213	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ℕ ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 702	1 ⊢ ℕ ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  1c1 11074   + caddc 11076  ℕcn 12210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-nn 12211

This theorem is referenced by:  nnre  12217  dfnn3  12224  nnred  12225  nnunb  12477  nn0ssre  12485  isercolllem1  15692  isercolllem2  15693  isercoll  15695  o1fsum  15841  ruc  16275  prmgaplem3  17089  prmgaplem4  17090  gsumval3  19947  ovolctb2  25554  ovolicc2lem3  25581  ovolicc2lem4  25582  iundisj2  25611  iundisj2f  32790  ssnnssfz  32989  iundisjfi  32998  iundisj2fi  32999  xrsmulgzz  33187  ballotlemsup  34802  reprlt  34913  reprgt  34915  erdszelem5  35545  erdszelem7  35547  erdszelem8  35548  incsequz2  38248  aks6d1c2  42747  sticksstones1  42763  stoweidlem34  46608  fourierdlem31  46712  prmdvdsfmtnof1lem1  48193  prmdvdsfmtnof  48195