Theorem nnssre 12259

Description: The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnssre	⊢ ℕ ⊆ ℝ

Proof of Theorem nnssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11252	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		peano2re 11425	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3	2	rgen 3053	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ
4		peano5nni 12258	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ℕ ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 690	1 ⊢ ℕ ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051   ⊆ wss 3946  (class class class)co 7413  ℝcr 11145  1c1 11147   + caddc 11149  ℕcn 12255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-om 7866  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12256

This theorem is referenced by:  nnre  12262  dfnn3  12269  nnred  12270  nnunb  12511  nn0ssre  12519  isercolllem1  15661  isercolllem2  15662  isercoll  15664  o1fsum  15809  ruc  16237  prmgaplem3  17047  prmgaplem4  17048  gsumval3  19898  ovolctb2  25506  ovolicc2lem3  25533  ovolicc2lem4  25534  iundisj2  25563  iundisj2f  32507  ssnnssfz  32689  iundisjfi  32698  iundisj2fi  32699  xrsmulgzz  32889  ballotlemsup  34348  reprlt  34475  reprgt  34477  erdszelem5  35033  erdszelem7  35035  erdszelem8  35036  incsequz2  37460  aks6d1c2  41839  sticksstones1  41855  stoweidlem34  45688  fourierdlem31  45792  prmdvdsfmtnof1lem1  47189  prmdvdsfmtnof  47191