Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sategoelfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sategoelfv 32953
Description: Condition of a valuation 𝑆 of a simplified satisfaction predicate for a Godel-set of membership: The sets in model 𝑀 corresponding to the variables 𝐴 and 𝐵 under the assignment of 𝑆 are in a membership relation in 𝑀. (Contributed by AV, 5-Nov-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
sategoelfvb.s 𝐸 = (𝑀 Sat (𝐴𝑔𝐵))
Assertion
Ref Expression
sategoelfv ((𝑀𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵))

Proof of Theorem sategoelfv
StepHypRef Expression
1 sategoelfvb.s . . . 4 𝐸 = (𝑀 Sat (𝐴𝑔𝐵))
21sategoelfvb 32952 . . 3 ((𝑀𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝑆𝐸 ↔ (𝑆 ∈ (𝑀m ω) ∧ (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵))))
3 simpr 488 . . 3 ((𝑆 ∈ (𝑀m ω) ∧ (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵)) → (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵))
42, 3syl6bi 256 . 2 ((𝑀𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω)) → (𝑆𝐸 → (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵)))
543impia 1118 1 ((𝑀𝑉 ∧ (𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑆𝐴) ∈ (𝑆𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  cfv 6339  (class class class)co 7170  ωcom 7599  m cmap 8437  𝑔cgoe 32866   Sat csate 32871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-ac2 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-card 9441  df-ac 9616  df-goel 32873  df-gona 32874  df-goal 32875  df-sat 32876  df-sate 32877  df-fmla 32878
This theorem is referenced by:  ex-sategoel  32955
  Copyright terms: Public domain W3C validator