Theorem blhalf 24321

Description: A ball of radius 𝑅 / 2 is contained in a ball of radius 𝑅 centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blhalf	⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))

Proof of Theorem blhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		simplr 768	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑌 ∈ 𝑋)
3		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))
4		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
5	4	rehalfcld 12375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11169	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
7		elbl 24304	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
9	3, 8	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2)))
10	9	simpld 494	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 24247	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
13	9	simprd 495	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))
14	12, 6, 13	xrltled 13051	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 / 2))
15	5	recnd 11147	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℂ)
16	4	recnd 11147	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
17	16	2halvesd 12374	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → ((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) = 𝑅)
18	15, 15, 17	mvlraddd 11534	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) = (𝑅 − (𝑅 / 2)))
19	14, 18	breqtrd 5119	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))
20		blss2 24320	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))
21	1, 2, 10, 5, 4, 19, 20	syl33anc 1387	1 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℝcr 11012  ℝ^*cxr 11152   < clt 11153   ≤ cle 11154   − cmin 11351   / cdiv 11781  2c2 12187  ∞Metcxmet 21278  ballcbl 21280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-bl 21288

This theorem is referenced by:  met2ndci  24438  iscfil3  25201  cfilfcls  25202  iscmet3lem2  25220  lmcau  25241  lgamucov  26976  sstotbnd2  37834  isbnd2  37843  heiborlem8  37878