MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blhalf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blhalf 24231
Description: A ball of radius 𝑅 / 2 is contained in a ball of radius 𝑅 centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blhalf (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)) βŠ† (𝑍(ballβ€˜π‘€)𝑅))
Proof of Theorem blhalf
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
2 simplr 766 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑋)
3 simprr 770 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))
4 simprl 768 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
54rehalfcld 12466 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
65rexrd 11271 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
7 elbl 24214 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) β†’ (𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (π‘Œπ‘€π‘) < (𝑅 / 2))))
81, 2, 6, 7syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (π‘Œπ‘€π‘) < (𝑅 / 2))))
93, 8mpbid 231 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (π‘Œπ‘€π‘) < (𝑅 / 2)))
109simpld 494 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ 𝑍 ∈ 𝑋)
11 xmetcl 24157 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) β†’ (π‘Œπ‘€π‘) ∈ ℝ*)
121, 2, 10, 11syl3anc 1370 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œπ‘€π‘) ∈ ℝ*)
139simprd 495 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œπ‘€π‘) < (𝑅 / 2))
1412, 6, 13xrltled 13136 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œπ‘€π‘) ≀ (𝑅 / 2))
155recnd 11249 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑅 / 2) ∈ β„‚)
164recnd 11249 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
17162halvesd 12465 . . . 4 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ ((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) = 𝑅)
1815, 15, 17mvlraddd 11631 . . 3 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (𝑅 / 2) = (𝑅 βˆ’ (𝑅 / 2)))
1914, 18breqtrd 5174 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œπ‘€π‘) ≀ (𝑅 βˆ’ (𝑅 / 2)))
20 blss2 24230 . 2 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (π‘Œπ‘€π‘) ≀ (𝑅 βˆ’ (𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)) βŠ† (𝑍(ballβ€˜π‘€)𝑅))
211, 2, 10, 5, 4, 19, 20syl33anc 1384 1 (((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)))) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘€)(𝑅 / 2)) βŠ† (𝑍(ballβ€˜π‘€)𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11115  β„*cxr 11254   < clt 11255   ≀ cle 11256   βˆ’ cmin 11451   / cdiv 11878  2c2 12274  βˆžMetcxmet 21218  ballcbl 21220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-2 12282  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-bl 21228
This theorem is referenced by:  met2ndci  24351  iscfil3  25121  cfilfcls  25122  iscmet3lem2  25140  lmcau  25161  lgamucov  26883  sstotbnd2  37106  isbnd2  37115  heiborlem8  37150
  Copyright terms: Public domain W3C validator