Theorem nnssre 12346

Description: The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnssre	⊢ ℕ ⊆ ℝ

Proof of Theorem nnssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11315	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		peano2re 11490	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3	2	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ
4		peano5nni 12345	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ℕ ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 705	1 ⊢ ℕ ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  1c1 11208   + caddc 11210  ℕcn 12342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-nn 12343

This theorem is used by:  nnre  12349  dfnn3  12356  nnred  12357  nnunb  12609  nn0ssre  12617  isercolllem1  15841  isercolllem2  15842  isercoll  15844  o1fsum  15989  ruc  16420  prmgaplem3  17240  prmgaplem4  17241  gsumval3  20130  ovolctb2  25822  ovolicc2lem3  25849  ovolicc2lem4  25850  iundisj2  25879  iundisj2f  33235  ssnnssfz  33429  iundisjfi  33438  iundisj2fi  33439  xrsmulgzz  33620  ballotlemsup  35187  reprlt  35298  reprgt  35300  erdszelem5  36050  erdszelem7  36052  erdszelem8  36053  incsequz2  38792  aks6d1c2  43289  sticksstones1  43305  stoweidlem34  47152  fourierdlem31  47256  prmdvdsfmtnof1lem1  48777  prmdvdsfmtnof  48779