MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psraddclOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psraddclOLD 21886
Description: Obsolete version of psraddcl 21885 as of 12-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psraddclOLD.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psraddclOLD.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psraddclOLD.p + = (+g𝑆)
psraddclOLD.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
psraddclOLD.x (𝜑𝑋𝐵)
psraddclOLD.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
psraddclOLD (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem psraddclOLD
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psraddclOLD.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
2 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2725 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
42, 3grpcl 18900 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
543expb 1117 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
61, 5sylan 578 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g𝑅)𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
7 psraddclOLD.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 eqid 2725 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
9 psraddclOLD.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
10 psraddclOLD.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
117, 2, 8, 9, 10psrelbas 21881 . . . 4 (𝜑𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
12 psraddclOLD.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
137, 2, 8, 9, 12psrelbas 21881 . . . 4 (𝜑𝑌:{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
14 ovex 7448 . . . . . 6 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
1514rabex 5329 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
17 inidm 4213 . . . 4 ({𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∩ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
186, 11, 13, 16, 16, 17off 7699 . . 3 (𝜑 → (𝑋f (+g𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
19 fvex 6904 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
2019, 15elmap 8886 . . 3 ((𝑋f (+g𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (𝑋f (+g𝑅)𝑌):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2118, 20sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝑋f (+g𝑅)𝑌) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
22 psraddclOLD.p . . 3 + = (+g𝑆)
237, 9, 3, 22, 10, 12psradd 21884 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋f (+g𝑅)𝑌))
24 reldmpsr 21849 . . . . . 6 Rel dom mPwSer
2524, 7, 9elbasov 17184 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2610, 25syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
2726simpld 493 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ V)
287, 2, 8, 9, 27psrbas 21880 . 2 (𝜑𝐵 = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2921, 23, 283eltr4d 2840 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  ccnv 5671  cima 5675  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7415  f cof 7679  m cmap 8841  Fincfn 8960  cn 12240  0cn0 12500  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  Grpcgrp 18892   mPwSer cmps 21839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-tset 17249  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-psr 21844
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator