Theorem nnssre 12139

Description: The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
nnssre	⊢ ℕ ⊆ ℝ

Proof of Theorem nnssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11122	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		peano2re 11296	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3	2	rgen 3051	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ
4		peano5nni 12138	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ℕ ⊆ ℝ)
5	1, 3, 4	mp2an 692	1 ⊢ ℕ ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7355  ℝcr 11015  1c1 11017   + caddc 11019  ℕcn 12135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-nn 12136

This theorem is referenced by:  nnre  12142  dfnn3  12149  nnred  12150  nnunb  12387  nn0ssre  12395  isercolllem1  15582  isercolllem2  15583  isercoll  15585  o1fsum  15730  ruc  16162  prmgaplem3  16975  prmgaplem4  16976  gsumval3  19829  ovolctb2  25430  ovolicc2lem3  25457  ovolicc2lem4  25458  iundisj2  25487  iundisj2f  32581  ssnnssfz  32781  iundisjfi  32789  iundisj2fi  32790  xrsmulgzz  33001  ballotlemsup  34529  reprlt  34643  reprgt  34645  erdszelem5  35250  erdszelem7  35252  erdszelem8  35253  incsequz2  37799  aks6d1c2  42233  sticksstones1  42249  stoweidlem34  46146  fourierdlem31  46250  prmdvdsfmtnof1lem1  47698  prmdvdsfmtnof  47700