MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muls0ord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muls0ord 28025
Description: If a surreal product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
muls0ord.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
muls0ord.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
Assertion
Ref Expression
muls0ord (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†” (๐ด = 0s โˆจ ๐ต = 0s )))

Proof of Theorem muls0ord
StepHypRef Expression
1 muls0ord.2 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
2 muls02 27981 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ No โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
43adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ( 0s ยทs ๐ต) = 0s )
54eqeq2d 2735 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = ( 0s ยทs ๐ต) โ†” (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ))
6 muls0ord.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
8 0sno 27699 . . . . . . . . . 10 0s โˆˆ No
98a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ 0s โˆˆ No )
101adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
11 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ๐ต โ‰  0s )
127, 9, 10, 11mulscan2d 28019 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = ( 0s ยทs ๐ต) โ†” ๐ด = 0s ))
135, 12bitr3d 281 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†” ๐ด = 0s ))
1413biimpd 228 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†’ ๐ด = 0s ))
1514impancom 451 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ) โ†’ (๐ต โ‰  0s โ†’ ๐ด = 0s ))
1615necon1bd 2950 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ) โ†’ (ยฌ ๐ด = 0s โ†’ ๐ต = 0s ))
1716orrd 860 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ) โ†’ (๐ด = 0s โˆจ ๐ต = 0s ))
1817ex 412 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†’ (๐ด = 0s โˆจ ๐ต = 0s )))
19 oveq1 7409 . . . . 5 (๐ด = 0s โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = ( 0s ยทs ๐ต))
2019eqeq1d 2726 . . . 4 (๐ด = 0s โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†” ( 0s ยทs ๐ต) = 0s ))
213, 20syl5ibrcom 246 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด = 0s โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ))
22 muls01 27952 . . . . 5 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
236, 22syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs 0s ) = 0s )
24 oveq2 7410 . . . . 5 (๐ต = 0s โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (๐ด ยทs 0s ))
2524eqeq1d 2726 . . . 4 (๐ต = 0s โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†” (๐ด ยทs 0s ) = 0s ))
2623, 25syl5ibrcom 246 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต = 0s โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ))
2721, 26jaod 856 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด = 0s โˆจ ๐ต = 0s ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = 0s ))
2818, 27impbid 211 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) = 0s โ†” (๐ด = 0s โˆจ ๐ต = 0s )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  (class class class)co 7402   No csur 27513   0s c0s 27695   ยทs cmuls 27946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-1o 8462  df-2o 8463  df-nadd 8662  df-no 27516  df-slt 27517  df-bday 27518  df-sle 27618  df-sslt 27654  df-scut 27656  df-0s 27697  df-made 27714  df-old 27715  df-left 27717  df-right 27718  df-norec 27795  df-norec2 27806  df-adds 27817  df-negs 27874  df-subs 27875  df-muls 27947
This theorem is referenced by:  mulsne0bd  28026
  Copyright terms: Public domain W3C validator