Proof of Theorem metcnp
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | metcn.2 |
. . 3
⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶) |
2 | | metcn.4 |
. . 3
⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷) |
3 | 1, 2 | metcnp3 23286 |
. 2
⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+
(𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))) |
4 | | ffun 6501 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → Fun 𝐹) |
5 | 4 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ Fun 𝐹) |
6 | | simpll1 1213 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ 𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋)) |
7 | | simpll3 1215 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ 𝑃 ∈ 𝑋) |
8 | | rpxr 12474 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 ∈ ℝ+
→ 𝑧 ∈
ℝ*) |
9 | 8 | ad2antll 729 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ 𝑧 ∈
ℝ*) |
10 | | blssm 23164 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑋) |
11 | 6, 7, 9, 10 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ 𝑋) |
12 | | fdm 6507 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐹:𝑋⟶𝑌 → dom 𝐹 = 𝑋) |
13 | 12 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ dom 𝐹 = 𝑋) |
14 | 11, 13 | sseqtrrd 3916 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ dom 𝐹) |
15 | | funimass4 6728 |
. . . . . . . 8
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) |
16 | 5, 14, 15 | syl2anc 587 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) |
17 | | elbl 23134 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧))) |
18 | 6, 7, 9, 17 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ (𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧))) |
19 | 18 | imbi1d 345 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ ((𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))) |
20 | | impexp 454 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)))) |
21 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) |
22 | 21 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐷 ∈
(∞Met‘𝑌) ∧
𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) |
23 | | simplrl 777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐷 ∈
(∞Met‘𝑌) ∧
𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ+) |
24 | 23 | rpxrd 12508 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐷 ∈
(∞Met‘𝑌) ∧
𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ ℝ*) |
25 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐷 ∈
(∞Met‘𝑌) ∧
𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶𝑌) |
26 | 7 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐷 ∈
(∞Met‘𝑌) ∧
𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋) |
27 | 25, 26 | ffvelrnd 6856 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐷 ∈
(∞Met‘𝑌) ∧
𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌) |
28 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ 𝐹:𝑋⟶𝑌) |
29 | 28 | ffvelrnda 6855 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐷 ∈
(∞Met‘𝑌) ∧
𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑌) |
30 | | elbl2 23136 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ ((𝐹‘𝑃) ∈ 𝑌 ∧ (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑌)) → ((𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)) |
31 | 22, 24, 27, 29, 30 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐷 ∈
(∞Met‘𝑌) ∧
𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)) |
32 | 31 | imbi2d 344 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐷 ∈
(∞Met‘𝑌) ∧
𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))) |
33 | 32 | pm5.74da 804 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ ((𝑤 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦))) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))) |
34 | 20, 33 | syl5bb 286 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ (((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐶𝑤) < 𝑧) → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))) |
35 | 19, 34 | bitrd 282 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ ((𝑤 ∈ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧) → (𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝑤 ∈ 𝑋 → ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))) |
36 | 35 | ralbidv2 3107 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ (∀𝑤 ∈
(𝑃(ball‘𝐶)𝑧)(𝐹‘𝑤) ∈ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))) |
37 | 16, 36 | bitrd 282 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+))
→ ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))) |
38 | 37 | anassrs 471 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐶 ∈
(∞Met‘𝑋) ∧
𝐷 ∈
(∞Met‘𝑌) ∧
𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)
→ ((𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))) |
39 | 38 | rexbidva 3205 |
. . . 4
⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) →
(∃𝑧 ∈
ℝ+ (𝐹
“ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))) |
40 | 39 | ralbidva 3108 |
. . 3
⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+
(𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+
∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦))) |
41 | 40 | pm5.32da 582 |
. 2
⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+
(𝐹 “ (𝑃(ball‘𝐶)𝑧)) ⊆ ((𝐹‘𝑃)(ball‘𝐷)𝑦)) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+
∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))) |
42 | 3, 41 | bitrd 282 |
1
⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → (𝐹 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+
∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝐹‘𝑃)𝐷(𝐹‘𝑤)) < 𝑦)))) |