MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnbl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnbl0 23368
Description: Two ways to write the open ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnblcld.1 𝐷 = (abs ∘ − )
Assertion
Ref Expression
cnbl0 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem cnbl0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 abscl 14627 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
2 absge0 14636 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
31, 2jca 515 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
43adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
54biantrurd 536 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) < 𝑅 ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
6 df-3an 1086 . . . . . 6 (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅) ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅))
75, 6syl6rbbr 293 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅) ↔ (abs‘𝑥) < 𝑅))
8 0re 10628 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 simpl 486 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
10 elico2 12787 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
118, 9, 10sylancr 590 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
12 0cn 10618 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
13 cnblcld.1 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (abs ∘ − )
1413cnmetdval 23365 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(0 − 𝑥)))
15 abssub 14675 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
1614, 15eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
1712, 16mpan 689 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
18 subid1 10891 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
1918fveq2d 6655 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
2017, 19eqtrd 2859 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2120adantl 485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
2221breq1d 5057 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((0𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) < 𝑅))
237, 11, 223bitr4d 314 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (0𝐷𝑥) < 𝑅))
2423pm5.32da 582 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
25 absf 14686 . . . . 5 abs:ℂ⟶ℝ
26 ffn 6495 . . . . 5 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 abs Fn ℂ
28 elpreima 6809 . . . 4 (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅))))
2927, 28mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅))))
30 cnxmet 23367 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3113, 30eqeltri 2912 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
32 elbl 22984 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
3331, 12, 32mp3an12 1448 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
3424, 29, 333bitr4d 314 . 2 (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ 𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅)))
3534eqrdv 2822 1 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘𝐷)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5047  ccnv 5535  cima 5539  ccom 5540   Fn wfn 6331  wf 6332  cfv 6336  (class class class)co 7138  cc 10520  cr 10521  0cc0 10522  *cxr 10659   < clt 10660  cle 10661  cmin 10855  [,)cico 12726  abscabs 14582  ∞Metcxmet 20516  ballcbl 20518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-xadd 12494  df-ico 12730  df-seq 13363  df-exp 13424  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-psmet 20523  df-xmet 20524  df-met 20525  df-bl 20526
This theorem is referenced by:  psercnlem2  25008  efopnlem1  25236  binomcxplemdvbinom  40893  binomcxplemnotnn0  40896
  Copyright terms: Public domain W3C validator