MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1obl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1obl 23750
Description: The image of a metric space ball. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1obl.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1obl.r (𝜑𝑅𝑍)
imasf1obl.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1obl.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1obl.m (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
imasf1obl.x (𝜑𝑃𝑉)
imasf1obl.s (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
imasf1obl (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))

Proof of Theorem imasf1obl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
2 f1ocnvfv2 7205 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
31, 2sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
43oveq2d 7353 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹‘(𝐹𝑥))) = ((𝐹𝑃)𝐷𝑥))
5 imasf1obl.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
65adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
7 imasf1obl.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
87adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
91adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
10 imasf1obl.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅𝑍)
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅𝑍)
12 imasf1obl.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
13 imasf1obl.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝑈)
14 imasf1obl.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
1514adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
16 imasf1obl.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑉)
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑃𝑉)
18 f1ocnv 6779 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝑉)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝑉)
20 f1of 6767 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑉𝐹:𝐵𝑉)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐵𝑉)
2221ffvelcdmda 7017 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑉)
236, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 22imasdsf1o 23633 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹‘(𝐹𝑥))) = (𝑃𝐸(𝐹𝑥)))
244, 23eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) = (𝑃𝐸(𝐹𝑥)))
2524breq1d 5102 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
26 imasf1obl.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ*)
28 elbl2 23649 . . . . . . 7 (((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑉 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑉)) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
2915, 27, 17, 22, 28syl22anc 836 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
3025, 29bitr4d 281 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
3130pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
325, 7, 1, 10, 12, 13, 14imasf1oxmet 23634 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
33 f1of 6767 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
341, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
3534, 16ffvelcdmd 7018 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
36 elbl 23647 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
3732, 35, 26, 36syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
38 f1ofn 6768 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑉𝐹 Fn 𝐵)
39 elpreima 6991 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4019, 38, 393syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4131, 37, 403bitr4d 310 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4241eqrdv 2734 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
43 imacnvcnv 6144 . 2 (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))
4442, 43eqtrdi 2792 1 (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5092   × cxp 5618  ccnv 5619  cres 5622  cima 5623   Fn wfn 6474  wf 6475  1-1-ontowf1o 6478  cfv 6479  (class class class)co 7337  *cxr 11109   < clt 11110  Basecbs 17009  distcds 17068  s cimas 17312  ∞Metcxmet 20688  ballcbl 20690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-rp 12832  df-xneg 12949  df-xadd 12950  df-xmul 12951  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-hash 14146  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-xrs 17310  df-imas 17316  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-bl 20698
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  23751
  Copyright terms: Public domain W3C validator