Theorem blhalf 24436

Description: A ball of radius 𝑅 / 2 is contained in a ball of radius 𝑅 centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blhalf	⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))

Proof of Theorem blhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		simplr 768	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑌 ∈ 𝑋)
3		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))
4		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℝ)
5	4	rehalfcld 12540	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11340	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℝ*)
7		elbl 24419	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℝ*) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ↔ (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))))
9	3, 8	mpbid 232	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑍 ∈ 𝑋 ∧ (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2)))
10	9	simpld 494	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑍 ∈ 𝑋)
11		xmetcl 24362	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
12	1, 2, 10, 11	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ∈ ℝ*)
13	9	simprd 495	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) < (𝑅 / 2))
14	12, 6, 13	xrltled 13212	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 / 2))
15	5	recnd 11318	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) ∈ ℂ)
16	4	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → 𝑅 ∈ ℂ)
17	16	2halvesd 12539	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → ((𝑅 / 2) + (𝑅 / 2)) = 𝑅)
18	15, 15, 17	mvlraddd 11700	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑅 / 2) = (𝑅 − (𝑅 / 2)))
19	14, 18	breqtrd 5192	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))
20		blss2 24435	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑍 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑅 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑀𝑍) ≤ (𝑅 − (𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))
21	1, 2, 10, 5, 4, 19, 20	syl33anc 1385	1 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑍 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)))) → (𝑌(ball‘𝑀)(𝑅 / 2)) ⊆ (𝑍(ball‘𝑀)𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  2c2 12348  ∞Metcxmet 21372  ballcbl 21374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-bl 21382

This theorem is referenced by:  met2ndci  24556  iscfil3  25326  cfilfcls  25327  iscmet3lem2  25345  lmcau  25366  lgamucov  27099  sstotbnd2  37734  isbnd2  37743  heiborlem8  37778