MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegcl 26093
Description: Sharp closure for multivariate polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegcl.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegcl.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
mdegcl (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Proof of Theorem mdegcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegcl.d . . 3 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 eqid 2726 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2726 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6 eqid 2726 . . 3 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 26087 . 2 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ))
8 supeq1 9481 . . . 4 (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) = ∅ → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
98eleq1d 2811 . . 3 (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) = ∅ → (sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})))
10 imassrn 6072 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
115, 6tdeglem1 26079 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
12 frn 6727 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
1311, 12mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
1410, 13sstrid 3990 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℕ0)
1514adantr 479 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℕ0)
16 ssun1 4170 . . . . 5 0 ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
1715, 16sstrdi 3991 . . . 4 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞}))
18 ffun 6723 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
1911, 18mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
20 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝐹𝐵)
21 reldmmpl 21993 . . . . . . . . . . 11 Rel dom mPoly
2221, 2, 3elbasov 17215 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2322simprd 494 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝑅 ∈ V)
242, 3, 4, 20, 23mplelsfi 22000 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵𝐹 finSupp (0g𝑅))
2524fsuppimpd 9406 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝐹 supp (0g𝑅)) ∈ Fin)
26 imafi 9348 . . . . . . 7 ((Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ∧ (𝐹 supp (0g𝑅)) ∈ Fin) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin)
2719, 25, 26syl2anc 582 . . . . . 6 (𝐹𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin)
2827adantr 479 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin)
29 simpr 483 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅)
30 nn0ssre 12522 . . . . . . 7 0 ⊆ ℝ
31 ressxr 11299 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
3230, 31sstri 3988 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ*
3315, 32sstrdi 3991 . . . . 5 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ*)
34 xrltso 13168 . . . . . 6 < Or ℝ*
35 fisupcl 9505 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ*)) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))))
3634, 35mpan 688 . . . . 5 ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ⊆ ℝ*) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))))
3728, 29, 33, 36syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))))
3817, 37sseldd 3979 . . 3 ((𝐹𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
39 xrsup0 13350 . . . . 5 sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
40 ssun2 4171 . . . . . 6 {-∞} ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
41 mnfxr 11312 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
4241elexi 3484 . . . . . . 7 -∞ ∈ V
4342snid 4659 . . . . . 6 -∞ ∈ {-∞}
4440, 43sselii 3975 . . . . 5 -∞ ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
4539, 44eqeltri 2822 . . . 4 sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
4645a1i 11 . . 3 (𝐹𝐵 → sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
479, 38, 46pm2.61ne 3017 . 2 (𝐹𝐵 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
487, 47eqeltrd 2826 1 (𝐹𝐵 → (𝐷𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  {crab 3419  Vcvv 3462  cun 3944  wss 3946  c0 4322  {csn 4623  cmpt 5228   Or wor 5585  ccnv 5673  ran crn 5675  cima 5677  Fun wfun 6540  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416   supp csupp 8166  m cmap 8847  Fincfn 8966  supcsup 9476  cr 11148  -∞cmnf 11287  *cxr 11288   < clt 11289  cn 12258  0cn0 12518  Basecbs 17208  0gc0g 17449   Σg cgsu 17450  fldccnfld 21339   mPoly cmpl 21899   mDeg cmdg 26074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-addf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-hash 14343  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-abl 19777  df-mgp 20114  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-cnfld 21340  df-psr 21902  df-mpl 21904  df-mdeg 26076
This theorem is referenced by:  deg1cl  26107
  Copyright terms: Public domain W3C validator