Theorem imasf1obl 24768

Description: The image of a metric space ball. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasf1obl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasf1obl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasf1obl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasf1obl.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1obl.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1obl.m	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
imasf1obl.x	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
imasf1obl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
imasf1obl	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))

Proof of Theorem imasf1obl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasf1obl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
2		f1ocnvfv2 7273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
3	1, 2	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
4	3	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))) = ((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥))
5		imasf1obl.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
6	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
7		imasf1obl.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
8	7	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
9	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
10		imasf1obl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝑍)
12		imasf1obl.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
13		imasf1obl.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑈)
14		imasf1obl.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
15	14	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
16		imasf1obl.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ 𝑉)
18		f1ocnv 6825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑉)
19	1, 18	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑉)
20		f1of 6812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑉 → ◡𝐹:𝐵⟶𝑉)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵⟶𝑉)
22	21	ffvelcdmda 7072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑉)
23	6, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 22	imasdsf1o 24654	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))) = (𝑃𝐸(◡𝐹‘𝑥)))
24	4, 23	eqtr3d 2797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) = (𝑃𝐸(◡𝐹‘𝑥)))
25	24	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐸(◡𝐹‘𝑥)) < 𝑆))
26		imasf1obl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ*)
28		elbl2 24670	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑉)) → ((◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(◡𝐹‘𝑥)) < 𝑆))
29	15, 27, 17, 22, 28	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(◡𝐹‘𝑥)) < 𝑆))
30	25, 29	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
31	30	pm5.32da 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
32	5, 7, 1, 10, 12, 13, 14	imasf1oxmet 24655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
33		f1of 6812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
34	1, 33	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
35	34, 16	ffvelcdmd 7073	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
36		elbl 24668	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
37	32, 35, 26, 36	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
38		f1ofn 6813	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑉 → ◡𝐹 Fn 𝐵)
39		elpreima 7045	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 Fn 𝐵 → (𝑥 ∈ (◡◡𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
40	19, 38, 39	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡◡𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
41	31, 37, 40	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ 𝑥 ∈ (◡◡𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
42	41	eqrdv 2758	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (◡◡𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
43		imacnvcnv 6196	. 2 ⊢ (◡◡𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))
44	42, 43	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102   × cxp 5645  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   “ cima 5650   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  –1-1-onto→wf1o 6526  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝ^*cxr 11313   < clt 11314  Basecbs 17348  distcds 17398   “_s cimas 17637  ∞Metcxmet 21624  ballcbl 21626

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-xrs 17635  df-imas 17641  df-mre 17717  df-mrc 17718  df-acs 17720  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-mulg 19239  df-cntz 19492  df-cmn 19957  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-bl 21634

This theorem is used by:  imasf1oxms  24769