MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cphsubrglem 23304
Description: Lemma for cphsubrg 23307. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphsubrglem.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
cphsubrglem.1 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
cphsubrglem.2 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
Assertion
Ref Expression
cphsubrglem (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))

Proof of Theorem cphsubrglem
StepHypRef Expression
1 cphsubrglem.1 . . 3 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐴))
2 cphsubrglem.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐹)
31fveq2d 6415 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
4 cphsubrglem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ DivRing)
5 drngring 19072 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ DivRing → 𝐹 ∈ Ring)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
71, 6eqeltrrd 2879 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂflds 𝐴) ∈ Ring)
8 eqid 2799 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℂflds 𝐴)) = (Base‘(ℂflds 𝐴))
9 eqid 2799 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(ℂflds 𝐴)) = (0g‘(ℂflds 𝐴))
108, 9ring0cl 18885 . . . . . . . . . 10 ((ℂflds 𝐴) ∈ Ring → (0g‘(ℂflds 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐴)))
11 reldmress 16251 . . . . . . . . . . 11 Rel dom ↾s
12 eqid 2799 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds 𝐴) = (ℂflds 𝐴)
1311, 12, 8elbasov 16246 . . . . . . . . . 10 ((0g‘(ℂflds 𝐴)) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐴)) → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
147, 10, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂfld ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
1514simprd 490 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ V)
16 cnfldbas 20072 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
1712, 16ressbas 16255 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∩ ℂ) = (Base‘(ℂflds 𝐴)))
193, 18eqtr4d 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (𝐴 ∩ ℂ))
202, 19syl5eq 2845 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ))
2120oveq2d 6894 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2216ressinbas 16261 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (ℂflds 𝐴) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2315, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐴) = (ℂflds (𝐴 ∩ ℂ)))
2421, 23eqtr4d 2836 . . 3 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐴))
251, 24eqtr4d 2836 . 2 (𝜑𝐹 = (ℂflds 𝐾))
2625, 6eqeltrrd 2879 . . . 4 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) ∈ Ring)
27 cnring 20090 . . . 4 fld ∈ Ring
2826, 27jctil 516 . . 3 (𝜑 → (ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Ring))
2912, 16ressbasss 16257 . . . . . 6 (Base‘(ℂflds 𝐴)) ⊆ ℂ
303, 29syl6eqss 3851 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐹) ⊆ ℂ)
312, 30syl5eqss 3845 . . . 4 (𝜑𝐾 ⊆ ℂ)
32 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
33 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (1r𝐹) = (1r𝐹)
3432, 33drngunz 19080 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ DivRing → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
354, 34syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝐹) ≠ (0g𝐹))
3625fveq2d 6415 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝐹) = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
37 ringgrp 18868 . . . . . . . . . . . 12 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
3827, 37mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂfld ∈ Grp)
39 ringgrp 18868 . . . . . . . . . . . 12 ((ℂflds 𝐾) ∈ Ring → (ℂflds 𝐾) ∈ Grp)
4026, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂflds 𝐾) ∈ Grp)
4116issubg 17907 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ↔ (ℂfld ∈ Grp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Grp))
4238, 31, 40, 41syl3anbrc 1444 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
43 eqid 2799 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds 𝐾) = (ℂflds 𝐾)
44 cnfld0 20092 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℂfld)
4543, 44subg0 17913 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
4642, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 = (0g‘(ℂflds 𝐾)))
4736, 46eqtr4d 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐹) = 0)
4835, 47neeqtrd 3040 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐹) ≠ 0)
4948neneqd 2976 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (1r𝐹) = 0)
502, 33ringidcl 18884 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
516, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
5231, 51sseldd 3799 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ ℂ)
5352sqvald 13259 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝐹)↑2) = ((1r𝐹) · (1r𝐹)))
5425fveq2d 6415 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) = (1r‘(ℂflds 𝐾)))
5554oveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝐹) · (1r𝐹)) = ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)))
5625fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(ℂflds 𝐾)))
572, 56syl5eq 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 = (Base‘(ℂflds 𝐾)))
5851, 57eleqtrd 2880 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐾)))
59 eqid 2799 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(ℂflds 𝐾)) = (Base‘(ℂflds 𝐾))
602fvexi 6425 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 ∈ V
61 cnfldmul 20074 . . . . . . . . . . . . 13 · = (.r‘ℂfld)
6243, 61ressmulr 16327 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ V → · = (.r‘(ℂflds 𝐾)))
6360, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘(ℂflds 𝐾))
64 eqid 2799 . . . . . . . . . . 11 (1r‘(ℂflds 𝐾)) = (1r‘(ℂflds 𝐾))
6559, 63, 64ringlidm 18887 . . . . . . . . . 10 (((ℂflds 𝐾) ∈ Ring ∧ (1r𝐹) ∈ (Base‘(ℂflds 𝐾))) → ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)) = (1r𝐹))
6626, 58, 65syl2anc 580 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r‘(ℂflds 𝐾)) · (1r𝐹)) = (1r𝐹))
6753, 55, 663eqtrd 2837 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹))
68 sq01 13240 . . . . . . . . 9 ((1r𝐹) ∈ ℂ → (((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹) ↔ ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1)))
6952, 68syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1r𝐹)↑2) = (1r𝐹) ↔ ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1)))
7067, 69mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1r𝐹) = 0 ∨ (1r𝐹) = 1))
7170ord 891 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (1r𝐹) = 0 → (1r𝐹) = 1))
7249, 71mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝐹) = 1)
7372, 51eqeltrrd 2879 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ 𝐾)
7431, 73jca 508 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾))
75 cnfld1 20093 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
7616, 75issubrg 19098 . . 3 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ ((ℂfld ∈ Ring ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ Ring) ∧ (𝐾 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ 𝐾)))
7728, 74, 76sylanbrc 579 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld))
7825, 20, 773jca 1159 1 (𝜑 → (𝐹 = (ℂflds 𝐾) ∧ 𝐾 = (𝐴 ∩ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  wo 874  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  Vcvv 3385  cin 3768  wss 3769  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  0cc0 10224  1c1 10225   · cmul 10229  2c2 11368  cexp 13114  Basecbs 16184  s cress 16185  .rcmulr 16268  0gc0g 16415  Grpcgrp 17738  SubGrpcsubg 17901  1rcur 18817  Ringcrg 18863  DivRingcdr 19065  SubRingcsubrg 19094  fldccnfld 20068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-seq 13056  df-exp 13115  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-subg 17904  df-cmn 18510  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-drng 19067  df-subrg 19096  df-cnfld 20069
This theorem is referenced by:  cphreccllem  23305  cphsubrg  23307  phclm  23358  tcphcph  23363
  Copyright terms: Public domain W3C validator