Theorem mdegcl 26122

Description: Sharp closure for multivariate polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegcl.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Proof of Theorem mdegcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2734	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2734	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2734	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 26116	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
8		supeq1 9482	. . . 4 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) = ∅ → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
9	8	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) = ∅ → (sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})))
10		imassrn 6090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
11	5, 6	tdeglem1 26111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
12		frn 6743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
13	11, 12	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
14	10, 13	sstrid 4006	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℕ0)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℕ0)
16		ssun1 4187	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
17	15, 16	sstrdi 4007	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞}))
18		ffun 6739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
19	11, 18	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
20		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
21	2, 3, 4, 20	mplelsfi 22032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
22	21	fsuppimpd 9406	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin)
23		imafi 9350	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ∧ (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
24	19, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
26		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅)
27		nn0ssre 12527	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
28		ressxr 11302	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
29	27, 28	sstri 4004	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
30	15, 29	sstrdi 4007	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*)
31		xrltso 13179	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
32		fisupcl 9506	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*)) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
33	31, 32	mpan 690	. . . . 5 ⊢ ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
34	25, 26, 30, 33	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
35	17, 34	sseldd 3995	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
36		xrsup0 13361	. . . . 5 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
37		ssun2 4188	. . . . . 6 ⊢ {-∞} ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
38		mnfxr 11315	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	elexi 3500	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ V
40	39	snid 4666	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ {-∞}
41	37, 40	sselii 3991	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
42	36, 41	eqeltri 2834	. . . 4 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44	9, 35, 43	pm2.61ne 3024	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
45	7, 44	eqeltrd 2838	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  {crab 3432   ∪ cun 3960   ⊆ wss 3962  ∅c0 4338  {csn 4630   ↦ cmpt 5230   Or wor 5595  ^◡ccnv 5687  ran crn 5689   “ cima 5691  Fun wfun 6556  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183   ↑_m cmap 8864  Fincfn 8983  supcsup 9477  ℝcr 11151  -∞cmnf 11290  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523  Basecbs 17244  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  ℂ_fldccnfld 21381   mPoly cmpl 21943   mDeg cmdg 26106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382  df-psr 21946  df-mpl 21948  df-mdeg 26108

This theorem is referenced by:  deg1cl  26136