Theorem noreceuw 28440

Description: If a surreal has a reciprocal, then it has unique division. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
noreceuw	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem noreceuw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norecdiv 28439	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
2		divsmo 28433	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
5		reu5 3373	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵 ↔ (∃𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵 ∧ ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵))
6	1, 4, 5	sylanbrc 595	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  ∃!wreu 3369  ∃*wrmo 3370  (class class class)co 7420   No csur 27860   0_s c0s 28054   1_s c1s 28055   ·_s cmuls 28355

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-1o 8460  df-2o 8461  df-nadd 8659  df-no 27863  df-lts 27864  df-bday 27865  df-les 27965  df-slts 28007  df-cuts 28009  df-0s 28056  df-1s 28057  df-made 28076  df-old 28077  df-left 28079  df-right 28080  df-norec 28187  df-norec2 28198  df-adds 28209  df-negs 28270  df-subs 28271  df-muls 28356

This theorem is used by:  divmulsw  28442  divsclw  28444