MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noreceuw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noreceuw 28111
Description: If a surreal has a reciprocal, then it has unique division. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
noreceuw (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ด โ‰  0s โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฆ) = ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem noreceuw
StepHypRef Expression
1 norecdiv 28110 . 2 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ด โ‰  0s โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฆ) = ๐ต)
2 divsmo 28104 . . . 4 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ด โ‰  0s ) โ†’ โˆƒ*๐‘ฆ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฆ) = ๐ต)
323adant3 1129 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ด โ‰  0s โˆง ๐ต โˆˆ No ) โ†’ โˆƒ*๐‘ฆ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฆ) = ๐ต)
43adantr 479 . 2 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ด โ‰  0s โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ โˆƒ*๐‘ฆ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฆ) = ๐ต)
5 reu5 3376 . 2 (โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฆ) = ๐ต โ†” (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฆ) = ๐ต โˆง โˆƒ*๐‘ฆ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฆ) = ๐ต))
61, 4, 5sylanbrc 581 1 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ด โ‰  0s โˆง ๐ต โˆˆ No ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฆ) = ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067  โˆƒ!wreu 3372  โˆƒ*wrmo 3373  (class class class)co 7426   No csur 27593   0s c0s 27775   1s c1s 27776   ยทs cmuls 28026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-1o 8493  df-2o 8494  df-nadd 8693  df-no 27596  df-slt 27597  df-bday 27598  df-sle 27698  df-sslt 27734  df-scut 27736  df-0s 27777  df-1s 27778  df-made 27794  df-old 27795  df-left 27797  df-right 27798  df-norec 27875  df-norec2 27886  df-adds 27897  df-negs 27954  df-subs 27955  df-muls 28027
This theorem is referenced by:  divsmulw  28112  divsclw  28114
  Copyright terms: Public domain W3C validator