Theorem summolem2 15887

Description: Lemma for summo 15888. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
summo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summo.3	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)

Assertion

Ref	Expression
summolem2	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦   𝐵,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem summolem2

Dummy variables 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑗))
2	1	sseq2d 3940	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗)))
3		seqeq1 14150	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → seq𝑚( + , 𝐹) = seq𝑗( + , 𝐹))
4	3	breq1d 5112	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
5	2, 4	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
6	5	cbvrexvw 3241	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
7		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)
8		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
9		uzssz 12989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℤ
10		zssre 12703	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11	9, 10	sstri 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℝ
12	8, 11	sstrdi 3920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		ltso 11393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ < Or ℝ
14		soss 5578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
15	12, 13, 14	mpisyl 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → < Or 𝐴)
16		fzfi 14118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑚) ∈ Fin
17		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...𝑚) ∈ V
18	17	f1oen 9002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
19	18	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
20	19	ensymd 9035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
21		enfii 9204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
22	16, 20, 21	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
23		fz1iso 14610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
24	15, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
25		summo.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
26		summo.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	26	ad5ant15 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		summo.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)
29		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑔‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑔‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)
30		simprll 791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
31		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑗 ∈ ℤ)
32		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
33		simprlr 792	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)
34		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
35	25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34	summolem2a 15886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
36	35	expr 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
37	36	exlimdv 1965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
38	24, 37	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
39		climuni 15724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
40	7, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
41	40	anassrs 473	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
42		eqeq2 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
43	41, 42	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) → (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑦))
44	43	expimpd 459	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
45	44	exlimdv 1965	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
46	45	rexlimdva 3163	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
47	46	r19.29an 3166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
48	6, 47	sylan2b 606	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  ⦋csb 3846   ⊆ wss 3895  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   Or wor 5557  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538   Isom wiso 6539  (class class class)co 7420   ≈ cen 8973  Fincfn 8976  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   < clt 11346  ℕcn 12338  ℤcz 12696  ℤ_≥cuz 12968  ...cfz 13642  seqcseq 14147  ♯chash 14477   ⇝ cli 15656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660

This theorem is used by:  summo  15888