Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ex-sategoel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ex-sategoel 35088
Description: Instance of sategoelfv 35086 for the example of a valuation of a simplified satisfaction predicate for a Godel-set of membership. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sategoelfvb.s 𝐸 = (𝑀 Sat (𝐴𝑔𝐵))
ex-sategoelel.s 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
Assertion
Ref Expression
ex-sategoel (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵)) → (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ex-sategoel
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . 2 (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵)) → 𝑀 ∈ WUni)
2 3simpa 1145 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
32adantl 480 . 2 (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵)) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
4 sategoelfvb.s . . 3 𝐸 = (𝑀 Sat (𝐴𝑔𝐵))
5 ex-sategoelel.s . . 3 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
64, 5ex-sategoelel 35087 . 2 (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵)) → 𝑆𝐸)
74sategoelfv 35086 . 2 ((𝑀 ∈ WUni ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵))
81, 3, 6, 7syl3anc 1368 1 (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴𝐵)) → (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  c0 4318  ifcif 4524  𝒫 cpw 4598  cmpt 5226  cfv 6542  (class class class)co 7415  ωcom 7867  WUnicwun 10721  𝑔cgoe 34999   Sat csate 35004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-ac2 10484
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-ac 10137  df-wun 10723  df-goel 35006  df-gona 35007  df-goal 35008  df-sat 35009  df-sate 35010  df-fmla 35011
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator