Theorem div2neg 11681

Description: Quotient of two negatives. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
div2neg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem div2neg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 11204	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → -𝐵 ∈ ℂ)
2	1	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐵 ∈ ℂ)
3		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
6		div12 11638	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
7	2, 3, 4, 5, 6	syl112anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)))
8		divneg 11650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
9	4, 8	syld3an1 1408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐵 / 𝐵) = (-𝐵 / 𝐵))
10		divid 11645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
11	10	3adant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
12	11	negeqd 11198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -(𝐵 / 𝐵) = -1)
13	9, 12	eqtr3d 2781	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 / 𝐵) = -1)
14	13	oveq2d 7284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = (𝐴 · -1))
15		ax-1cn 10913	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
16	15	negcli 11272	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
17		mulcom 10941	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
18	16, 17	mpan2 687	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = (-1 · 𝐴))
19		mulm1 11399	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
20	18, 19	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · -1) = -𝐴)
21	20	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · -1) = -𝐴)
22	14, 21	eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · (-𝐵 / 𝐵)) = -𝐴)
23	7, 22	eqtrd 2779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴)
24		negcl 11204	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
25	24	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
26		divcl 11622	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
27		negeq0 11258	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 = 0 ↔ -𝐵 = 0))
28	27	necon3bid 2989	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 ≠ 0 ↔ -𝐵 ≠ 0))
29	28	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐵 ≠ 0)
30	29	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → -𝐵 ≠ 0)
31		divmul 11619	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (-𝐵 ∈ ℂ ∧ -𝐵 ≠ 0)) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
32	25, 26, 2, 30, 31	syl112anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵) ↔ (-𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = -𝐴))
33	23, 32	mpbird 256	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐴 / -𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   · cmul 10860  -cneg 11189   / cdiv 11615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616

This theorem is referenced by:  divneg2  11682  div2negd  11749  div2sub  11783  iblcnlem1  24933  itgcnlem  24935