MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsubrglem 25212
Description: Lemma for cphsubrg 25215. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
cphsubrglem.2 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphsubrglem (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Proof of Theorem cphsubrglem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.1 . . 3 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
2 cphsubrglem.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
31fveq2d 6909 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
4 cphsubrglem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
5 drngring 20737 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
71, 6eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂflds 𝐴) ∈ Ring)
8 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℂflds 𝐴)) = (Base‘(ℂflds 𝐴))
9 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(ℂflds 𝐴)) = (0g‘(ℂflds 𝐴))
108, 9ring0cl 20265 . . . . . . . . . 10 ((ℂflds 𝐴) ∈ Ring → (0g‘(ℂflds 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐴)))
11 reldmress 17277 . . . . . . . . . . 11 Rel dom ↾s
12 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds 𝐴) = (ℂflds 𝐴)
1311, 12, 8elbasov 17255 . . . . . . . . . 10 ((0g‘(ℂflds 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐴)) → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
147, 10, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
1514simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ V)
16 cnfldbas 21369 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
1712, 16ressbas 17281 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
193, 18eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐴 ∩ ℂ))
202, 19eqtrid 2788 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ))
2120oveq2d 7448 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2216ressinbas 17292 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (ℂflds 𝐴) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2315, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐴) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2421, 23eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐴))
251, 24eqtr4d 2779 . 2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
2625, 6eqeltrrd 2841 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) ∈ Ring)
27 cnring 21404 . . . 4 fld ∈ Ring
2826, 27jctil 519 . . 3 (𝜑 → (ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Ring))
2912, 16ressbasss 17285 . . . . . 6 (Base‘(ℂflds 𝐴)) ⊆ ℂ
303, 29eqsstrdi 4027 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
312, 30eqsstrid 4021 . . . 4 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
32 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
33 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3432, 33drngunz 20748 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
354, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
3625fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝐹) = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
37 ringgrp 20236 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
3827, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
39 ringgrp 20236 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂflds 𝐾) ∈ Ring → (ℂflds 𝐾) ∈ Grp)
4026, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) ∈ Grp)
4116issubg 19145 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Grp))
4238, 31, 40, 41syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
43 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
44 cnfld0 21406 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
4543, 44subg0 19151 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
4736, 46eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐹) = 0)
4835, 47neeqtrd 3009 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐹) ≠ 0)
4948neneqd 2944 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (1r𝐹) = 0)
502, 33ringidcl 20263 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
516, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
5231, 51sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ ℂ)
5352sqvald 14184 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝐹)↑2) = ((1r𝐹) · (1r𝐹)))
5425fveq2d 6909 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) = (1r‘(ℂflds 𝐾)))
5554oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝐹) · (1r𝐹)) = ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)))
5625fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂflds 𝐾)))
572, 56eqtrid 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = (Base‘(ℂflds 𝐾)))
5851, 57eleqtrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐾)))
59 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℂflds 𝐾)) = (Base‘(ℂflds 𝐾))
602fvexi 6919 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ V
61 cnfldmul 21373 . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r‘ℂfld)
6243, 61ressmulr 17352 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds 𝐾)))
6360, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘(ℂflds 𝐾))
64 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (1r‘(ℂflds 𝐾)) = (1r‘(ℂflds 𝐾))
6559, 63, 64ringlidm 20267 . . . . . . . . . 10 (((ℂflds 𝐾) ∈ Ring ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐾))) → ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)) = (1r𝐹))
6626, 58, 65syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)) = (1r𝐹))
6753, 55, 663eqtrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹))
68 sq01 14265 . . . . . . . . 9 ((1r𝐹) ∈ ℂ → (((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹) ↔ ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1)))
6952, 68syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹) ↔ ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1)))
7067, 69mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1))
7170ord 864 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (1r𝐹) = 0 → (1r𝐹) = 1))
7249, 71mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝐹) = 1)
7372, 51eqeltrrd 2841 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
7431, 73jca 511 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾))
75 cnfld1 21407 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
7616, 75issubrg 20572 . . 3 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
7728, 74, 76sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7825, 20, 773jca 1128 1 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161  2c2 12322  cexp 14103  Basecbs 17248  s cress 17275  .rcmulr 17299  0gc0g 17485  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139  1rcur 20179  Ringcrg 20231  SubRingcsubrg 20570  DivRingcdr 20730  fldccnfld 21365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-seq 14044  df-exp 14104  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-subrg 20571  df-drng 20732  df-cnfld 21366
This theorem is referenced by:  cphreccllem  25213  cphsubrg  25215  phclm  25267  tcphcph  25272
  Copyright terms: Public domain W3C validator