MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  summolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem summolem2 14788
Description: Lemma for summo 14789. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summo.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
Assertion
Ref Expression
summolem2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦   𝐵,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem summolem2
Dummy variables 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6411 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑗))
21sseq2d 3829 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑗)))
3 seqeq1 13058 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → seq𝑚( + , 𝐹) = seq𝑗( + , 𝐹))
43breq1d 4853 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
52, 4anbi12d 625 . . 3 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
65cbvrexv 3355 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
7 simplrr 797 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)
8 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑗))
9 uzssz 11950 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑗) ⊆ ℤ
10 zssre 11673 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
119, 10sstri 3807 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑗) ⊆ ℝ
128, 11syl6ss 3810 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13 ltso 10408 . . . . . . . . . . . 12 < Or ℝ
14 soss 5251 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
1512, 13, 14mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → < Or 𝐴)
16 fzfi 13026 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑚) ∈ Fin
17 ovex 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑚) ∈ V
1817f1oen 8216 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴 → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
1918ad2antll 721 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
2019ensymd 8246 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
21 enfii 8419 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
2216, 20, 21sylancr 582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
23 fz1iso 13495 . . . . . . . . . . 11 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
2415, 22, 23syl2anc 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
25 summo.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
26 simplll 792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝜑)
27 summo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2826, 27sylan 576 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
29 summo.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
30 eqid 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑛) / 𝑘𝐵) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑛) / 𝑘𝐵)
31 simprll 798 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
32 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑗 ∈ ℤ)
33 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑗))
34 simprlr 799 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)
35 simprr 790 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
3625, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35summolem2a 14787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
3736expr 449 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
3837exlimdv 2029 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
3924, 38mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
40 climuni 14624 . . . . . . . . 9 ((seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
417, 39, 40syl2anc 580 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
4241anassrs 460 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
43 eqeq2 2810 . . . . . . 7 (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑦𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
4442, 43syl5ibrcom 239 . . . . . 6 (((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑦))
4544expimpd 446 . . . . 5 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
4645exlimdv 2029 . . . 4 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
4746rexlimdva 3212 . . 3 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
4847r19.29an 3258 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
496, 48sylan2b 588 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wex 1875  wcel 2157  wrex 3090  csb 3728  wss 3769  ifcif 4277   class class class wbr 4843  cmpt 4922   Or wor 5232  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101   Isom wiso 6102  (class class class)co 6878  cen 8192  Fincfn 8195  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   < clt 10363  cn 11312  cz 11666  cuz 11930  ...cfz 12580  seqcseq 13055  chash 13370  cli 14556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560
This theorem is referenced by:  summo  14789
  Copyright terms: Public domain W3C validator