MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mdegcl 25811
Description: Sharp closure for multivariate polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegcl.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
mdegcl (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
Proof of Theorem mdegcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegcl.d . . 3 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
5 eqid 2732 . . 3 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
6 eqid 2732 . . 3 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 25805 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) = sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
8 supeq1 9442 . . . 4 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) = βˆ… β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) = sup(βˆ…, ℝ*, < ))
98eleq1d 2818 . . 3 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) = βˆ… β†’ (sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) ↔ sup(βˆ…, ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞})))
10 imassrn 6070 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† ran (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
115, 6tdeglem1 25797 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0
12 frn 6724 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0 β†’ ran (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) βŠ† β„•0)
1311, 12mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ ran (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) βŠ† β„•0)
1410, 13sstrid 3993 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† β„•0)
1514adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† β„•0)
16 ssun1 4172 . . . . 5 β„•0 βŠ† (β„•0 βˆͺ {-∞})
1715, 16sstrdi 3994 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† (β„•0 βˆͺ {-∞}))
18 ffun 6720 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0 β†’ Fun (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)))
1911, 18mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ Fun (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)))
20 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
21 reldmmpl 21766 . . . . . . . . . . 11 Rel dom mPoly
2221, 2, 3elbasov 17155 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2322simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝑅 ∈ V)
242, 3, 4, 20, 23mplelsfi 21773 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
2524fsuppimpd 9371 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
26 imafi 9177 . . . . . . 7 ((Fun (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) ∧ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin)
2719, 25, 26syl2anc 584 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin)
2827adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin)
29 simpr 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…)
30 nn0ssre 12480 . . . . . . 7 β„•0 βŠ† ℝ
31 ressxr 11262 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
3230, 31sstri 3991 . . . . . 6 β„•0 βŠ† ℝ*
3315, 32sstrdi 3994 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† ℝ*)
34 xrltso 13124 . . . . . 6 < Or ℝ*
35 fisupcl 9466 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ… ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† ℝ*)) β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))))
3634, 35mpan 688 . . . . 5 ((((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ… ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† ℝ*) β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))))
3728, 29, 33, 36syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))))
3817, 37sseldd 3983 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
39 xrsup0 13306 . . . . 5 sup(βˆ…, ℝ*, < ) = -∞
40 ssun2 4173 . . . . . 6 {-∞} βŠ† (β„•0 βˆͺ {-∞})
41 mnfxr 11275 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
4241elexi 3493 . . . . . . 7 -∞ ∈ V
4342snid 4664 . . . . . 6 -∞ ∈ {-∞}
4440, 43sselii 3979 . . . . 5 -∞ ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞})
4539, 44eqeltri 2829 . . . 4 sup(βˆ…, ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞})
4645a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ sup(βˆ…, ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
479, 38, 46pm2.61ne 3027 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
487, 47eqeltrd 2833 1 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Or wor 5587  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   supp csupp 8148   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  supcsup 9437  β„cr 11111  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  β„‚fldccnfld 21144   mPoly cmpl 21678   mDeg cmdg 25792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-cnfld 21145  df-psr 21681  df-mpl 21683  df-mdeg 25794
This theorem is referenced by:  deg1cl  25825
  Copyright terms: Public domain W3C validator