Theorem ex-sategoel 36353

Description: Instance of sategoelfv 36351 for the example of a valuation of a simplified satisfaction predicate for a Godel-set of membership. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sategoelfvb.s	⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
ex-sategoelel.s	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
ex-sategoel	⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ex-sategoel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑀 ∈ WUni)
2		3simpa 1166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
4		sategoelfvb.s	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
5		ex-sategoelel.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
6	4, 5	ex-sategoelel 36352	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
7	4	sategoelfv 36351	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1399	1 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ωcom 7898  WUnicwun 10809  ∈_𝑔cgoe 36264   Sat_∈ csate 36269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-ac2 10565

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-card 10044  df-ac 10219  df-wun 10811  df-goel 36271  df-gona 36272  df-goal 36273  df-sat 36274  df-sate 36275  df-fmla 36276

This theorem is used by: (None)