MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  div2neg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem div2neg 11938
Description: Quotient of two negatives. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
div2neg ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (-๐ด / -๐ต) = (๐ด / ๐ต))

Proof of Theorem div2neg
StepHypRef Expression
1 negcl 11461 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
213ad2ant2 1131 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„‚)
3 simp1 1133 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4 simp2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5 simp3 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
6 div12 11895 . . . 4 ((-๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (-๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = (๐ด ยท (-๐ต / ๐ต)))
72, 3, 4, 5, 6syl112anc 1371 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (-๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = (๐ด ยท (-๐ต / ๐ต)))
8 divneg 11907 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ -(๐ต / ๐ต) = (-๐ต / ๐ต))
94, 8syld3an1 1407 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ -(๐ต / ๐ต) = (-๐ต / ๐ต))
10 divid 11902 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
11103adant1 1127 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
1211negeqd 11455 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ -(๐ต / ๐ต) = -1)
139, 12eqtr3d 2768 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (-๐ต / ๐ต) = -1)
1413oveq2d 7420 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยท (-๐ต / ๐ต)) = (๐ด ยท -1))
15 ax-1cn 11167 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„‚
1615negcli 11529 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
17 mulcom 11195 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท -1) = (-1 ยท ๐ด))
1816, 17mpan2 688 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท -1) = (-1 ยท ๐ด))
19 mulm1 11656 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท ๐ด) = -๐ด)
2018, 19eqtrd 2766 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด ยท -1) = -๐ด)
21203ad2ant1 1130 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยท -1) = -๐ด)
2214, 21eqtrd 2766 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด ยท (-๐ต / ๐ต)) = -๐ด)
237, 22eqtrd 2766 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (-๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = -๐ด)
24 negcl 11461 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
25243ad2ant1 1130 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
26 divcl 11879 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
27 negeq0 11515 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต = 0 โ†” -๐ต = 0))
2827necon3bid 2979 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต โ‰  0 โ†” -๐ต โ‰  0))
2928biimpa 476 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ -๐ต โ‰  0)
30293adant1 1127 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ -๐ต โ‰  0)
31 divmul 11876 . . 3 ((-๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (-๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ต โ‰  0)) โ†’ ((-๐ด / -๐ต) = (๐ด / ๐ต) โ†” (-๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = -๐ด))
3225, 26, 2, 30, 31syl112anc 1371 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((-๐ด / -๐ต) = (๐ด / ๐ต) โ†” (-๐ต ยท (๐ด / ๐ต)) = -๐ด))
3323, 32mpbird 257 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (-๐ด / -๐ต) = (๐ด / ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114  -cneg 11446   / cdiv 11872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873
This theorem is referenced by:  divneg2  11939  div2negd  12006  div2sub  12040  iblcnlem1  25667  itgcnlem  25669
  Copyright terms: Public domain W3C validator