MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blhalf 24431
Description: A ball of radius 𝑅 / 2 is contained in a ball of radius 𝑅 centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blhalf (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))

Proof of Theorem blhalf
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2 simplr 769 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑌𝑋)
3 simprr 773 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))
4 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
54rehalfcld 12511 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
65rexrd 11309 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
7 elbl 24414 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋 ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
81, 2, 6, 7syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
93, 8mpbid 232 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2)))
109simpld 494 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍𝑋)
11 xmetcl 24357 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
121, 2, 10, 11syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
139simprd 495 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))
1412, 6, 13xrltled 13189 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 / 2))
155recnd 11287 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℂ)
164recnd 11287 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
17162halvesd 12510 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → ((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) = 𝑅)
1815, 15, 17mvlraddd 11671 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) = (𝑅 − (𝑅 / 2)))
1914, 18breqtrd 5174 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))
20 blss2 24430 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋𝑍𝑋) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))
211, 2, 10, 5, 4, 19, 20syl33anc 1384 1 (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  ∞Metcxmet 21367  ballcbl 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377
This theorem is referenced by:  met2ndci  24551  iscfil3  25321  cfilfcls  25322  iscmet3lem2  25340  lmcau  25361  lgamucov  27096  sstotbnd2  37761  isbnd2  37770  heiborlem8  37805
  Copyright terms: Public domain W3C validator