Theorem cphsubrglem 25230

Description: Lemma for cphsubrg 25233. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsubrglem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
cphsubrglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
cphsubrglem	⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Proof of Theorem cphsubrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsubrglem.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
2		cphsubrglem.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
4		cphsubrglem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
5		drngring 20758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
7	1, 6	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴))
9		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴))
10	8, 9	ring0cl 20290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ Ring → (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
11		reldmress 17289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel dom ↾s
12		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s 𝐴)
13	11, 12, 8	elbasov 17265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
14	7, 10, 13	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
15	14	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
16		cnfldbas 21391	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17	12, 16	ressbas 17293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
19	3, 18	eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐴 ∩ ℂ))
20	2, 19	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ))
21	20	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
22	16	ressinbas 17304	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
23	15, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
24	21, 23	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐴))
25	1, 24	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
26	25, 6	eqeltrrd 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring)
27		cnring 21426	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
28	26, 27	jctil 519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring))
29	12, 16	ressbasss 17297	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ⊆ ℂ
30	3, 29	eqsstrdi 4063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
31	2, 30	eqsstrid 4057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
32		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
33		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
34	32, 33	drngunz 20769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
35	4, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
36	25	fveq2d 6924	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
37		ringgrp 20265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
38	27, 37	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
39		ringgrp 20265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp)
40	26, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp)
41	16	issubg 19166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp))
42	38, 31, 40, 41	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
43		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
44		cnfld0 21428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
45	43, 44	subg0 19172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
47	36, 46	eqtr4d 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = 0)
48	35, 47	neeqtrd 3016	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ 0)
49	48	neneqd 2951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝐹) = 0)
50	2, 33	ringidcl 20289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
51	6, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
52	31, 51	sseldd 4009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ ℂ)
53	52	sqvald 14193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)↑2) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝐹)))
54	25	fveq2d 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) = (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
55	54	oveq1d 7463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · (1r‘𝐹)) = ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)))
56	25	fveq2d 6924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
57	2, 56	eqtrid 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
58	51, 57	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
59		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾))
60	2	fvexi 6934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ V
61		cnfldmul 21395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
62	43, 61	ressmulr 17366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
63	60, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
64		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
65	59, 63, 64	ringlidm 20292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾))) → ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
66	26, 58, 65	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
67	53, 55, 66	3eqtrd 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹))
68		sq01 14274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ ℂ → (((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹) ↔ ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1)))
69	52, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹) ↔ ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1)))
70	67, 69	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1))
71	70	ord 863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (1r‘𝐹) = 0 → (1r‘𝐹) = 1))
72	49, 71	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) = 1)
73	72, 51	eqeltrrd 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
74	31, 73	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾))
75		cnfld1 21429	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
76	16, 75	issubrg 20599	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
77	28, 74, 76	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
78	25, 20, 77	3jca 1128	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189  2c2 12348  ↑cexp 14112  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  SubGrpcsubg 19160  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  SubRingcsubrg 20595  DivRingcdr 20751  ℂ_fldccnfld 21387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-cnfld 21388

This theorem is referenced by:  cphreccllem  25231  cphsubrg  25233  phclm  25285  tcphcph  25290