MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metcnp 24538
Description: Two ways to say a mapping from metric 𝐶 to metric 𝐷 is continuous at point 𝑃. (Contributed by NM, 11-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metcn.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metcnp ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑤,𝑧,𝐹   𝑤,𝐽,𝑦,𝑧   𝑤,𝐾,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem metcnp
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
2 metcn.4 . . 3 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
31, 2metcnp3 24537 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
4 ffun 6723 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋𝑌 → Fun 𝐹)
54ad2antlr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → Fun 𝐹)
6 simpll1 1209 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
7 simpll3 1211 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑃𝑋)
8 rpxr 13031 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ*)
98ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
10 blssm 24412 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑋)
116, 7, 9, 10syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑋)
12 fdm 6729 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋)
1312ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → dom 𝐹 = 𝑋)
1411, 13sseqtrrd 4020 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ dom 𝐹)
15 funimass4 6959 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
165, 14, 15syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))
17 elbl 24382 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃𝑋𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧)))
186, 7, 9, 17syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧)))
1918imbi1d 340 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ ((𝑤𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
20 impexp 449 . . . . . . . . . 10 (((𝑤𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))))
21 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
23 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ+)
2423rpxrd 13065 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ*)
25 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → 𝐹:𝑋𝑌)
267adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → 𝑃𝑋)
2725, 26ffvelcdmd 7091 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → (𝐹𝑃) ∈ 𝑌)
28 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝑋𝑌)
2928ffvelcdmda 7090 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → (𝐹𝑤) ∈ 𝑌)
30 elbl2 24384 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹𝑤) ∈ 𝑌)) → ((𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))
3122, 24, 27, 29, 30syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → ((𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))
3231imbi2d 339 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝑋) → (((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
3332pm5.74da 802 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑤𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) ↔ (𝑤𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
3420, 33bitrid 282 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (((𝑤𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
3519, 34bitrd 278 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
3635ralbidv2 3164 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹𝑤) ∈ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
3716, 36bitrd 278 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+)) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
3837anassrs 466 . . . . 5 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
3938rexbidva 3167 . . . 4 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
4039ralbidva 3166 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) ∧ 𝐹:𝑋𝑌) → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦)))
4140pm5.32da 577 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → ((𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
423, 41bitrd 278 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹𝑃)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  wrex 3060  wss 3946   class class class wbr 5145  dom cdm 5674  cima 5677  Fun wfun 6540  wf 6542  cfv 6546  (class class class)co 7416  *cxr 11288   < clt 11289  +crp 13022  ∞Metcxmet 21324  ballcbl 21326  MetOpencmopn 21329   CnP ccnp 23217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-topgen 17453  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22937  df-cnp 23220
This theorem is referenced by:  metcnp2  24539  metcn  24540  metcnpi  24541  txmetcnp  24544  abelth  26468  qqhcn  33819
  Copyright terms: Public domain W3C validator