MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1obl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1obl 23386
Description: The image of a metric space ball. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1obl.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1obl.r (𝜑𝑅𝑍)
imasf1obl.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1obl.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1obl.m (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
imasf1obl.x (𝜑𝑃𝑉)
imasf1obl.s (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
imasf1obl (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))

Proof of Theorem imasf1obl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
2 f1ocnvfv2 7088 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
31, 2sylan 583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
43oveq2d 7229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹‘(𝐹𝑥))) = ((𝐹𝑃)𝐷𝑥))
5 imasf1obl.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
65adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
7 imasf1obl.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
87adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
91adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
10 imasf1obl.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅𝑍)
1110adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅𝑍)
12 imasf1obl.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
13 imasf1obl.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝑈)
14 imasf1obl.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
1514adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
16 imasf1obl.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑉)
1716adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑃𝑉)
18 f1ocnv 6673 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝑉)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝑉)
20 f1of 6661 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑉𝐹:𝐵𝑉)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐵𝑉)
2221ffvelrnda 6904 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑉)
236, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 22imasdsf1o 23272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹‘(𝐹𝑥))) = (𝑃𝐸(𝐹𝑥)))
244, 23eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) = (𝑃𝐸(𝐹𝑥)))
2524breq1d 5063 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
26 imasf1obl.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2726adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ*)
28 elbl2 23288 . . . . . . 7 (((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑉 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑉)) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
2915, 27, 17, 22, 28syl22anc 839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
3025, 29bitr4d 285 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
3130pm5.32da 582 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
325, 7, 1, 10, 12, 13, 14imasf1oxmet 23273 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
33 f1of 6661 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
341, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
3534, 16ffvelrnd 6905 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
36 elbl 23286 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
3732, 35, 26, 36syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
38 f1ofn 6662 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑉𝐹 Fn 𝐵)
39 elpreima 6878 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4019, 38, 393syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4131, 37, 403bitr4d 314 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4241eqrdv 2735 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
43 imacnvcnv 6069 . 2 (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))
4442, 43eqtrdi 2794 1 (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110   class class class wbr 5053   × cxp 5549  ccnv 5550  cres 5553  cima 5554   Fn wfn 6375  wf 6376  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380  (class class class)co 7213  *cxr 10866   < clt 10867  Basecbs 16760  distcds 16811  s cimas 17009  ∞Metcxmet 20348  ballcbl 20350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-xrs 17007  df-imas 17013  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-bl 20358
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  23387
  Copyright terms: Public domain W3C validator