Theorem mdegcl 26191

Description: Sharp closure for multivariate polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegcl.d	⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mdegcl	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Proof of Theorem mdegcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegcl.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2		mdegcl.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mdegcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2769	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) = (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mdegval 26185	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) = sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ))
8		supeq1 9401	. . . 4 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) = ∅ → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) = sup(∅, ℝ*, < ))
9	8	eleq1d 2854	. . 3 ⊢ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) = ∅ → (sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ↔ sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})))
10		imassrn 6071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏))
11	5, 6	tdeglem1 26180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0
12		frn 6711	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
13	11, 12	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ran (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ⊆ ℕ0)
14	10, 13	sstrid 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℕ0)
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℕ0)
16		ssun1 4139	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
17	15, 16	sstrdi 3957	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞}))
18		ffun 6706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)):{𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin}⟶ℕ0 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
19	11, 18	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)))
20		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 ∈ 𝐵)
21	2, 3, 4, 20	mplelsfi 22109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹 finSupp (0g‘𝑅))
22	21	fsuppimpd 9325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin)
23		imafi 9271	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun (𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) ∧ (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ∈ Fin) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
24	19, 22, 23	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
25	24	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin)
26		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅)
27		nn0ssre 12504	. . . . . . 7 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
28		ressxr 11249	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
29	27, 28	sstri 3954	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ*
30	15, 29	sstrdi 3957	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*)
31		xrltso 13162	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ*
32		fisupcl 9426	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ (((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*)) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
33	31, 32	mpan 702	. . . . 5 ⊢ ((((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅ ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ⊆ ℝ*) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
34	25, 26, 30, 33	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))))
35	17, 34	sseldd 3946	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) ≠ ∅) → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
36		xrsup0 13345	. . . . 5 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) = -∞
37		ssun2 4140	. . . . . 6 ⊢ {-∞} ⊆ (ℕ0 ∪ {-∞})
38		mnfxr 11262	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
39	38	elexi 3485	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ V
40	39	snid 4630	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ {-∞}
41	37, 40	sselii 3942	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
42	36, 41	eqeltri 2865	. . . 4 ⊢ sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞})
43	42	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(∅, ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
44	9, 35, 43	pm2.61ne 3049	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → sup(((𝑏 ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑎 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ (ℂfld Σg 𝑏)) “ (𝐹 supp (0g‘𝑅))), ℝ*, < ) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
45	7, 44	eqeltrd 2869	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝐹) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  {crab 3423   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   Or wor 5566  ^◡ccnv 5658  ran crn 5660   “ cima 5662  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   supp csupp 8152   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  supcsup 9396  ℝcr 11095  -∞cmnf 11237  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  Basecbs 17265  0_gc0g 17488   Σ_g cgsu 17489  ℂ_fldccnfld 21487   mPoly cmpl 22021   mDeg cmdg 26175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-cnfld 21488  df-psr 22024  df-mpl 22026  df-mdeg 26177

This theorem is referenced by:  deg1cl  26205