Theorem nnssre 11305

Description: The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnssre	⊢ ℕ ⊆ ℝ

Proof of Theorem nnssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10321	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		peano2re 10490	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3	2	rgen 3110	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ
4		peano5nni 11304	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ℕ ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 675	1 ⊢ ℕ ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2156  ∀wral 3096   ⊆ wss 3769  (class class class)co 6870  ℝcr 10216  1c1 10218   + caddc 10220  ℕcn 11301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-ov 6873  df-om 7292  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-nn 11302

This theorem is referenced by:  nnsscn  11306  nnre  11308  dfnn3  11315  nnred  11316  nnunb  11551  nn0ssre  11559  isercolllem1  14614  isercolllem2  14615  isercoll  14617  o1fsum  14763  ruc  15188  prmgaplem3  15970  prmgaplem4  15971  gsumval3  18505  ovolctb2  23469  ovolicc2lem3  23496  ovolicc2lem4  23497  iundisj2  23526  iundisj2f  29724  ssnnssfz  29872  iundisjfi  29878  iundisj2fi  29879  xrsmulgzz  29999  ballotlemsup  30887  reprlt  31018  reprgt  31020  erdszelem5  31495  erdszelem7  31497  erdszelem8  31498  incsequz2  33851  stoweidlem34  40724  fourierdlem31  40828  prmdvdsfmtnof1lem1  42065  prmdvdsfmtnof  42067