Theorem cnbl0 24815

Description: Two ways to write the open ball centered at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnblcld.1	⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )

Assertion

Ref	Expression
cnbl0	⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘𝐷)𝑅))

Proof of Theorem cnbl0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1089	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅) ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅))
2		abscl 15327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
3		absge0 15336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝑥))
4	2, 3	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
5	4	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)))
6	5	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) < 𝑅 ↔ (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥)) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
7	1, 6	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅) ↔ (abs‘𝑥) < 𝑅))
8		0re 11292	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
9		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℝ*)
10		elico2 13471	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
11	8, 9, 10	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝑥) ∧ (abs‘𝑥) < 𝑅)))
12		0cn 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℂ
13		cnblcld.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (abs ∘ − )
14	13	cnmetdval 24812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(0 − 𝑥)))
15		abssub 15375	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘(0 − 𝑥)) = (abs‘(𝑥 − 0)))
16	14, 15	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
17	12, 16	mpan 689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘(𝑥 − 0)))
18		subid1 11556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 − 0) = 𝑥)
19	18	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
20	17, 19	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝐷𝑥) = (abs‘𝑥))
22	21	breq1d 5176	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (abs‘𝑥) < 𝑅))
23	7, 11, 22	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅) ↔ (0𝐷𝑥) < 𝑅))
24	23	pm5.32da 578	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
25		absf 15386	. . . . 5 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
26		ffn 6747	. . . . 5 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ abs Fn ℂ
28		elpreima 7091	. . . 4 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅))))
29	27, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) ∈ (0[,)𝑅))))
30		cnxmet 24814	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
31	13, 30	eqeltri 2840	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ)
32		elbl 24419	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
33	31, 12, 32	mp3an12 1451	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (0𝐷𝑥) < 𝑅)))
34	24, 29, 33	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ 𝑥 ∈ (0(ball‘𝐷)𝑅)))
35	34	eqrdv 2738	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘𝐷)𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  [,)cico 13409  abscabs 15283  ∞Metcxmet 21372  ballcbl 21374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ico 13413  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382

This theorem is referenced by:  psercnlem2  26486  efopnlem1  26716  binomcxplemdvbinom  44322  binomcxplemnotnn0  44325