Theorem nnssre 12379

Description: The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnssre	⊢ ℕ ⊆ ℝ

Proof of Theorem nnssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11347	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		peano2re 11522	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3	2	rgen 3082	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ
4		peano5nni 12378	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ℕ ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 705	1 ⊢ ℕ ⊆ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242  ℕcn 12375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376

This theorem is used by:  nnre  12382  dfnn3  12389  nnred  12390  nnunb  12642  nn0ssre  12650  isercolllem1  15876  isercolllem2  15877  isercoll  15879  o1fsum  16024  ruc  16455  prmgaplem3  17275  prmgaplem4  17276  gsumval3  20172  ovolctb2  25868  ovolicc2lem3  25895  ovolicc2lem4  25896  iundisj2  25925  iundisj2f  33282  ssnnssfz  33475  iundisjfi  33484  iundisj2fi  33485  xrsmulgzz  33669  ballotlemsup  35248  reprlt  35359  reprgt  35361  erdszelem5  36168  erdszelem7  36170  erdszelem8  36171  incsequz2  38949  aks6d1c2  43446  sticksstones1  43462  stoweidlem34  47317  fourierdlem31  47421  prmdvdsfmtnof1lem1  48942  prmdvdsfmtnof  48944