Theorem noreceuw 27636

Description: If a surreal has a reciprocal, then it has unique division. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
noreceuw	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem noreceuw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norecdiv 27635	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
2		divsmo 27631	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
3	2	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
4	3	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
5		reu5 3378	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵 ↔ (∃𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵 ∧ ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵))
6	1, 4, 5	sylanbrc 583	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3374  ∃*wrmo 3375  (class class class)co 7408   No csur 27140   0_s c0s 27320   1_s c1s 27321   ·_s cmuls 27559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-1o 8465  df-2o 8466  df-nadd 8664  df-no 27143  df-slt 27144  df-bday 27145  df-sle 27245  df-sslt 27280  df-scut 27282  df-0s 27322  df-1s 27323  df-made 27339  df-old 27340  df-left 27342  df-right 27343  df-norec 27419  df-norec2 27430  df-adds 27441  df-negs 27493  df-subs 27494  df-muls 27560

This theorem is referenced by:  divsmulw  27637  divsclw  27639