Theorem cphsubrglem 25157

Description: Lemma for cphsubrg 25160. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cphsubrglem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
cphsubrglem.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)

Assertion

Ref	Expression
cphsubrglem	⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Proof of Theorem cphsubrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphsubrglem.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐴))
2		cphsubrglem.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
3	1	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
4		cphsubrglem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
5		drngring 20707	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Ring)
7	1, 6	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴))
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴))
10	8, 9	ring0cl 20242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐴) ∈ Ring → (0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
11		reldmress 17196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel dom ↾s
12		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s 𝐴)
13	11, 12, 8	elbasov 17180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
14	7, 10, 13	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
15	14	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
16		cnfldbas 21351	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17	12, 16	ressbas 17200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)))
19	3, 18	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐴 ∩ ℂ))
20	2, 19	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ))
21	20	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
22	16	ressinbas 17209	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
23	15, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐴) = (ℂfld ↾s (𝐴 ∩ ℂ)))
24	21, 23	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐴))
25	1, 24	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾))
26	25, 6	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring)
27		cnring 21383	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
28	26, 27	jctil 519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring))
29	12, 16	ressbasss 17203	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐴)) ⊆ ℂ
30	3, 29	eqsstrdi 3967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
31	2, 30	eqsstrid 3961	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ ℂ)
32		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
33		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
34	32, 33	drngunz 20718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
35	4, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ (0g‘𝐹))
36	25	fveq2d 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
37		ringgrp 20213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
38	27, 37	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
39		ringgrp 20213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp)
40	26, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp)
41	16	issubg 19096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Grp))
42	38, 31, 40, 41	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
43		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s 𝐾) = (ℂfld ↾s 𝐾)
44		cnfld0 21385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
45	43, 44	subg0 19102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
46	42, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
47	36, 46	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = 0)
48	35, 47	neeqtrd 3002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ≠ 0)
49	48	neneqd 2938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ (1r‘𝐹) = 0)
50	2, 33	ringidcl 20240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
51	6, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐾)
52	31, 51	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ ℂ)
53	52	sqvald 14099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)↑2) = ((1r‘𝐹) · (1r‘𝐹)))
54	25	fveq2d 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) = (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
55	54	oveq1d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) · (1r‘𝐹)) = ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)))
56	25	fveq2d 6839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
57	2, 56	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
58	51, 57	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
59		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾))
60	2	fvexi 6849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 ∈ V
61		cnfldmul 21355	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
62	43, 61	ressmulr 17264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾)))
63	60, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
64		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) = (1r‘(ℂfld ↾s 𝐾))
65	59, 63, 64	ringlidm 20244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring ∧ (1r‘𝐹) ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝐾))) → ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
66	26, 58, 65	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(ℂfld ↾s 𝐾)) · (1r‘𝐹)) = (1r‘𝐹))
67	53, 55, 66	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹))
68		sq01 14181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1r‘𝐹) ∈ ℂ → (((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹) ↔ ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1)))
69	52, 68	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1r‘𝐹)↑2) = (1r‘𝐹) ↔ ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1)))
70	67, 69	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐹) = 0 ∨ (1r‘𝐹) = 1))
71	70	ord 865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (1r‘𝐹) = 0 → (1r‘𝐹) = 1))
72	49, 71	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) = 1)
73	72, 51	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
74	31, 73	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾))
75		cnfld1 21386	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
76	16, 75	issubrg 20542	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂfld ↾s 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
77	28, 74, 76	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
78	25, 20, 77	3jca 1129	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = (ℂfld ↾s 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   · cmul 11037  2c2 12230  ↑cexp 14017  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  ._rcmulr 17215  0_gc0g 17396  Grpcgrp 18903  SubGrpcsubg 19090  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  SubRingcsubrg 20540  DivRingcdr 20700  ℂ_fldccnfld 21347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-seq 13958  df-exp 14018  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19093  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-subrg 20541  df-drng 20702  df-cnfld 21348

This theorem is referenced by:  cphreccllem  25158  cphsubrg  25160  phclm  25212  tcphcph  25217