MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1obl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1obl 24415
Description: The image of a metric space ball. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasf1obl.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasf1obl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
imasf1obl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasf1obl.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
imasf1obl.d 𝐷 = (distβ€˜π‘ˆ)
imasf1obl.m (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
imasf1obl.x (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑉)
imasf1obl.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
imasf1obl (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) = (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)))

Proof of Theorem imasf1obl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.f . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
2 f1ocnvfv2 7282 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
31, 2sylan 578 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) = π‘₯)
43oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))) = ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯))
5 imasf1obl.u . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
65adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
7 imasf1obl.v . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
87adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
91adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
10 imasf1obl.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
1110adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
12 imasf1obl.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
13 imasf1obl.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (distβ€˜π‘ˆ)
14 imasf1obl.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
1514adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
16 imasf1obl.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑉)
1716adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ 𝑉)
18 f1ocnv 6846 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ ◑𝐹:𝐡–1-1-onto→𝑉)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:𝐡–1-1-onto→𝑉)
20 f1of 6834 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹:𝐡–1-1-onto→𝑉 β†’ ◑𝐹:π΅βŸΆπ‘‰)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:π΅βŸΆπ‘‰)
2221ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
236, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 22imasdsf1o 24298 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜π‘₯))) = (𝑃𝐸(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
244, 23eqtr3d 2767 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) = (𝑃𝐸(β—‘πΉβ€˜π‘₯)))
2524breq1d 5153 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐸(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑆))
26 imasf1obl.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
2726adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
28 elbl2 24314 . . . . . . 7 (((𝐸 ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑉)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑆))
2915, 27, 17, 22, 28syl22anc 837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(β—‘πΉβ€˜π‘₯)) < 𝑆))
3025, 29bitr4d 281 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) < 𝑆 ↔ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)))
3130pm5.32da 577 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) < 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆))))
325, 7, 1, 10, 12, 13, 14imasf1oxmet 24299 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅))
33 f1of 6834 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
341, 33syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
3534, 16ffvelcdmd 7090 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡)
36 elbl 24312 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π΅) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) < 𝑆)))
3732, 35, 26, 36syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘ƒ)𝐷π‘₯) < 𝑆)))
38 f1ofn 6835 . . . . 5 (◑𝐹:𝐡–1-1-onto→𝑉 β†’ ◑𝐹 Fn 𝐡)
39 elpreima 7062 . . . . 5 (◑𝐹 Fn 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ (◑◑𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆))))
4019, 38, 393syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (◑◑𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆))))
4131, 37, 403bitr4d 310 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) ↔ π‘₯ ∈ (◑◑𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆))))
4241eqrdv 2723 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) = (◑◑𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)))
43 imacnvcnv 6205 . 2 (◑◑𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)) = (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆))
4442, 43eqtrdi 2781 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘ƒ)(ballβ€˜π·)𝑆) = (𝐹 β€œ (𝑃(ballβ€˜πΈ)𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„*cxr 11277   < clt 11278  Basecbs 17179  distcds 17241   β€œs cimas 17485  βˆžMetcxmet 21268  ballcbl 21270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-xrs 17483  df-imas 17489  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-bl 21278
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  24416
  Copyright terms: Public domain W3C validator