MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdegcl 25457
Description: Sharp closure for multivariate polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegcl.d 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
mdegcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mdegcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
mdegcl (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))

Proof of Theorem mdegcl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegcl.d . . 3 𝐷 = (𝐼 mDeg 𝑅)
2 mdegcl.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mdegcl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
5 eqid 2733 . . 3 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
6 eqid 2733 . . 3 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) = (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
71, 2, 3, 4, 5, 6mdegval 25451 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) = sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ))
8 supeq1 9389 . . . 4 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) = βˆ… β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) = sup(βˆ…, ℝ*, < ))
98eleq1d 2819 . . 3 (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) = βˆ… β†’ (sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}) ↔ sup(βˆ…, ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞})))
10 imassrn 6028 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† ran (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏))
115, 6tdeglem1 25443 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0
12 frn 6679 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0 β†’ ran (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) βŠ† β„•0)
1311, 12mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ ran (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) βŠ† β„•0)
1410, 13sstrid 3959 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† β„•0)
1514adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† β„•0)
16 ssun1 4136 . . . . 5 β„•0 βŠ† (β„•0 βˆͺ {-∞})
1715, 16sstrdi 3960 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† (β„•0 βˆͺ {-∞}))
18 ffun 6675 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)):{π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}βŸΆβ„•0 β†’ Fun (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)))
1911, 18mp1i 13 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ Fun (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)))
20 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
21 reldmmpl 21419 . . . . . . . . . . 11 Rel dom mPoly
2221, 2, 3elbasov 17098 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2322simprd 497 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝑅 ∈ V)
242, 3, 4, 20, 23mplelsfi 21424 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ 𝐹 finSupp (0gβ€˜π‘…))
2524fsuppimpd 9319 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
26 imafi 9125 . . . . . . 7 ((Fun (𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) ∧ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin)
2719, 25, 26syl2anc 585 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin)
2827adantr 482 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin)
29 simpr 486 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…)
30 nn0ssre 12425 . . . . . . 7 β„•0 βŠ† ℝ
31 ressxr 11207 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
3230, 31sstri 3957 . . . . . 6 β„•0 βŠ† ℝ*
3315, 32sstrdi 3960 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† ℝ*)
34 xrltso 13069 . . . . . 6 < Or ℝ*
35 fisupcl 9413 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ (((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ… ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† ℝ*)) β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))))
3634, 35mpan 689 . . . . 5 ((((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) ∈ Fin ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ… ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) βŠ† ℝ*) β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))))
3728, 29, 33, 36syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))))
3817, 37sseldd 3949 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β‰  βˆ…) β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
39 xrsup0 13251 . . . . 5 sup(βˆ…, ℝ*, < ) = -∞
40 ssun2 4137 . . . . . 6 {-∞} βŠ† (β„•0 βˆͺ {-∞})
41 mnfxr 11220 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
4241elexi 3466 . . . . . . 7 -∞ ∈ V
4342snid 4626 . . . . . 6 -∞ ∈ {-∞}
4440, 43sselii 3945 . . . . 5 -∞ ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞})
4539, 44eqeltri 2830 . . . 4 sup(βˆ…, ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞})
4645a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ sup(βˆ…, ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
479, 38, 46pm2.61ne 3027 . 2 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ sup(((𝑏 ∈ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ (β„‚fld Ξ£g 𝑏)) β€œ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))), ℝ*, < ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
487, 47eqeltrd 2834 1 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (π·β€˜πΉ) ∈ (β„•0 βˆͺ {-∞}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  {csn 4590   ↦ cmpt 5192   Or wor 5548  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   supp csupp 8096   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  supcsup 9384  β„cr 11058  -∞cmnf 11195  β„*cxr 11196   < clt 11197  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  β„‚fldccnfld 20819   mPoly cmpl 21331   mDeg cmdg 25438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-cnfld 20820  df-psr 21334  df-mpl 21336  df-mdeg 25440
This theorem is referenced by:  deg1cl  25471
  Copyright terms: Public domain W3C validator