![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > noreceuw | Structured version Visualization version GIF version |
Description: If a surreal has a reciprocal, then it has unique division. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
noreceuw | โข (((๐ด โ No โง ๐ด โ 0s โง ๐ต โ No ) โง โ๐ฅ โ No (๐ด ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ โ!๐ฆ โ No (๐ด ยทs ๐ฆ) = ๐ต) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | norecdiv 28040 | . 2 โข (((๐ด โ No โง ๐ด โ 0s โง ๐ต โ No ) โง โ๐ฅ โ No (๐ด ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ โ๐ฆ โ No (๐ด ยทs ๐ฆ) = ๐ต) | |
2 | divsmo 28034 | . . . 4 โข ((๐ด โ No โง ๐ด โ 0s ) โ โ*๐ฆ โ No (๐ด ยทs ๐ฆ) = ๐ต) | |
3 | 2 | 3adant3 1129 | . . 3 โข ((๐ด โ No โง ๐ด โ 0s โง ๐ต โ No ) โ โ*๐ฆ โ No (๐ด ยทs ๐ฆ) = ๐ต) |
4 | 3 | adantr 480 | . 2 โข (((๐ด โ No โง ๐ด โ 0s โง ๐ต โ No ) โง โ๐ฅ โ No (๐ด ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ โ*๐ฆ โ No (๐ด ยทs ๐ฆ) = ๐ต) |
5 | reu5 3372 | . 2 โข (โ!๐ฆ โ No (๐ด ยทs ๐ฆ) = ๐ต โ (โ๐ฆ โ No (๐ด ยทs ๐ฆ) = ๐ต โง โ*๐ฆ โ No (๐ด ยทs ๐ฆ) = ๐ต)) | |
6 | 1, 4, 5 | sylanbrc 582 | 1 โข (((๐ด โ No โง ๐ด โ 0s โง ๐ต โ No ) โง โ๐ฅ โ No (๐ด ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ โ!๐ฆ โ No (๐ด ยทs ๐ฆ) = ๐ต) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 โwrex 3064 โ!wreu 3368 โ*wrmo 3369 (class class class)co 7404 No csur 27523 0s c0s 27705 1s c1s 27706 ยทs cmuls 27956 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-ot 4632 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-1o 8464 df-2o 8465 df-nadd 8664 df-no 27526 df-slt 27527 df-bday 27528 df-sle 27628 df-sslt 27664 df-scut 27666 df-0s 27707 df-1s 27708 df-made 27724 df-old 27725 df-left 27727 df-right 27728 df-norec 27805 df-norec2 27816 df-adds 27827 df-negs 27884 df-subs 27885 df-muls 27957 |
This theorem is referenced by: divsmulw 28042 divsclw 28044 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |