MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muls0ord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muls0ord 28084
Description: If a surreal product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
muls0ord.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
muls0ord.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
Assertion
Ref Expression
muls0ord (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†” (๐ด = 0s โˆจ ๐ต = 0s )))

Proof of Theorem muls0ord
StepHypRef Expression
1 muls0ord.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
2 muls02 28040 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ No โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
43adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
54eqeq2d 2739 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = ( 0s ยทs ๐ต) โ†” (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ))
6 muls0ord.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
8 0sno 27758 . . . . . . . . . 10 0s โˆˆ No
98a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ 0s โˆˆ No )
101adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
11 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ๐ต โ‰  0s )
127, 9, 10, 11mulscan2d 28078 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = ( 0s ยทs ๐ต) โ†” ๐ด = 0s ))
135, 12bitr3d 281 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†” ๐ด = 0s ))
1413biimpd 228 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†’ ๐ด = 0s ))
1514impancom 451 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ) โ†’ (๐ต โ‰  0s โ†’ ๐ด = 0s ))
1615necon1bd 2955 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ) โ†’ (ยฌ ๐ด = 0s โ†’ ๐ต = 0s ))
1716orrd 862 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ) โ†’ (๐ด = 0s โˆจ ๐ต = 0s ))
1817ex 412 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†’ (๐ด = 0s โˆจ ๐ต = 0s )))
19 oveq1 7427 . . . . 5 (๐ด = 0s โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = ( 0s ยทs ๐ต))
2019eqeq1d 2730 . . . 4 (๐ด = 0s โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†” ( 0s ยทs ๐ต) = 0s ))
213, 20syl5ibrcom 246 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = 0s โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ))
22 muls01 28011 . . . . 5 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
236, 22syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
24 oveq2 7428 . . . . 5 (๐ต = 0s โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (๐ด ยทs 0s ))
2524eqeq1d 2730 . . . 4 (๐ต = 0s โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†” (๐ด ยทs 0s ) = 0s ))
2623, 25syl5ibrcom 246 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต = 0s โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ))
2721, 26jaod 858 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด = 0s โˆจ ๐ต = 0s ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ))
2818, 27impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†” (๐ด = 0s โˆจ ๐ต = 0s )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2937  (class class class)co 7420   No csur 27572   0s c0s 27754   ยทs cmuls 28005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-1o 8486  df-2o 8487  df-nadd 8686  df-no 27575  df-slt 27576  df-bday 27577  df-sle 27677  df-sslt 27713  df-scut 27715  df-0s 27756  df-made 27773  df-old 27774  df-left 27776  df-right 27777  df-norec 27854  df-norec2 27865  df-adds 27876  df-negs 27933  df-subs 27934  df-muls 28006
This theorem is referenced by:  mulsne0bd  28085
  Copyright terms: Public domain W3C validator