Theorem bl2ioo 24696

Description: A ball in terms of an open interval of reals. (Contributed by NM, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
bl2ioo	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem bl2ioo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	remetdval 24693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝑥) = (abs‘(𝐴 − 𝑥)))
3		recn 11118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 11118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
5		abssub 15252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
7	2, 6	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 𝐴)))
8	7	breq1d 5105	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
9	8	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵))
10		absdiflt 15243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
11	10	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
12	11	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐴)) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
13	9, 12	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐷𝑥) < 𝐵 ↔ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
14	13	pm5.32da 579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)))))
15		3anass 1094	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
16	14, 15	bitr4di 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
17		rexr 11180	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
18	1	rexmet 24695	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
19		elbl 24292	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
20	18, 19	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
21	17, 20	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐷𝑥) < 𝐵)))
22		resubcl 11446	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
23		readdcl 11111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
24		rexr 11180	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ*)
25		rexr 11180	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ*)
26		elioo2 13307	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
27	24, 25, 26	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
28	22, 23, 27	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (𝐴 + 𝐵))))
29	16, 21, 28	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵))))
30	29	eqrdv 2727	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(ball‘𝐷)𝐵) = ((𝐴 − 𝐵)(,)(𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095   × cxp 5621   ↾ cres 5625   ∘ ccom 5627  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027   + caddc 11031  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   − cmin 11365  (,)cioo 13266  abscabs 15159  ∞Metcxmet 21264  ballcbl 21266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-xadd 13033  df-ioo 13270  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274

This theorem is referenced by:  ioo2bl  24697  blssioo  24699  tgioo  24700  iccntr  24726  icccmplem2  24728  reconnlem2  24732  opnreen  24736  lebnumii  24881  opnmbllem  25518  lhop  25937  dvcnvre  25940  dya2icoseg2  34245  opnrebl  36293  opnrebl2  36294  opnmbllem0  37635  iooabslt  45481