Theorem cphsubrglem 24341

Description: Lemma for cphsubrg 24344. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsubrglem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
cphsubrglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
cphsubrglem	⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Proof of Theorem cphsubrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsubrglem.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
2		cphsubrglem.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
4		cphsubrglem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
5		drngring 19998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
7	1, 6	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴))
9		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴))
10	8, 9	ring0cl 19808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ Ring → (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
11		reldmress 16943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel dom ↾s
12		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s 𝐴)
13	11, 12, 8	elbasov 16919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
14	7, 10, 13	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
15	14	simprd 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
16		cnfldbas 20601	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17	12, 16	ressbas 16947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
19	3, 18	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐴 ∩ ℂ))
20	2, 19	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ))
21	20	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
22	16	ressinbas 16955	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
23	15, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
24	21, 23	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐴))
25	1, 24	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
26	25, 6	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring)
27		cnring 20620	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
28	26, 27	jctil 520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring))
29	12, 16	ressbasss 16950	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ⊆ ℂ
30	3, 29	eqsstrdi 3975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
31	2, 30	eqsstrid 3969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
32		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
33		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
34	32, 33	drngunz 20006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
35	4, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
36	25	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
37		ringgrp 19788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
38	27, 37	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
39		ringgrp 19788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp)
40	26, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp)
41	16	issubg 18755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp))
42	38, 31, 40, 41	syl3anbrc 1342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
43		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
44		cnfld0 20622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
45	43, 44	subg0 18761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
47	36, 46	eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = 0)
48	35, 47	neeqtrd 3013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ 0)
49	48	neneqd 2948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝐹) = 0)
50	2, 33	ringidcl 19807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
51	6, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
52	31, 51	sseldd 3922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ ℂ)
53	52	sqvald 13861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)↑2) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝐹)))
54	25	fveq2d 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) = (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
55	54	oveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · (1r‘𝐹)) = ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)))
56	25	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
57	2, 56	eqtrid 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
58	51, 57	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
59		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾))
60	2	fvexi 6788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ V
61		cnfldmul 20603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
62	43, 61	ressmulr 17017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
63	60, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
64		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
65	59, 63, 64	ringlidm 19810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾))) → ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
66	26, 58, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
67	53, 55, 66	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹))
68		sq01 13940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ ℂ → (((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹) ↔ ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1)))
69	52, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹) ↔ ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1)))
70	67, 69	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1))
71	70	ord 861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (1r‘𝐹) = 0 → (1r‘𝐹) = 1))
72	49, 71	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) = 1)
73	72, 51	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
74	31, 73	jca 512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾))
75		cnfld1 20623	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
76	16, 75	issubrg 20024	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
77	28, 74, 76	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
78	25, 20, 77	3jca 1127	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  2c2 12028  ↑cexp 13782  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  Grpcgrp 18577  SubGrpcsubg 18749  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  DivRingcdr 19991  SubRingcsubrg 20020  ℂ_fldccnfld 20597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-exp 13783  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-subg 18752  df-cmn 19388  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-cring 19786  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-drng 19993  df-subrg 20022  df-cnfld 20598

This theorem is referenced by:  cphreccllem  24342  cphsubrg  24344  phclm  24396  tcphcph  24401