Theorem psraddclOLD 21886

Description: Obsolete version of psraddcl 21885 as of 12-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
psraddclOLD.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psraddclOLD.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psraddclOLD.p	⊢ + = (+g‘𝑆)
psraddclOLD.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
psraddclOLD.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psraddclOLD.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psraddclOLD	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psraddclOLD

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psraddclOLD.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
2		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4	2, 3	grpcl 18862	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
5	4	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
6	1, 5	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7		psraddclOLD.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9		psraddclOLD.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
10		psraddclOLD.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	7, 2, 8, 9, 10	psrelbas 21881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12		psraddclOLD.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	7, 2, 8, 9, 12	psrelbas 21881	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14		ovex 7388	. . . . . 6 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
15	14	rabex 5281	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
17		inidm 4176	. . . 4 ⊢ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
18	6, 11, 13, 16, 16, 17	off 7637	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
19		fvex 6844	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
20	19, 15	elmap 8805	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
21	18, 20	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22		psraddclOLD.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
23	7, 9, 3, 22, 10, 12	psradd 21884	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
24		reldmpsr 21861	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPwSer
25	24, 7, 9	elbasov 17134	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
26	10, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
27	26	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
28	7, 2, 8, 9, 27	psrbas 21880	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
29	21, 23, 28	3eltr4d 2848	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617   ↑_m cmap 8759  Fincfn 8879  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168  Grpcgrp 18854   mPwSer cmps 21851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-tset 17187  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-psr 21856

This theorem is referenced by: (None)