Theorem noreceuw 28078

Description: If a surreal has a reciprocal, then it has unique division. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
noreceuw	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem noreceuw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norecdiv 28077	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
2		divsmo 28071	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
3	2	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)
5		reu5 3373	. 2 ⊢ (∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵 ↔ (∃𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵 ∧ ∃*𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵))
6	1, 4, 5	sylanbrc 582	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 0s ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐴 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 ∈ No (𝐴 ·s 𝑦) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3369  ∃*wrmo 3370  (class class class)co 7414   No csur 27560   0_s c0s 27742   1_s c1s 27743   ·_s cmuls 27993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-1o 8480  df-2o 8481  df-nadd 8680  df-no 27563  df-slt 27564  df-bday 27565  df-sle 27665  df-sslt 27701  df-scut 27703  df-0s 27744  df-1s 27745  df-made 27761  df-old 27762  df-left 27764  df-right 27765  df-norec 27842  df-norec2 27853  df-adds 27864  df-negs 27921  df-subs 27922  df-muls 27994

This theorem is referenced by:  divsmulw  28079  divsclw  28081