Theorem cphsubrglem 25387

Description: Lemma for cphsubrg 25390. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsubrglem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
cphsubrglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
cphsubrglem	⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Proof of Theorem cphsubrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsubrglem.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
2		cphsubrglem.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
4		cphsubrglem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
5		drngring 20884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
7	1, 6	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴))
9		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴))
10	8, 9	ring0cl 20395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ Ring → (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
11		reldmress 17314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel dom ↾s
12		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s 𝐴)
13	11, 12, 8	elbasov 17298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
14	7, 10, 13	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
15	14	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
16		cnfldbas 21576	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17	12, 16	ressbas 17318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
18	15, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
19	3, 18	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐴 ∩ ℂ))
20	2, 19	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ))
21	20	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
22	16	ressinbas 17327	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
23	15, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
24	21, 23	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐴))
25	1, 24	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
26	25, 6	eqeltrrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring)
27		cnring 21594	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
28	26, 27	jctil 529	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring))
29	12, 16	ressbasss 17321	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ⊆ ℂ
30	3, 29	eqsstrdi 3982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
31	2, 30	eqsstrid 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
32		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
33		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
34	32, 33	drngunz 20897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
35	4, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
36	25	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
37		ringgrp 20364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
38	27, 37	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
39		ringgrp 20364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp)
40	26, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp)
41	16	issubg 19236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp))
42	38, 31, 40, 41	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
43		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
44		cnfld0 21596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
45	43, 44	subg0 19242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
46	42, 45	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
47	36, 46	eqtr4d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = 0)
48	35, 47	neeqtrd 3029	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ 0)
49	48	neneqd 2965	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝐹) = 0)
50	2, 33	ringidcl 20393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
51	6, 50	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
52	31, 51	sseldd 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ ℂ)
53	52	sqvald 14197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)↑2) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝐹)))
54	25	fveq2d 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) = (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
55	54	oveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · (1r‘𝐹)) = ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)))
56	25	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
57	2, 56	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
58	51, 57	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
59		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾))
60	2	fvexi 6899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ V
61		cnfldmul 21580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
62	43, 61	ressmulr 17382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
63	60, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
64		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
65	59, 63, 64	ringlidm 20397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾))) → ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
66	26, 58, 65	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
67	53, 55, 66	3eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹))
68		sq01 14279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ ℂ → (((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹) ↔ ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1)))
69	52, 68	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹) ↔ ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1)))
70	67, 69	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1))
71	70	ord 878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (1r‘𝐹) = 0 → (1r‘𝐹) = 1))
72	49, 71	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) = 1)
73	72, 51	eqeltrrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
74	31, 73	jca 521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾))
75		cnfld1 21597	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
76	16, 75	issubrg 20720	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
77	28, 74, 76	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
78	25, 20, 77	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11113  0cc0 11115  1c1 11116   · cmul 11120  2c2 12310  ↑cexp 14115  Basecbs 17291   ↾_s cress 17312  ._rcmulr 17333  0_gc0g 17514  Grpcgrp 19044  SubGrpcsubg 19230  1_rcur 20307  Ringcrg 20359  SubRingcsubrg 20718  DivRingcdr 20877  ℂ_fldccnfld 21572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-addf 11194  ax-mulf 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-seq 14056  df-exp 14116  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-subg 19233  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-subrg 20719  df-drng 20879  df-cnfld 21573

This theorem is used by:  cphreccllem  25388  cphsubrg  25390  phclm  25442  tcphcph  25447