Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 3simpb 1149 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ด โ
(โคโฅโ๐) โง โ๐ โ (โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โ (๐ด โ (โคโฅโ๐) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
2 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
โฒ๐if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) |
3 | | nfv 1917 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
โฒ๐ ๐ โ ๐ด |
4 | | nfcsb1v 3878 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
โฒ๐โฆ๐ / ๐โฆ๐ต |
5 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
โฒ๐1 |
6 | 3, 4, 5 | nfif 4514 |
. . . . . . . . . . . 12
โข
โฒ๐if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1) |
7 | | eleq1w 2820 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ด โ ๐ โ ๐ด)) |
8 | | csbeq1a 3867 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = ๐ โ ๐ต = โฆ๐ / ๐โฆ๐ต) |
9 | 7, 8 | ifbieq1d 4508 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = ๐ โ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) = if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1)) |
10 | 2, 6, 9 | cbvmpt 5214 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, โฆ๐ / ๐โฆ๐ต, 1)) |
11 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ โ โค) โง ๐ด โ (โคโฅโ๐)) โ ๐) |
12 | | zprod.6 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ ๐ต โ โ) |
13 | 12 | ralrimiva 3141 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ) |
14 | 4 | nfel1 2921 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข
โฒ๐โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ |
15 | 8 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = ๐ โ (๐ต โ โ โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
16 | 14, 15 | rspc 3567 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ๐ด โ (โ๐ โ ๐ด ๐ต โ โ โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
17 | 13, 16 | syl5 34 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ด โ (๐ โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ)) |
18 | 11, 17 | mpan9 507 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((((๐ โง ๐ โ โค) โง ๐ด โ (โคโฅโ๐)) โง ๐ โ ๐ด) โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ) |
19 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ โค) โง ๐ด โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ โ โค) |
20 | | zprod.2 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ โ โค) |
21 | 20 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ โค) โง ๐ด โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ โ โค) |
22 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ โค) โง ๐ด โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ด โ (โคโฅโ๐)) |
23 | | zprod.4 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ โ ๐ด โ ๐) |
24 | | zprod.1 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ๐ =
(โคโฅโ๐) |
25 | 23, 24 | sseqtrdi 3992 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ด โ (โคโฅโ๐)) |
26 | 25 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ โค) โง ๐ด โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ด โ (โคโฅโ๐)) |
27 | 10, 18, 19, 21, 22, 26 | prodrb 15807 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ โค) โง ๐ด โ (โคโฅโ๐)) โ (seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
28 | 27 | biimpd 228 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง ๐ โ โค) โง ๐ด โ (โคโฅโ๐)) โ (seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
29 | 28 | expimpd 454 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โค) โ ((๐ด โ (โคโฅโ๐) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
30 | 1, 29 | syl5 34 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โค) โ ((๐ด โ (โคโฅโ๐) โง โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
31 | 30 | rexlimdva 3150 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (โ๐ โ โค (๐ด โ (โคโฅโ๐) โง โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
32 | | uzssz 12780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข
(โคโฅโ๐) โ โค |
33 | | zssre 12502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข โค
โ โ |
34 | 32, 33 | sstri 3951 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
(โคโฅโ๐) โ โ |
35 | 24, 34 | eqsstri 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ๐ โ
โ |
36 | 23, 35 | sstrdi 3954 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
37 | 36 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) โ ๐ด โ โ) |
38 | | ltso 11231 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข < Or
โ |
39 | | soss 5563 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ด โ โ โ ( <
Or โ โ < Or ๐ด)) |
40 | 37, 38, 39 | mpisyl 21 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) โ < Or ๐ด) |
41 | | fzfi 13869 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(1...๐) โ
Fin |
42 | | ovex 7386 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
(1...๐) โ
V |
43 | 42 | f1oen 8909 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โ (1...๐) โ ๐ด) |
44 | 43 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) โ (1...๐) โ ๐ด) |
45 | 44 | ensymd 8941 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) โ ๐ด โ (1...๐)) |
46 | | enfii 9129 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(((1...๐) โ Fin
โง ๐ด โ (1...๐)) โ ๐ด โ Fin) |
47 | 41, 45, 46 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) โ ๐ด โ Fin) |
48 | | fz1iso 14353 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (( <
Or ๐ด โง ๐ด โ Fin) โ โ๐ ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด)) |
49 | 40, 47, 48 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) โ โ๐ ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด)) |
50 | | simpll 765 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง (๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด))) โ ๐) |
51 | 50, 17 | mpan9 507 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((((๐ โง ๐ โ โ) โง (๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด))) โง ๐ โ ๐ด) โ โฆ๐ / ๐โฆ๐ต โ โ) |
52 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ = ๐ โ (๐โ๐) = (๐โ๐)) |
53 | 52 | csbeq1d 3857 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ = ๐ โ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต = โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต) |
54 | | csbcow 3868 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข
โฆ(๐โ๐) / ๐โฆโฆ๐ / ๐โฆ๐ต = โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต |
55 | 53, 54 | eqtr4di 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ = ๐ โ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต = โฆ(๐โ๐) / ๐โฆโฆ๐ / ๐โฆ๐ต) |
56 | 55 | cbvmptv 5216 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ โฆ
โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต) = (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆโฆ๐ / ๐โฆ๐ต) |
57 | | eqid 2736 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ โ โ โฆ
โฆ(๐โ๐) / ๐โฆโฆ๐ / ๐โฆ๐ต) = (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆโฆ๐ / ๐โฆ๐ต) |
58 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง (๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด))) โ ๐ โ โ) |
59 | 20 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง (๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด))) โ ๐ โ โค) |
60 | 25 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง (๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด))) โ ๐ด โ (โคโฅโ๐)) |
61 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง (๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด))) โ ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) |
62 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง (๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด))) โ ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด)) |
63 | 10, 51, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62 | prodmolem2a 15809 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง (๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด))) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ
โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐)) |
64 | 63 | expr 457 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) โ (๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ
โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐))) |
65 | 64 | exlimdv 1936 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) โ (โ๐ ๐ Isom < , < ((1...(โฏโ๐ด)), ๐ด) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ
โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐))) |
66 | 49, 65 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ
โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐)) |
67 | | breq2 5107 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ
โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐) โ (seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ
โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐))) |
68 | 66, 67 | syl5ibrcom 246 |
. . . . . . . . 9
โข (((๐ โง ๐ โ โ) โง ๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด) โ (๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
69 | 68 | expimpd 454 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ โ) โ ((๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐)) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
70 | 69 | exlimdv 1936 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง ๐ โ โ) โ (โ๐(๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐)) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
71 | 70 | rexlimdva 3150 |
. . . . . 6
โข (๐ โ (โ๐ โ โ โ๐(๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐)) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
72 | 31, 71 | jaod 857 |
. . . . 5
โข (๐ โ ((โ๐ โ โค (๐ด โ
(โคโฅโ๐) โง โ๐ โ (โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โจ โ๐ โ โ โ๐(๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐))) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
73 | 20 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โ ๐ โ โค) |
74 | 23 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โ ๐ด โ ๐) |
75 | | zprod.3 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ)) |
76 | 24 | eleq2i 2829 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ โ ๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) |
77 | | eluzelz 12769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ โ
(โคโฅโ๐) โ ๐ โ โค) |
78 | 77 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ โ โค) |
79 | | uztrn 12777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ง โ
(โคโฅโ๐) โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ง โ (โคโฅโ๐)) |
80 | 79 | ancoms 459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โ
(โคโฅโ๐) โง ๐ง โ (โคโฅโ๐)) โ ๐ง โ (โคโฅโ๐)) |
81 | 24 | eleq2i 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ โ ๐ โ ๐ โ (โคโฅโ๐)) |
82 | | zprod.5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1)) |
83 | 24, 32 | eqsstri 3976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ๐ โ
โค |
84 | 83 | sseli 3938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (๐ โ ๐ โ ๐ โ โค) |
85 | | iftrue 4490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข (๐ โ ๐ด โ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) = ๐ต) |
86 | 85 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) = ๐ต) |
87 | 86, 12 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ด) โ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) โ โ) |
88 | 87 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (๐ โ (๐ โ ๐ด โ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) โ โ)) |
89 | | iffalse 4493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข (ยฌ
๐ โ ๐ด โ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) = 1) |
90 | | ax-1cn 11105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข 1 โ
โ |
91 | 89, 90 | eqeltrdi 2846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (ยฌ
๐ โ ๐ด โ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) โ โ) |
92 | 88, 91 | pm2.61d1 180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (๐ โ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) โ โ) |
93 | | eqid 2736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1)) = (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1)) |
94 | 93 | fvmpt2 6956 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โ โค โง if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1) โ โ) โ ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐) = if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1)) |
95 | 84, 92, 94 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐) = if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1)) |
96 | 82, 95 | eqtr4d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (๐นโ๐) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐)) |
97 | 81, 96 | sylan2br 595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐)) |
98 | 97 | ralrimiva 3141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ โ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐นโ๐) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐)) |
99 | | nffvmpt1 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข
โฒ๐((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง) |
100 | 99 | nfeq2 2922 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
โฒ๐(๐นโ๐ง) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง) |
101 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ = ๐ง โ (๐นโ๐) = (๐นโ๐ง)) |
102 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ = ๐ง โ ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง)) |
103 | 101, 102 | eqeq12d 2752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ = ๐ง โ ((๐นโ๐) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐) โ (๐นโ๐ง) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง))) |
104 | 100, 103 | rspc 3567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ง โ
(โคโฅโ๐) โ (โ๐ โ (โคโฅโ๐)(๐นโ๐) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐) โ (๐นโ๐ง) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง))) |
105 | 98, 104 | mpan9 507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง ๐ง โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐ง) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง)) |
106 | 80, 105 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง (๐ โ (โคโฅโ๐) โง ๐ง โ (โคโฅโ๐))) โ (๐นโ๐ง) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง)) |
107 | 106 | anassrs 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โง ๐ง โ (โคโฅโ๐)) โ (๐นโ๐ง) = ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง)) |
108 | 78, 107 | seqfeq 13925 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ seq๐( ยท , ๐น) = seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1)))) |
109 | 108 | breq1d 5113 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ)) |
110 | 109 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ ((๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ) โ (๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ))) |
111 | 110 | exbidv 1924 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ (โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ) โ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ))) |
112 | 76, 111 | sylan2b 594 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ (โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ) โ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ))) |
113 | 112 | rexbidva 3171 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฆ) โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ))) |
114 | 75, 113 | mpbid 231 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ)) |
115 | 114 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ)) |
116 | | simpr 485 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) |
117 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = ๐ โ (โคโฅโ๐) =
(โคโฅโ๐)) |
118 | 117, 24 | eqtr4di 2794 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ โ (โคโฅโ๐) = ๐) |
119 | 118 | sseq2d 3974 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ (๐ด โ (โคโฅโ๐) โ ๐ด โ ๐)) |
120 | 118 | rexeqdv 3312 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ (โ๐ โ (โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โ โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ))) |
121 | | seqeq1 13901 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ = ๐ โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1)))) |
122 | 121 | breq1d 5113 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ = ๐ โ (seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
123 | 119, 120,
122 | 3anbi123d 1436 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ = ๐ โ ((๐ด โ (โคโฅโ๐) โง โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โ (๐ด โ ๐ โง โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ))) |
124 | 123 | rspcev 3579 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โ โค โง (๐ด โ ๐ โง โ๐ โ ๐ โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) โ โ๐ โ โค (๐ด โ (โคโฅโ๐) โง โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
125 | 73, 74, 115, 116, 124 | syl13anc 1372 |
. . . . . . 7
โข ((๐ โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โ โ๐ โ โค (๐ด โ (โคโฅโ๐) โง โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
126 | 125 | orcd 871 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โ (โ๐ โ โค (๐ด โ (โคโฅโ๐) โง โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โจ โ๐ โ โ โ๐(๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐)))) |
127 | 126 | ex 413 |
. . . . 5
โข (๐ โ (seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ โ (โ๐ โ โค (๐ด โ (โคโฅโ๐) โง โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โจ โ๐ โ โ โ๐(๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐))))) |
128 | 72, 127 | impbid 211 |
. . . 4
โข (๐ โ ((โ๐ โ โค (๐ด โ
(โคโฅโ๐) โง โ๐ โ (โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โจ โ๐ โ โ โ๐(๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐))) โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ)) |
129 | 95, 82 | eqtr4d 2779 |
. . . . . . . . 9
โข ((๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐) = (๐นโ๐)) |
130 | 81, 129 | sylan2br 595 |
. . . . . . . 8
โข ((๐ โง ๐ โ (โคโฅโ๐)) โ ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐) = (๐นโ๐)) |
131 | 130 | ralrimiva 3141 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ๐ โ (โคโฅโ๐)((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐) = (๐นโ๐)) |
132 | 99 | nfeq1 2920 |
. . . . . . . 8
โข
โฒ๐((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง) = (๐นโ๐ง) |
133 | 102, 101 | eqeq12d 2752 |
. . . . . . . 8
โข (๐ = ๐ง โ (((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐) = (๐นโ๐) โ ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง) = (๐นโ๐ง))) |
134 | 132, 133 | rspc 3567 |
. . . . . . 7
โข (๐ง โ
(โคโฅโ๐) โ (โ๐ โ (โคโฅโ๐)((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐) = (๐นโ๐) โ ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง) = (๐นโ๐ง))) |
135 | 131, 134 | mpan9 507 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ง โ (โคโฅโ๐)) โ ((๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))โ๐ง) = (๐นโ๐ง)) |
136 | 20, 135 | seqfeq 13925 |
. . . . 5
โข (๐ โ seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) = seq๐( ยท , ๐น)) |
137 | 136 | breq1d 5113 |
. . . 4
โข (๐ โ (seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ โ seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฅ)) |
138 | 128, 137 | bitrd 278 |
. . 3
โข (๐ โ ((โ๐ โ โค (๐ด โ
(โคโฅโ๐) โง โ๐ โ (โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โจ โ๐ โ โ โ๐(๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐))) โ seq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฅ)) |
139 | 138 | iotabidv 6477 |
. 2
โข (๐ โ (โฉ๐ฅ(โ๐ โ โค (๐ด โ (โคโฅโ๐) โง โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โจ โ๐ โ โ โ๐(๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐)))) = (โฉ๐ฅseq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฅ)) |
140 | | df-prod 15781 |
. 2
โข
โ๐ โ
๐ด ๐ต = (โฉ๐ฅ(โ๐ โ โค (๐ด โ (โคโฅโ๐) โง โ๐ โ
(โคโฅโ๐)โ๐ฆ(๐ฆ โ 0 โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฆ) โง seq๐( ยท , (๐ โ โค โฆ if(๐ โ ๐ด, ๐ต, 1))) โ ๐ฅ) โจ โ๐ โ โ โ๐(๐:(1...๐)โ1-1-ontoโ๐ด โง ๐ฅ = (seq1( ยท , (๐ โ โ โฆ โฆ(๐โ๐) / ๐โฆ๐ต))โ๐)))) |
141 | | df-fv 6501 |
. 2
โข ( โ
โseq๐( ยท ,
๐น)) = (โฉ๐ฅseq๐( ยท , ๐น) โ ๐ฅ) |
142 | 139, 140,
141 | 3eqtr4g 2801 |
1
โข (๐ โ โ๐ โ ๐ด ๐ต = ( โ โseq๐( ยท , ๐น))) |