Theorem sategoelfv 35616

Description: Condition of a valuation 𝑆 of a simplified satisfaction predicate for a Godel-set of membership: The sets in model 𝑀 corresponding to the variables 𝐴 and 𝐵 under the assignment of 𝑆 are in a membership relation in 𝑀. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
sategoelfvb.s	⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sategoelfv	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))

Proof of Theorem sategoelfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sategoelfvb.s	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑀 Sat∈ (𝐴∈𝑔𝐵))
2	1	sategoelfvb 35615	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝑆 ∈ 𝐸 ↔ (𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))))
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∧ (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵)) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))
4	2, 3	biimtrdi 253	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵)))
5	4	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑆‘𝐴) ∈ (𝑆‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ωcom 7808   ↑_m cmap 8765  ∈_𝑔cgoe 35529   Sat_∈ csate 35534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-ac2 10375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-card 9853  df-ac 10028  df-goel 35536  df-gona 35537  df-goal 35538  df-sat 35539  df-sate 35540  df-fmla 35541

This theorem is referenced by:  ex-sategoel  35618