Theorem bl2ioo 24833

Description: A ball in terms of an open interval of reals. (Contributed by NM, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
bl2ioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem bl2ioo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	remetdval 24830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝑥) = (abs‘(𝐴 − 𝑥)))
3		recn 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
5		abssub 15375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2an 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
7	2, 6	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
8	7	breq1d 5176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
9	8	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
10		absdiflt 15366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
11	10	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
12	11	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
13	9, 12	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
14	13	pm5.32da 578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)))))
15		3anass 1095	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
16	14, 15	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
17		rexr 11336	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
18	1	rexmet 24832	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
19		elbl 24419	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
20	18, 19	mp3an1 1448	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
21	17, 20	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
22		resubcl 11600	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
23		readdcl 11267	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
24		rexr 11336	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
25		rexr 11336	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ*)
26		elioo2 13448	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
27	24, 25, 26	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
28	22, 23, 27	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
29	16, 21, 28	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵))))
30	29	eqrdv 2738	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166   × cxp 5698   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   − cmin 11520  (,)cioo 13407  abscabs 15283  ∞Metcxmet 21372  ballcbl 21374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ioo 13411  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382

This theorem is referenced by:  ioo2bl  24834  blssioo  24836  tgioo  24837  iccntr  24862  icccmplem2  24864  reconnlem2  24868  opnreen  24872  lebnumii  25017  opnmbllem  25655  lhop  26075  dvcnvre  26078  dya2icoseg2  34243  opnrebl  36286  opnrebl2  36287  opnmbllem0  37616  iooabslt  45417