MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cphsubrglem 25121
Description: Lemma for cphsubrg 25124. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
cphsubrglem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
cphsubrglem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphsubrglem (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
Proof of Theorem cphsubrglem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
2 cphsubrglem.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
31fveq2d 6894 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
4 cphsubrglem.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
5 drngring 20633 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ DivRing β†’ 𝐹 ∈ Ring)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Ring)
71, 6eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) ∈ Ring)
8 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴))
9 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴))
108, 9ring0cl 20205 . . . . . . . . . 10 ((β„‚fld β†Ύs 𝐴) ∈ Ring β†’ (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
11 reldmress 17208 . . . . . . . . . . 11 Rel dom β†Ύs
12 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs 𝐴)
1311, 12, 8elbasov 17184 . . . . . . . . . 10 ((0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) β†’ (β„‚fld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
147, 10, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„‚fld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
1514simprd 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ V)
16 cnfldbas 21285 . . . . . . . . 9 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
1712, 16ressbas 17212 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ∩ β„‚) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ β„‚) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)))
193, 18eqtr4d 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (𝐴 ∩ β„‚))
202, 19eqtrid 2777 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚))
2120oveq2d 7430 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2216ressinbas 17223 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2315, 22syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐴) = (β„‚fld β†Ύs (𝐴 ∩ β„‚)))
2421, 23eqtr4d 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐴))
251, 24eqtr4d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾))
2625, 6eqeltrrd 2826 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring)
27 cnring 21320 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
2826, 27jctil 518 . . 3 (πœ‘ β†’ (β„‚fld ∈ Ring ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring))
2912, 16ressbasss 17216 . . . . . 6 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐴)) βŠ† β„‚
303, 29eqsstrdi 4026 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) βŠ† β„‚)
312, 30eqsstrid 4020 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† β„‚)
32 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
33 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜πΉ)
3432, 33drngunz 20645 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
354, 34syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  (0gβ€˜πΉ))
3625fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
37 ringgrp 20180 . . . . . . . . . . . 12 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ Grp)
3827, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ β„‚fld ∈ Grp)
39 ringgrp 20180 . . . . . . . . . . . 12 ((β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp)
4026, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp)
4116issubg 19083 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ↔ (β„‚fld ∈ Grp ∧ 𝐾 βŠ† β„‚ ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Grp))
4238, 31, 40, 41syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
43 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs 𝐾) = (β„‚fld β†Ύs 𝐾)
44 cnfld0 21322 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
4543, 44subg0 19089 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
4736, 46eqtr4d 2768 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = 0)
4835, 47neeqtrd 3000 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) β‰  0)
4948neneqd 2935 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Β¬ (1rβ€˜πΉ) = 0)
502, 33ringidcl 20204 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
516, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ 𝐾)
5231, 51sseldd 3973 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ β„‚)
5352sqvald 14137 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ)↑2) = ((1rβ€˜πΉ) Β· (1rβ€˜πΉ)))
5425fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) = (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5554oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) Β· (1rβ€˜πΉ)) = ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)))
5625fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
572, 56eqtrid 2777 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
5851, 57eleqtrd 2827 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
59 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
602fvexi 6904 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ V
61 cnfldmul 21289 . . . . . . . . . . . . 13 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
6243, 61ressmulr 17285 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ V β†’ Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)))
6360, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
64 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) = (1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))
6559, 63, 64ringlidm 20207 . . . . . . . . . 10 (((β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring ∧ (1rβ€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾))) β†’ ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
6626, 58, 65syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(β„‚fld β†Ύs 𝐾)) Β· (1rβ€˜πΉ)) = (1rβ€˜πΉ))
6753, 55, 663eqtrd 2769 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ))
68 sq01 14217 . . . . . . . . 9 ((1rβ€˜πΉ) ∈ β„‚ β†’ (((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ) ↔ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1)))
6952, 68syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((1rβ€˜πΉ)↑2) = (1rβ€˜πΉ) ↔ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1)))
7067, 69mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜πΉ) = 0 ∨ (1rβ€˜πΉ) = 1))
7170ord 862 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ (1rβ€˜πΉ) = 0 β†’ (1rβ€˜πΉ) = 1))
7249, 71mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜πΉ) = 1)
7372, 51eqeltrrd 2826 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ 𝐾)
7431, 73jca 510 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ 𝐾))
75 cnfld1 21323 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
7616, 75issubrg 20512 . . 3 (𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ↔ ((β„‚fld ∈ Ring ∧ (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
7728, 74, 76sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld))
7825, 20, 773jca 1125 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 = (β„‚fld β†Ύs 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  β„‚cc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   Β· cmul 11141  2c2 12295  β†‘cexp 14056  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  .rcmulr 17231  0gc0g 17418  Grpcgrp 18892  SubGrpcsubg 19077  1rcur 20123  Ringcrg 20175  SubRingcsubrg 20508  DivRingcdr 20626  β„‚fldccnfld 21281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215  ax-mulf 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-exp 14057  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-subrg 20510  df-drng 20628  df-cnfld 21282
This theorem is referenced by:  cphreccllem  25122  cphsubrg  25124  phclm  25176  tcphcph  25181
  Copyright terms: Public domain W3C validator