Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ex-sategoel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-sategoel 34941
Description: Instance of sategoelfv 34939 for the example of a valuation of a simplified satisfaction predicate for a Godel-set of membership. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sategoelfvb.s 𝐸 = (𝑀 Sat (𝐴𝑔𝐵))
ex-sategoelel.s 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
Assertion
Ref Expression
ex-sategoel (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵)) → (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ex-sategoel
StepHypRef Expression
1 simpll 764 . 2 (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵)) → 𝑀 ∈ WUni)
2 3simpa 1145 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
32adantl 481 . 2 (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
4 sategoelfvb.s . . 3 𝐸 = (𝑀 Sat (𝐴𝑔𝐵))
5 ex-sategoelel.s . . 3 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
64, 5ex-sategoelel 34940 . 2 (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵)) → 𝑆𝐸)
74sategoelfv 34939 . 2 ((𝑀 ∈ WUni ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵))
81, 3, 6, 7syl3anc 1368 1 (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵)) → (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  c0 4317  ifcif 4523  𝒫 cpw 4597  cmpt 5224  cfv 6537  (class class class)co 7405  ωcom 7852  WUnicwun 10697  𝑔cgoe 34852   Sat csate 34857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-ac 10113  df-wun 10699  df-goel 34859  df-gona 34860  df-goal 34861  df-sat 34862  df-sate 34863  df-fmla 34864
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator