MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cphsubrglem 25060
Description: Lemma for cphsubrg 25063. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
cphsubrglem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
cphsubrglem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphsubrglem (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
Proof of Theorem cphsubrglem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
2 cphsubrglem.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
31fveq2d 6889 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
4 cphsubrglem.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
5 drngring 20594 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
71, 6eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) ∈ Ring)
8 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴))
9 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴))
108, 9ring0cl 20166 . . . . . . . . . 10 ((β„‚fld β†Ύs 𝐴) ∈ Ring β†’ (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
11 reldmress 17184 . . . . . . . . . . 11 Rel dom β†Ύs
12 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs 𝐴)
1311, 12, 8elbasov 17160 . . . . . . . . . 10 ((0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) β†’ (β„‚fld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
147, 10, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‚fld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
1514simprd 495 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
16 cnfldbas 21244 . . . . . . . . 9 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
1712, 16ressbas 17188 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∩ β„‚) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ β„‚) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
193, 18eqtr4d 2769 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (𝐴 ∩ β„‚))
202, 19eqtrid 2778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚))
2120oveq2d 7421 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2216ressinbas 17199 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2315, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2421, 23eqtr4d 2769 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
251, 24eqtr4d 2769 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
2625, 6eqeltrrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring)
27 cnring 21279 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
2826, 27jctil 519 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld ∈ Ring ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring))
2912, 16ressbasss 17192 . . . . . 6 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) βŠ† β„‚
303, 29eqsstrdi 4031 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
312, 30eqsstrid 4025 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
32 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
33 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
3432, 33drngunz 20606 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
354, 34syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
3625fveq2d 6889 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
37 ringgrp 20143 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Grp)
3827, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Grp)
39 ringgrp 20143 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp)
4026, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp)
4116issubg 19053 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ↔ (β„‚fld ∈ Grp ∧ 𝐾 βŠ† β„‚ ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp))
4238, 31, 40, 41syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
43 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
44 cnfld0 21281 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
4543, 44subg0 19059 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
4736, 46eqtr4d 2769 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = 0)
4835, 47neeqtrd 3004 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  0)
4948neneqd 2939 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ (1rβ€˜πΉ) = 0)
502, 33ringidcl 20165 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
516, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
5231, 51sseldd 3978 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
5352sqvald 14113 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ)↑2) = ((1rβ€˜πΉ) Β· (1rβ€˜πΉ)))
5425fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5554oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· (1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)))
5625fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
572, 56eqtrid 2778 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5851, 57eleqtrd 2829 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
59 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
602fvexi 6899 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ V
61 cnfldmul 21248 . . . . . . . . . . . . 13 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
6243, 61ressmulr 17261 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
6360, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
64 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
6559, 63, 64ringlidm 20168 . . . . . . . . . 10 (((β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))) β†’ ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
6626, 58, 65syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
6753, 55, 663eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ))
68 sq01 14193 . . . . . . . . 9 ((1rβ€˜πΉ) ∈ β„‚ β†’ (((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ) ↔ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1)))
6952, 68syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ) ↔ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1)))
7067, 69mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1))
7170ord 861 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ (1rβ€˜πΉ) = 0 β†’ (1rβ€˜πΉ) = 1))
7249, 71mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) = 1)
7372, 51eqeltrrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐾)
7431, 73jca 511 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ 𝐾))
75 cnfld1 21282 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
7616, 75issubrg 20473 . . 3 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ↔ ((β„‚fld ∈ Ring ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
7728, 74, 76sylanbrc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
7825, 20, 773jca 1125 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  2c2 12271  β†‘cexp 14032  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19047  1rcur 20086  Ringcrg 20138  SubRingcsubrg 20469  DivRingcdr 20587  β„‚fldccnfld 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-exp 14033  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-cnfld 21241
This theorem is referenced by:  cphreccllem  25061  cphsubrg  25063  phclm  25115  tcphcph  25120
  Copyright terms: Public domain W3C validator