Theorem nnssre 12247

Description: The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnssre	⊢ ℕ ⊆ ℝ

Proof of Theorem nnssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11218	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		peano2re 11393	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3	2	rgen 3084	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ
4		peano5nni 12246	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ℕ ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 705	1 ⊢ ℕ ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908  (class class class)co 7416  ℝcr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  ℕcn 12243

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-nn 12244

This theorem is used by:  nnre  12250  dfnn3  12257  nnred  12258  nnunb  12510  nn0ssre  12518  isercolllem1  15727  isercolllem2  15728  isercoll  15730  o1fsum  15876  ruc  16309  prmgaplem3  17123  prmgaplem4  17124  gsumval3  19987  ovolctb2  25666  ovolicc2lem3  25693  ovolicc2lem4  25694  iundisj2  25723  iundisj2f  32950  ssnnssfz  33147  iundisjfi  33156  iundisj2fi  33157  xrsmulgzz  33342  ballotlemsup  34908  reprlt  35019  reprgt  35021  erdszelem5  35699  erdszelem7  35701  erdszelem8  35702  incsequz2  38432  aks6d1c2  42929  sticksstones1  42945  stoweidlem34  46780  fourierdlem31  46884  prmdvdsfmtnof1lem1  48368  prmdvdsfmtnof  48370