Theorem imasf1obl 24624

Description: The image of a metric space ball. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasf1obl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasf1obl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasf1obl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasf1obl.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1obl.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1obl.m	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
imasf1obl.x	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
imasf1obl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
imasf1obl	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))

Proof of Theorem imasf1obl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasf1obl.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
2		f1ocnvfv2 7275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
3	1, 2	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘𝑥)) = 𝑥)
4	3	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))) = ((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥))
5		imasf1obl.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
6	5	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
7		imasf1obl.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
8	7	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
9	1	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
10		imasf1obl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
11	10	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝑍)
12		imasf1obl.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
13		imasf1obl.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑈)
14		imasf1obl.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
15	14	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
16		imasf1obl.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ 𝑉)
18		f1ocnv 6833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑉)
19	1, 18	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑉)
20		f1of 6820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑉 → ◡𝐹:𝐵⟶𝑉)
21	19, 20	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵⟶𝑉)
22	21	ffvelcdmda 7079	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑉)
23	6, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 22	imasdsf1o 24510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘(◡𝐹‘𝑥))) = (𝑃𝐸(◡𝐹‘𝑥)))
24	4, 23	eqtr3d 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) = (𝑃𝐸(◡𝐹‘𝑥)))
25	24	breq1d 5118	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐸(◡𝐹‘𝑥)) < 𝑆))
26		imasf1obl.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ*)
27	26	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ*)
28		elbl2 24526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ 𝑉)) → ((◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(◡𝐹‘𝑥)) < 𝑆))
29	15, 27, 17, 22, 28	syl22anc 851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(◡𝐹‘𝑥)) < 𝑆))
30	25, 29	bitr4d 285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
31	30	pm5.32da 589	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
32	5, 7, 1, 10, 12, 13, 14	imasf1oxmet 24511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
33		f1of 6820	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
34	1, 33	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉⟶𝐵)
35	34, 16	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵)
36		elbl 24524	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
37	32, 35, 26, 36	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
38		f1ofn 6821	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝑉 → ◡𝐹 Fn 𝐵)
39		elpreima 7053	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 Fn 𝐵 → (𝑥 ∈ (◡◡𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
40	19, 38, 39	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡◡𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
41	31, 37, 40	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ 𝑥 ∈ (◡◡𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
42	41	eqrdv 2759	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (◡◡𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
43		imacnvcnv 6207	. 2 ⊢ (◡◡𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))
44	42, 43	eqtrdi 2812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660   ↾ cres 5663   “ cima 5664   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242  Basecbs 17268  distcds 17318   “_s cimas 17557  ∞Metcxmet 21486  ballcbl 21488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-xrs 17555  df-imas 17561  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-bl 21496

This theorem is referenced by:  imasf1oxms  24625