Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpcn 41796
Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islpcn.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
islpcn.p (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
islpcn (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑥   𝑆,𝑒,𝑥   𝜑,𝑒,𝑥

Proof of Theorem islpcn
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 23319 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
4 islpcn.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 islpcn.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
6 unicntop 23321 . . . 4 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
76islp2 21681 . . 3 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
83, 4, 5, 7syl3anc 1363 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
9 cnxmet 23308 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
115adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℂ)
12 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
131cnfldtopn 23317 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1413blnei 23039 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
1510, 11, 12, 14syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
1615adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
17 simplr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
18 ineq1 4178 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) = ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
1918neeq1d 3072 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) → ((𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
2019rspcva 3618 . . . . . . . 8 (((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
2116, 17, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
22 n0 4307 . . . . . . 7 (((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
2321, 22sylib 219 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
24 elinel2 4170 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
2524adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
264adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2724eldifad 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥𝑆)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥𝑆)
2926, 28sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
305adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑃 ∈ ℂ)
3129, 30abssubd 14801 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (abs‘(𝑃𝑥)))
32 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3332cnmetdval 23306 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
3430, 29, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
3531, 34eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (𝑃(abs ∘ − )𝑥))
3635adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (𝑃(abs ∘ − )𝑥))
37 elinel1 4169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
4011adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑃 ∈ ℂ)
41 rpxr 12386 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ*)
4241ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
43 elbl 22925 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑒 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
4538, 44mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
4645simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)
4736, 46eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
4825, 47jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
4948ex 413 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5049adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5150eximdv 1909 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5223, 51mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
53 df-rex 3141 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
5452, 53sylibr 235 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
5554ralrimiva 3179 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
569a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
5713neibl 23038 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)))
5856, 5, 57syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)))
5958simplbda 500 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
6059adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
61 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑒𝜑
62 nfra1 3216 . . . . . . . 8 𝑒𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒
6361, 62nfan 1891 . . . . . . 7 𝑒(𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
64 nfv 1906 . . . . . . 7 𝑒 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})
6563, 64nfan 1891 . . . . . 6 𝑒((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
66 nfv 1906 . . . . . 6 𝑒(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅
67 simp1l 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → 𝜑)
68 simp2 1129 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → 𝑒 ∈ ℝ+)
6967, 68jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝜑𝑒 ∈ ℝ+))
70 rspa 3203 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
7170adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
72713adant3 1124 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
73 simp3 1130 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
7453biimpi 217 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒 → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
7574ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
76 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
77 nfre1 3303 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒
7876, 77nfan 1891 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
79 nfv 1906 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛
8078, 79nfan 1891 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
81 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
824adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑆 ⊆ ℂ)
83 eldifi 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) → 𝑥𝑆)
8483adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥𝑆)
8582, 84sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ ℂ)
8685adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ ℂ)
875adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑃 ∈ ℂ)
8887, 85, 33syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
8987, 85abssubd 14801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (abs‘(𝑃𝑥)) = (abs‘(𝑥𝑃)))
9088, 89eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑥𝑃)))
9190adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑥𝑃)))
92 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
9391, 92eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)
9486, 93jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
9594adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
969a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
9711adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑃 ∈ ℂ)
9841ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ*)
9996, 97, 98, 43syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
10095, 99mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
101100adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
10281, 101sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥𝑛)
103 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
104102, 103elind 4168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
105104ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
106105adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
10780, 106eximd 2206 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
10875, 107mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
109 n0 4307 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
110108, 109sylibr 235 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
11169, 72, 73, 110syl21anc 833 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
1121113exp 1111 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
113112adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
11465, 66, 113rexlimd 3314 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
11560, 114mpd 15 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
116115ralrimiva 3179 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
11755, 116impbida 797 . 2 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
1188, 117bitrd 280 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  cdif 3930  cin 3932  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  *cxr 10662   < clt 10663  cmin 10858  +crp 12377  abscabs 14581  TopOpenctopn 16683  ∞Metcxmet 20458  ballcbl 20460  fldccnfld 20473  Topctop 21429  neicnei 21633  limPtclp 21670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-xms 22857  df-ms 22858
This theorem is referenced by:  limclner  41808
  Copyright terms: Public domain W3C validator