MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegcl 24590
Description: Sharp closure for multivariate polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegcl.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdegcl (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Proof of Theorem mdegcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegcl.d . . 3 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 eqid 2818 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2818 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6 eqid 2818 . . 3 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 24584 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
8 supeq1 8897 . . . 4 (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) = ∅ → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
98eleq1d 2894 . . 3 (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) = ∅ → (sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})))
10 imassrn 5933 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
112, 3mplrcl 20198 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐼 ∈ V)
125, 6tdeglem1 24579 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ V → (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0)
13 frn 6513 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
1510, 14sstrid 3975 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℕ0)
1615adantr 481 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℕ0)
17 ssun1 4145 . . . . 5 0 ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
1816, 17sstrdi 3976 . . . 4 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞}))
19 ffun 6510 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
2011, 12, 193syl 18 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝐹𝐵)
22 reldmmpl 20135 . . . . . . . . . . 11 Rel dom mPoly
2322, 2, 3elbasov 16533 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2423simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝑅 ∈ V)
252, 3, 4, 21, 24mplelsfi 20199 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐹 finSupp (0g𝑅))
2625fsuppimpd 8828 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐹 supp (0g𝑅)) ∈ Fin)
27 imafi 8805 . . . . . . 7 ((Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ∧ (𝐹 supp (0g𝑅)) ∈ Fin) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin)
2820, 26, 27syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin)
2928adantr 481 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin)
30 simpr 485 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅)
31 nn0ssre 11889 . . . . . . 7 0 ⊆ ℝ
32 ressxr 10673 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
3331, 32sstri 3973 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ*
3416, 33sstrdi 3976 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ*)
35 xrltso 12522 . . . . . 6 < Or ℝ*
36 fisupcl 8921 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ*)) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))))
3735, 36mpan 686 . . . . 5 ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ*) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))))
3829, 30, 34, 37syl3anc 1363 . . . 4 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))))
3918, 38sseldd 3965 . . 3 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
40 xrsup0 12704 . . . . 5 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
41 ssun2 4146 . . . . . 6 {-∞} ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
42 mnfxr 10686 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
4342elexi 3511 . . . . . . 7 -∞ ∈ V
4443snid 4591 . . . . . 6 -∞ ∈ {-∞}
4541, 44sselii 3961 . . . . 5 -∞ ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
4640, 45eqeltri 2906 . . . 4 sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
4746a1i 11 . . 3 (𝐹𝐵 → sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
489, 39, 47pm2.61ne 3099 . 2 (𝐹𝐵 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
497, 48eqeltrd 2910 1 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  {crab 3139  Vcvv 3492  cun 3931  wss 3933  c0 4288  {csn 4557  cmpt 5137   Or wor 5466  ccnv 5547  ran crn 5549  cima 5551  Fun wfun 6342  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  m cmap 8395  Fincfn 8497  supcsup 8892  cr 10524  -∞cmnf 10661  *cxr 10662   < clt 10663  cn 11626  0cn0 11885  Basecbs 16471  0gc0g 16701   Σg cgsu 16702   mPoly cmpl 20061  fldccnfld 20473   mDeg cmdg 24574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-psr 20064  df-mpl 20066  df-cnfld 20474  df-mdeg 24576
This theorem is referenced by:  deg1cl  24604
  Copyright terms: Public domain W3C validator