MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1obl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1obl 24352
Description: The image of a metric space ball. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasf1obl.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasf1obl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
imasf1obl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasf1obl.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
imasf1obl.d 𝐷 = (distβ€˜π‘ˆ)
imasf1obl.m (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
imasf1obl.x (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑉)
imasf1obl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
imasf1obl (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) = (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)))

Proof of Theorem imasf1obl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
2 f1ocnvfv2 7271 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
31, 2sylan 579 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
43oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯))
5 imasf1obl.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
65adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
7 imasf1obl.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
91adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
10 imasf1obl.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
12 imasf1obl.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
13 imasf1obl.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (distβ€˜π‘ˆ)
14 imasf1obl.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
16 imasf1obl.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑉)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ 𝑉)
18 f1ocnv 6839 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ ◑𝐹:𝐡–1-1-onto→𝑉)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:𝐡–1-1-onto→𝑉)
20 f1of 6827 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹:𝐡–1-1-onto→𝑉 β†’ ◑𝐹:π΅βŸΆπ‘‰)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:π΅βŸΆπ‘‰)
2221ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
236, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 22imasdsf1o 24235 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))) = (𝑃𝐸(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
244, 23eqtr3d 2768 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) = (𝑃𝐸(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
2524breq1d 5151 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐸(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑆))
26 imasf1obl.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
28 elbl2 24251 . . . . . . 7 (((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑆))
2915, 27, 17, 22, 28syl22anc 836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑆))
3025, 29bitr4d 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) < 𝑆 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)))
3130pm5.32da 578 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) < 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆))))
325, 7, 1, 10, 12, 13, 14imasf1oxmet 24236 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
33 f1of 6827 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
341, 33syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
3534, 16ffvelcdmd 7081 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
36 elbl 24249 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) < 𝑆)))
3732, 35, 26, 36syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) < 𝑆)))
38 f1ofn 6828 . . . . 5 (◑𝐹:𝐡–1-1-onto→𝑉 β†’ ◑𝐹 Fn 𝐡)
39 elpreima 7053 . . . . 5 (◑𝐹 Fn 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (◑◑𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆))))
4019, 38, 393syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑◑𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆))))
4131, 37, 403bitr4d 311 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ π‘₯ ∈ (◑◑𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆))))
4241eqrdv 2724 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) = (◑◑𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)))
43 imacnvcnv 6199 . 2 (◑◑𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)) = (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆))
4442, 43eqtrdi 2782 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) = (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„*cxr 11251   < clt 11252  Basecbs 17153  distcds 17215   β€œs cimas 17459  βˆžMetcxmet 21225  ballcbl 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-xrs 17457  df-imas 17463  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-bl 21235
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  24353
  Copyright terms: Public domain W3C validator