Theorem noreceuw 28393

Description: If a surreal has a reciprocal, then it has unique division. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
noreceuw	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem noreceuw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norecdiv 28392	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
2		divsmo 28386	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
4	3	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
5		reu5 3371	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵 ↔ (∃𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵 ∧ ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵))
6	1, 4, 5	sylanbrc 594	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  ∃!wreu 3367  ∃*wrmo 3368  (class class class)co 7410   No csur 27813   0_s c0s 28007   1_s c1s 28008   ·_s cmuls 28308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-1o 8449  df-2o 8450  df-nadd 8648  df-no 27816  df-lts 27817  df-bday 27818  df-les 27918  df-slts 27960  df-cuts 27962  df-0s 28009  df-1s 28010  df-made 28029  df-old 28030  df-left 28032  df-right 28033  df-norec 28140  df-norec2 28151  df-adds 28162  df-negs 28223  df-subs 28224  df-muls 28309

This theorem is used by:  divmulsw  28395  divsclw  28397