MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1obl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1obl 24517
Description: The image of a metric space ball. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1obl.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1obl.r (𝜑𝑅𝑍)
imasf1obl.e 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
imasf1obl.d 𝐷 = (dist‘𝑈)
imasf1obl.m (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
imasf1obl.x (𝜑𝑃𝑉)
imasf1obl.s (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
imasf1obl (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))

Proof of Theorem imasf1obl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
2 f1ocnvfv2 7297 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
31, 2sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑥)) = 𝑥)
43oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹‘(𝐹𝑥))) = ((𝐹𝑃)𝐷𝑥))
5 imasf1obl.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
65adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑈 = (𝐹s 𝑅))
7 imasf1obl.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
87adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑉 = (Base‘𝑅))
91adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
10 imasf1obl.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅𝑍)
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅𝑍)
12 imasf1obl.e . . . . . . . . 9 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
13 imasf1obl.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝑈)
14 imasf1obl.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉))
16 imasf1obl.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃𝑉)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑃𝑉)
18 f1ocnv 6861 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝑉)
191, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝑉)
20 f1of 6849 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑉𝐹:𝐵𝑉)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐵𝑉)
2221ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑉)
236, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 22imasdsf1o 24400 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹‘(𝐹𝑥))) = (𝑃𝐸(𝐹𝑥)))
244, 23eqtr3d 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) = (𝑃𝐸(𝐹𝑥)))
2524breq1d 5158 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
26 imasf1obl.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆 ∈ ℝ*)
28 elbl2 24416 . . . . . . 7 (((𝐸 ∈ (∞Met‘𝑉) ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃𝑉 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑉)) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
2915, 27, 17, 22, 28syl22anc 839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆) ↔ (𝑃𝐸(𝐹𝑥)) < 𝑆))
3025, 29bitr4d 282 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
3130pm5.32da 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
325, 7, 1, 10, 12, 13, 14imasf1oxmet 24401 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
33 f1of 6849 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
341, 33syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
3534, 16ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑃) ∈ 𝐵)
36 elbl 24414 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐵𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
3732, 35, 26, 36syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ((𝐹𝑃)𝐷𝑥) < 𝑆)))
38 f1ofn 6850 . . . . 5 (𝐹:𝐵1-1-onto𝑉𝐹 Fn 𝐵)
39 elpreima 7078 . . . . 5 (𝐹 Fn 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4019, 38, 393syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4131, 37, 403bitr4d 311 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))))
4241eqrdv 2733 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
43 imacnvcnv 6228 . 2 (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆))
4442, 43eqtrdi 2791 1 (𝜑 → ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑆) = (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐸)𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ccnv 5688  cres 5691  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  *cxr 11292   < clt 11293  Basecbs 17245  distcds 17307  s cimas 17551  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-xrs 17549  df-imas 17555  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  24518
  Copyright terms: Public domain W3C validator