Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpcn 42224
Description: A characterization for a limit point for the standard topology on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islpcn.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
islpcn.p (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
islpcn (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
Distinct variable groups:   𝑃,𝑒,𝑥   𝑆,𝑒,𝑥   𝜑,𝑒,𝑥

Proof of Theorem islpcn
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 23387 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
4 islpcn.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 islpcn.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
6 unicntop 23389 . . . 4 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
76islp2 21748 . . 3 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
83, 4, 5, 7syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
9 cnxmet 23376 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
115adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℂ)
12 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
131cnfldtopn 23385 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
1413blnei 23107 . . . . . . . . . 10 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
1510, 11, 12, 14syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
1615adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
17 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
18 ineq1 4155 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) = ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
1918neeq1d 3070 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) → ((𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
2019rspcva 3596 . . . . . . . 8 (((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
2116, 17, 20syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
22 n0 4282 . . . . . . 7 (((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
2321, 22sylib 221 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
24 elinel2 4147 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
2524adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
264adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2724eldifad 3920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥𝑆)
2827adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥𝑆)
2926, 28sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ ℂ)
305adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑃 ∈ ℂ)
3129, 30abssubd 14804 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (abs‘(𝑃𝑥)))
32 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
3332cnmetdval 23374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
3430, 29, 33syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
3531, 34eqtr4d 2860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (𝑃(abs ∘ − )𝑥))
3635adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) = (𝑃(abs ∘ − )𝑥))
37 elinel1 4146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
3837adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
399a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
4011adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑃 ∈ ℂ)
41 rpxr 12386 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ*)
4241ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → 𝑒 ∈ ℝ*)
43 elbl 22993 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑒 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
4538, 44mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
4645simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)
4736, 46eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
4825, 47jca 515 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
4948ex 416 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5049adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5150eximdv 1918 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑥 𝑥 ∈ ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)))
5223, 51mpd 15 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
53 df-rex 3136 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
5452, 53sylibr 237 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
5554ralrimiva 3174 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
569a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
5713neibl 23106 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)))
5856, 5, 57syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}) ↔ (𝑛 ⊆ ℂ ∧ ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)))
5958simplbda 503 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
6059adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → ∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
61 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑒𝜑
62 nfra1 3208 . . . . . . . 8 𝑒𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒
6361, 62nfan 1900 . . . . . . 7 𝑒(𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
64 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑒 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})
6563, 64nfan 1900 . . . . . 6 𝑒((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃}))
66 nfv 1915 . . . . . 6 𝑒(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅
67 simp1l 1194 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → 𝜑)
68 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → 𝑒 ∈ ℝ+)
6967, 68jca 515 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝜑𝑒 ∈ ℝ+))
70 rspa 3196 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
7170adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
72713adant3 1129 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
73 simp3 1135 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
7453biimpi 219 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒 → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
7574ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
76 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
77 nfre1 3292 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒
7876, 77nfan 1900 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
79 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛
8078, 79nfan 1900 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
81 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛)
824adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑆 ⊆ ℂ)
83 eldifi 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) → 𝑥𝑆)
8483adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥𝑆)
8582, 84sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑥 ∈ ℂ)
8685adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ ℂ)
875adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → 𝑃 ∈ ℂ)
8887, 85, 33syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑃𝑥)))
8987, 85abssubd 14804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (abs‘(𝑃𝑥)) = (abs‘(𝑥𝑃)))
9088, 89eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑥𝑃)))
9190adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) = (abs‘(𝑥𝑃)))
92 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)
9391, 92eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)
9486, 93jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
9594adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒))
969a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
9711adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑃 ∈ ℂ)
9841ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑒 ∈ ℝ*)
9996, 97, 98, 43syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → (𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑃(abs ∘ − )𝑥) < 𝑒)))
10095, 99mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
101100adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒))
10281, 101sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥𝑛)
103 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}))
104102, 103elind 4145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒)) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
105104ex 416 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
106105adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
10780, 106eximd 2217 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (∃𝑥(𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃}) ∧ (abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃}))))
10875, 107mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
109 n0 4282 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})))
110108, 109sylibr 237 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
11169, 72, 73, 110syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
1121113exp 1116 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
113112adantr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (𝑒 ∈ ℝ+ → ((𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)))
11465, 66, 113rexlimd 3303 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (∃𝑒 ∈ ℝ+ (𝑃(ball‘(abs ∘ − ))𝑒) ⊆ 𝑛 → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅))
11560, 114mpd 15 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})) → (𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
116115ralrimiva 3174 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅)
11755, 116impbida 800 . 2 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘(TopOpen‘ℂfld))‘{𝑃})(𝑛 ∩ (𝑆 ∖ {𝑃})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
1188, 117bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (𝑆 ∖ {𝑃})(abs‘(𝑥𝑃)) < 𝑒))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  wrex 3131  cdif 3905  cin 3907  wss 3908  c0 4265  {csn 4539   class class class wbr 5042  ccom 5536  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  *cxr 10663   < clt 10664  cmin 10859  +crp 12377  abscabs 14584  TopOpenctopn 16686  ∞Metcxmet 20074  ballcbl 20076  fldccnfld 20089  Topctop 21496  neicnei 21700  limPtclp 21737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-rest 16687  df-topn 16688  df-topgen 16708  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-xms 22925  df-ms 22926
This theorem is referenced by:  limclner  42236
  Copyright terms: Public domain W3C validator