MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cphsubrglem 24693
Description: Lemma for cphsubrg 24696. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
cphsubrglem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
cphsubrglem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphsubrglem (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
Proof of Theorem cphsubrglem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
2 cphsubrglem.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
31fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
4 cphsubrglem.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
5 drngring 20363 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
71, 6eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) ∈ Ring)
8 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴))
9 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴))
108, 9ring0cl 20083 . . . . . . . . . 10 ((β„‚fld β†Ύs 𝐴) ∈ Ring β†’ (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
11 reldmress 17174 . . . . . . . . . . 11 Rel dom β†Ύs
12 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs 𝐴)
1311, 12, 8elbasov 17150 . . . . . . . . . 10 ((0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) β†’ (β„‚fld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
147, 10, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‚fld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
1514simprd 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
16 cnfldbas 20947 . . . . . . . . 9 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
1712, 16ressbas 17178 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∩ β„‚) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ β„‚) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
193, 18eqtr4d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (𝐴 ∩ β„‚))
202, 19eqtrid 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚))
2120oveq2d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2216ressinbas 17189 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2315, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2421, 23eqtr4d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
251, 24eqtr4d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
2625, 6eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring)
27 cnring 20966 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
2826, 27jctil 520 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld ∈ Ring ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring))
2912, 16ressbasss 17182 . . . . . 6 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) βŠ† β„‚
303, 29eqsstrdi 4036 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
312, 30eqsstrid 4030 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
32 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
33 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
3432, 33drngunz 20375 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
354, 34syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
3625fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
37 ringgrp 20060 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Grp)
3827, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Grp)
39 ringgrp 20060 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp)
4026, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp)
4116issubg 19005 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ↔ (β„‚fld ∈ Grp ∧ 𝐾 βŠ† β„‚ ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp))
4238, 31, 40, 41syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
43 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
44 cnfld0 20968 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
4543, 44subg0 19011 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
4736, 46eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = 0)
4835, 47neeqtrd 3010 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  0)
4948neneqd 2945 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ (1rβ€˜πΉ) = 0)
502, 33ringidcl 20082 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
516, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
5231, 51sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
5352sqvald 14107 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ)↑2) = ((1rβ€˜πΉ) Β· (1rβ€˜πΉ)))
5425fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5554oveq1d 7423 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· (1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)))
5625fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
572, 56eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5851, 57eleqtrd 2835 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
59 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
602fvexi 6905 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ V
61 cnfldmul 20949 . . . . . . . . . . . . 13 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
6243, 61ressmulr 17251 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
6360, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
64 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
6559, 63, 64ringlidm 20085 . . . . . . . . . 10 (((β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))) β†’ ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
6626, 58, 65syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
6753, 55, 663eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ))
68 sq01 14187 . . . . . . . . 9 ((1rβ€˜πΉ) ∈ β„‚ β†’ (((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ) ↔ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1)))
6952, 68syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ) ↔ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1)))
7067, 69mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1))
7170ord 862 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ (1rβ€˜πΉ) = 0 β†’ (1rβ€˜πΉ) = 1))
7249, 71mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) = 1)
7372, 51eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐾)
7431, 73jca 512 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ 𝐾))
75 cnfld1 20969 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
7616, 75issubrg 20318 . . 3 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ↔ ((β„‚fld ∈ Ring ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
7728, 74, 76sylanbrc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
7825, 20, 773jca 1128 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  2c2 12266  β†‘cexp 14026  Basecbs 17143   β†Ύs cress 17172  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  SubGrpcsubg 18999  1rcur 20003  Ringcrg 20055  SubRingcsubrg 20314  DivRingcdr 20356  β„‚fldccnfld 20943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-exp 14027  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-cnfld 20944
This theorem is referenced by:  cphreccllem  24694  cphsubrg  24696  phclm  24748  tcphcph  24753
  Copyright terms: Public domain W3C validator