MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  summolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem summolem2 15686
Description: Lemma for summo 15687. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summo.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
Assertion
Ref Expression
summolem2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦   𝐵,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem summolem2
Dummy variables 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑗))
21sseq2d 4010 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑗)))
3 seqeq1 13993 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → seq𝑚( + , 𝐹) = seq𝑗( + , 𝐹))
43breq1d 5152 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
52, 4anbi12d 630 . . 3 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
65cbvrexvw 3230 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
7 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)
8 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑗))
9 uzssz 12865 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑗) ⊆ ℤ
10 zssre 12587 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
119, 10sstri 3987 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑗) ⊆ ℝ
128, 11sstrdi 3990 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13 ltso 11316 . . . . . . . . . . . 12 < Or ℝ
14 soss 5604 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
1512, 13, 14mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → < Or 𝐴)
16 fzfi 13961 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑚) ∈ Fin
17 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑚) ∈ V
1817f1oen 8985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴 → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
1918ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
2019ensymd 9017 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
21 enfii 9205 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
2216, 20, 21sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
23 fz1iso 14447 . . . . . . . . . . 11 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
2415, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
25 summo.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
26 summo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2726ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 summo.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
29 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑛) / 𝑘𝐵) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑛) / 𝑘𝐵)
30 simprll 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
31 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑗 ∈ ℤ)
32 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑗))
33 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)
34 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
3525, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34summolem2a 15685 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
3635expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
3736exlimdv 1929 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
3824, 37mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
39 climuni 15520 . . . . . . . . 9 ((seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
407, 38, 39syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
4140anassrs 467 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
42 eqeq2 2739 . . . . . . 7 (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑦𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
4341, 42syl5ibrcom 246 . . . . . 6 (((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑦))
4443expimpd 453 . . . . 5 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
4544exlimdv 1929 . . . 4 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
4645rexlimdva 3150 . . 3 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
4746r19.29an 3153 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
486, 47sylan2b 593 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wrex 3065  csb 3889  wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cmpt 5225   Or wor 5583  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7414  cen 8952  Fincfn 8955  cc 11128  cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270  cn 12234  cz 12580  cuz 12844  ...cfz 13508  seqcseq 13990  chash 14313  cli 15452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456
This theorem is referenced by:  summo  15687
  Copyright terms: Public domain W3C validator