Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsubrglem 23773
 Description: Lemma for cphsubrg 23776. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
cphsubrglem.2 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphsubrglem (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Proof of Theorem cphsubrglem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.1 . . 3 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
2 cphsubrglem.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
31fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
4 cphsubrglem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
5 drngring 19501 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
71, 6eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂflds 𝐴) ∈ Ring)
8 eqid 2819 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℂflds 𝐴)) = (Base‘(ℂflds 𝐴))
9 eqid 2819 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(ℂflds 𝐴)) = (0g‘(ℂflds 𝐴))
108, 9ring0cl 19311 . . . . . . . . . 10 ((ℂflds 𝐴) ∈ Ring → (0g‘(ℂflds 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐴)))
11 reldmress 16542 . . . . . . . . . . 11 Rel dom ↾s
12 eqid 2819 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds 𝐴) = (ℂflds 𝐴)
1311, 12, 8elbasov 16537 . . . . . . . . . 10 ((0g‘(ℂflds 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐴)) → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
147, 10, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
1514simprd 498 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ V)
16 cnfldbas 20541 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
1712, 16ressbas 16546 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
193, 18eqtr4d 2857 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐴 ∩ ℂ))
202, 19syl5eq 2866 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ))
2120oveq2d 7164 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2216ressinbas 16552 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (ℂflds 𝐴) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2315, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐴) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2421, 23eqtr4d 2857 . . 3 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐴))
251, 24eqtr4d 2857 . 2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
2625, 6eqeltrrd 2912 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) ∈ Ring)
27 cnring 20559 . . . 4 fld ∈ Ring
2826, 27jctil 522 . . 3 (𝜑 → (ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Ring))
2912, 16ressbasss 16548 . . . . . 6 (Base‘(ℂflds 𝐴)) ⊆ ℂ
303, 29eqsstrdi 4019 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
312, 30eqsstrid 4013 . . . 4 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
32 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
33 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3432, 33drngunz 19509 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
354, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
3625fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝐹) = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
37 ringgrp 19294 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
3827, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
39 ringgrp 19294 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂflds 𝐾) ∈ Ring → (ℂflds 𝐾) ∈ Grp)
4026, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) ∈ Grp)
4116issubg 18271 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Grp))
4238, 31, 40, 41syl3anbrc 1337 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
43 eqid 2819 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
44 cnfld0 20561 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
4543, 44subg0 18277 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
4736, 46eqtr4d 2857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐹) = 0)
4835, 47neeqtrd 3083 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐹) ≠ 0)
4948neneqd 3019 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (1r𝐹) = 0)
502, 33ringidcl 19310 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
516, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
5231, 51sseldd 3966 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ ℂ)
5352sqvald 13499 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝐹)↑2) = ((1r𝐹) · (1r𝐹)))
5425fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) = (1r‘(ℂflds 𝐾)))
5554oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝐹) · (1r𝐹)) = ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)))
5625fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂflds 𝐾)))
572, 56syl5eq 2866 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = (Base‘(ℂflds 𝐾)))
5851, 57eleqtrd 2913 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐾)))
59 eqid 2819 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℂflds 𝐾)) = (Base‘(ℂflds 𝐾))
602fvexi 6677 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ V
61 cnfldmul 20543 . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r‘ℂfld)
6243, 61ressmulr 16617 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds 𝐾)))
6360, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘(ℂflds 𝐾))
64 eqid 2819 . . . . . . . . . . 11 (1r‘(ℂflds 𝐾)) = (1r‘(ℂflds 𝐾))
6559, 63, 64ringlidm 19313 . . . . . . . . . 10 (((ℂflds 𝐾) ∈ Ring ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐾))) → ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)) = (1r𝐹))
6626, 58, 65syl2anc 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)) = (1r𝐹))
6753, 55, 663eqtrd 2858 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹))
68 sq01 13578 . . . . . . . . 9 ((1r𝐹) ∈ ℂ → (((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹) ↔ ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1)))
6952, 68syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹) ↔ ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1)))
7067, 69mpbid 234 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1))
7170ord 860 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (1r𝐹) = 0 → (1r𝐹) = 1))
7249, 71mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝐹) = 1)
7372, 51eqeltrrd 2912 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
7431, 73jca 514 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾))
75 cnfld1 20562 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
7616, 75issubrg 19527 . . 3 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
7728, 74, 76sylanbrc 585 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7825, 20, 773jca 1122 1 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  Vcvv 3493   ∩ cin 3933   ⊆ wss 3934  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534  2c2 11684  ↑cexp 13421  Basecbs 16475   ↾s cress 16476  .rcmulr 16558  0gc0g 16705  Grpcgrp 18095  SubGrpcsubg 18265  1rcur 19243  Ringcrg 19289  DivRingcdr 19494  SubRingcsubrg 19523  ℂfldccnfld 20537 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-seq 13362  df-exp 13422  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-drng 19496  df-subrg 19525  df-cnfld 20538 This theorem is referenced by:  cphreccllem  23774  cphsubrg  23776  phclm  23827  tcphcph  23832
 Copyright terms: Public domain W3C validator