MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsubrglem 24564
Description: Lemma for cphsubrg 24567. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
cphsubrglem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
cphsubrglem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphsubrglem (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))

Proof of Theorem cphsubrglem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
2 cphsubrglem.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
31fveq2d 6850 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
4 cphsubrglem.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
5 drngring 20226 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
71, 6eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) ∈ Ring)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴))
9 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴))
108, 9ring0cl 19998 . . . . . . . . . 10 ((β„‚fld β†Ύs 𝐴) ∈ Ring β†’ (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
11 reldmress 17122 . . . . . . . . . . 11 Rel dom β†Ύs
12 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs 𝐴)
1311, 12, 8elbasov 17098 . . . . . . . . . 10 ((0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) β†’ (β„‚fld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
147, 10, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‚fld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
1514simprd 497 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
16 cnfldbas 20823 . . . . . . . . 9 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
1712, 16ressbas 17126 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∩ β„‚) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ β„‚) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
193, 18eqtr4d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (𝐴 ∩ β„‚))
202, 19eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚))
2120oveq2d 7377 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2216ressinbas 17134 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2315, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2421, 23eqtr4d 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
251, 24eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
2625, 6eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring)
27 cnring 20842 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
2826, 27jctil 521 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld ∈ Ring ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring))
2912, 16ressbasss 17129 . . . . . 6 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) βŠ† β„‚
303, 29eqsstrdi 4002 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
312, 30eqsstrid 3996 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
32 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
33 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
3432, 33drngunz 20237 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
354, 34syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
3625fveq2d 6850 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
37 ringgrp 19977 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Grp)
3827, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Grp)
39 ringgrp 19977 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp)
4026, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp)
4116issubg 18936 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ↔ (β„‚fld ∈ Grp ∧ 𝐾 βŠ† β„‚ ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp))
4238, 31, 40, 41syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
43 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
44 cnfld0 20844 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
4543, 44subg0 18942 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
4736, 46eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = 0)
4835, 47neeqtrd 3010 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  0)
4948neneqd 2945 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ (1rβ€˜πΉ) = 0)
502, 33ringidcl 19997 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
516, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
5231, 51sseldd 3949 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
5352sqvald 14057 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ)↑2) = ((1rβ€˜πΉ) Β· (1rβ€˜πΉ)))
5425fveq2d 6850 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5554oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· (1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)))
5625fveq2d 6850 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
572, 56eqtrid 2785 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5851, 57eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
59 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
602fvexi 6860 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ V
61 cnfldmul 20825 . . . . . . . . . . . . 13 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
6243, 61ressmulr 17196 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
6360, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
64 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
6559, 63, 64ringlidm 20000 . . . . . . . . . 10 (((β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))) β†’ ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
6626, 58, 65syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
6753, 55, 663eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ))
68 sq01 14137 . . . . . . . . 9 ((1rβ€˜πΉ) ∈ β„‚ β†’ (((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ) ↔ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1)))
6952, 68syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ) ↔ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1)))
7067, 69mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1))
7170ord 863 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ (1rβ€˜πΉ) = 0 β†’ (1rβ€˜πΉ) = 1))
7249, 71mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) = 1)
7372, 51eqeltrrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐾)
7431, 73jca 513 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ 𝐾))
75 cnfld1 20845 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
7616, 75issubrg 20264 . . 3 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ↔ ((β„‚fld ∈ Ring ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
7728, 74, 76sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
7825, 20, 773jca 1129 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064  2c2 12216  β†‘cexp 13976  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  SubGrpcsubg 18930  1rcur 19921  Ringcrg 19972  DivRingcdr 20219  SubRingcsubrg 20260  β„‚fldccnfld 20819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-exp 13977  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-subg 18933  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-drng 20221  df-subrg 20262  df-cnfld 20820
This theorem is referenced by:  cphreccllem  24565  cphsubrg  24567  phclm  24619  tcphcph  24624
  Copyright terms: Public domain W3C validator