Theorem mdegcl 26024

Description: Sharp closure for multivariate polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegcl.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Proof of Theorem mdegcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2735	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 26018	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
8		supeq1 9455	. . . 4 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) = ∅ → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
9	8	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) = ∅ → (sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})))
10		imassrn 6058	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
11	5, 6	tdeglem1 26013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
12		frn 6712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
14	10, 13	sstrid 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℕ0)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℕ0)
16		ssun1 4153	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
17	15, 16	sstrdi 3971	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞}))
18		ffun 6708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
19	11, 18	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
20		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
21	2, 3, 4, 20	mplelsfi 21953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
22	21	fsuppimpd 9379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin)
23		imafi 9323	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ∧ (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
24	19, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
26		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅)
27		nn0ssre 12503	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
28		ressxr 11277	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
29	27, 28	sstri 3968	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
30	15, 29	sstrdi 3971	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*)
31		xrltso 13155	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
32		fisupcl 9480	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*)) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
33	31, 32	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
34	25, 26, 30, 33	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
35	17, 34	sseldd 3959	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
36		xrsup0 13337	. . . . 5 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
37		ssun2 4154	. . . . . 6 ⊢ {-∞} ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
38		mnfxr 11290	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	elexi 3482	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ V
40	39	snid 4638	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ {-∞}
41	37, 40	sselii 3955	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
42	36, 41	eqeltri 2830	. . . 4 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44	9, 35, 43	pm2.61ne 3017	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
45	7, 44	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {crab 3415   ∪ cun 3924   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601   ↦ cmpt 5201   Or wor 5560  ^◡ccnv 5653  ran crn 5655   “ cima 5657  Fun wfun 6524  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   supp csupp 8157   ↑_m cmap 8838  Fincfn 8957  supcsup 9450  ℝcr 11126  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  ℕcn 12238  ℕ₀cn0 12499  Basecbs 17226  0_gc0g 17451   Σ_g cgsu 17452  ℂ_fldccnfld 21313   mPoly cmpl 21864   mDeg cmdg 26008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-sup 9452  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-hash 14347  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-cnfld 21314  df-psr 21867  df-mpl 21869  df-mdeg 26010

This theorem is referenced by:  deg1cl  26038