Theorem summolem2 15651

Description: Lemma for summo 15652. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
summo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summo.3	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)

Assertion

Ref	Expression
summolem2	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦   𝐵,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem summolem2

Dummy variables 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑗))
2	1	sseq2d 3968	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗)))
3		seqeq1 13939	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → seq𝑚( + , 𝐹) = seq𝑗( + , 𝐹))
4	3	breq1d 5110	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
5	2, 4	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
6	5	cbvrexvw 3217	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
7		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)
8		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
9		uzssz 12784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℤ
10		zssre 12507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11	9, 10	sstri 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℝ
12	8, 11	sstrdi 3948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		ltso 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ < Or ℝ
14		soss 5560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
15	12, 13, 14	mpisyl 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → < Or 𝐴)
16		fzfi 13907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑚) ∈ Fin
17		ovex 7401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...𝑚) ∈ V
18	17	f1oen 8921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
19	18	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
20	19	ensymd 8954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
21		enfii 9122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
22	16, 20, 21	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
23		fz1iso 14397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
24	15, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
25		summo.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
26		summo.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	26	ad5ant15 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		summo.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)
29		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑔‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑔‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)
30		simprll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
31		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑗 ∈ ℤ)
32		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
33		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)
34		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
35	25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34	summolem2a 15650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
36	35	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
37	36	exlimdv 1935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
38	24, 37	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
39		climuni 15487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
40	7, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
41	40	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
42		eqeq2 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
43	41, 42	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) → (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑦))
44	43	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
45	44	exlimdv 1935	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
46	45	rexlimdva 3139	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
47	46	r19.29an 3142	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
48	6, 47	sylan2b 595	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3903  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   Or wor 5539  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500   Isom wiso 6501  (class class class)co 7368   ≈ cen 8892  Fincfn 8895  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178  ℕcn 12157  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  seqcseq 13936  ♯chash 14265   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423

This theorem is referenced by:  summo  15652