Theorem ex-sategoel 35473

Description: Instance of sategoelfv 35471 for the example of a valuation of a simplified satisfaction predicate for a Godel-set of membership. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sategoelfvb.s	⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
ex-sategoelel.s	⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
ex-sategoel	⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑀   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem ex-sategoel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑀 ∈ WUni)
2		3simpa 1148	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω))
4		sategoelfvb.s	. . 3 ⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
5		ex-sategoelel.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ω ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑍, if(𝑥 = 𝐵, 𝒫 𝑍, ∅)))
6	4, 5	ex-sategoelel 35472	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → 𝑆 ∈ 𝐸)
7	4	sategoelfv 35471	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ WUni ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))
8	1, 3, 6, 7	syl3anc 1373	1 ⊢ (((𝑀 ∈ WUni ∧ 𝑍 ∈ 𝑀) ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ 𝐵)) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4282  ifcif 4474  𝒫 cpw 4549   ↦ cmpt 5174  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ωcom 7802  WUnicwun 10597  ∈_𝑔cgoe 35384   Sat_∈ csate 35389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-ac2 10360

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9838  df-ac 10013  df-wun 10599  df-goel 35391  df-gona 35392  df-goal 35393  df-sat 35394  df-sate 35395  df-fmla 35396

This theorem is referenced by: (None)