MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnbl0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnbl0 24510
Description: Two ways to write the open ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnblcld.1 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
Assertion
Ref Expression
cnbl0 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜π·)𝑅))

Proof of Theorem cnbl0
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 1089 . . . . . 6 (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅) ↔ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
2 abscl 15229 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3 absge0 15238 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯))
42, 3jca 512 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)))
54adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)))
65biantrurd 533 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) < 𝑅 ↔ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯)) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
71, 6bitr4id 289 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅) ↔ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
8 0re 11220 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
9 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
10 elico2 13392 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
118, 9, 10sylancr 587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π‘₯) ∧ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅)))
12 0cn 11210 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„‚
13 cnblcld.1 . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (abs ∘ βˆ’ )
1413cnmetdval 24507 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(0 βˆ’ π‘₯)))
15 abssub 15277 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(0 βˆ’ π‘₯)) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
1614, 15eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
1712, 16mpan 688 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)))
18 subid1 11484 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ βˆ’ 0) = π‘₯)
1918fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘₯))
2017, 19eqtrd 2772 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
2120adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0𝐷π‘₯) = (absβ€˜π‘₯))
2221breq1d 5158 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0𝐷π‘₯) < 𝑅 ↔ (absβ€˜π‘₯) < 𝑅))
237, 11, 223bitr4d 310 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (0𝐷π‘₯) < 𝑅))
2423pm5.32da 579 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
25 absf 15288 . . . . 5 abs:β„‚βŸΆβ„
26 ffn 6717 . . . . 5 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
2725, 26ax-mp 5 . . . 4 abs Fn β„‚
28 elpreima 7059 . . . 4 (abs Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅))))
2927, 28mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)𝑅))))
30 cnxmet 24509 . . . . 5 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
3113, 30eqeltri 2829 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
32 elbl 24114 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
3331, 12, 32mp3an12 1451 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (0𝐷π‘₯) < 𝑅)))
3424, 29, 333bitr4d 310 . 2 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜π·)𝑅)))
3534eqrdv 2730 1 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜π·)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  [,)cico 13330  abscabs 15185  βˆžMetcxmet 21129  ballcbl 21131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ico 13334  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139
This theorem is referenced by:  psercnlem2  26160  efopnlem1  26388  binomcxplemdvbinom  43414  binomcxplemnotnn0  43417
  Copyright terms: Public domain W3C validator