MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div2neg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div2neg 11970
Description: Quotient of two negatives. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
div2neg ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem div2neg
StepHypRef Expression
1 negcl 11492 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
213ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
3 simp1 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 simp2 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
6 div12 11927 . . . 4 ((-𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
72, 3, 4, 5, 6syl112anc 1371 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
8 divneg 11939 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
94, 8syld3an1 1407 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
10 divid 11934 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
11103adant1 1127 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
1211negeqd 11486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐵 / 𝐵) = -1)
139, 12eqtr3d 2767 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 / 𝐵) = -1)
1413oveq2d 7435 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = (𝐴 · -1))
15 ax-1cn 11198 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
1615negcli 11560 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
17 mulcom 11226 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
1816, 17mpan2 689 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
19 mulm1 11687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
2018, 19eqtrd 2765 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = -𝐴)
21203ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · -1) = -𝐴)
2214, 21eqtrd 2765 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = -𝐴)
237, 22eqtrd 2765 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴)
24 negcl 11492 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
25243ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
26 divcl 11911 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
27 negeq0 11546 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 = 0 ↔ -𝐵 = 0))
2827necon3bid 2974 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ≠ 0 ↔ -𝐵 ≠ 0))
2928biimpa 475 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐵 ≠ 0)
30293adant1 1127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐵 ≠ 0)
31 divmul 11908 . . 3 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (-𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ≠ 0)) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
3225, 26, 2, 30, 31syl112anc 1371 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
3323, 32mpbird 256 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140  1c1 11141   · cmul 11145  -cneg 11477   / cdiv 11903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904
This theorem is referenced by:  divneg2  11971  div2negd  12038  div2sub  12072  iblcnlem1  25761  itgcnlem  25763
  Copyright terms: Public domain W3C validator