Theorem summolem2 15757

Description: Lemma for summo 15758. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
summo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summo.3	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)

Assertion

Ref	Expression
summolem2	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦   𝐵,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem summolem2

Dummy variables 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6871	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑗))
2	1	sseq2d 3971	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗)))
3		seqeq1 14031	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → seq𝑚( + , 𝐹) = seq𝑗( + , 𝐹))
4	3	breq1d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
5	2, 4	anbi12d 643	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
6	5	cbvrexvw 3244	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
7		simplrr 789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)
8		simplrl 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
9		uzssz 12874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℤ
10		zssre 12589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11	9, 10	sstri 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℝ
12	8, 11	sstrdi 3951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		ltso 11278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ < Or ℝ
14		soss 5580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
15	12, 13, 14	mpisyl 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → < Or 𝐴)
16		fzfi 13999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑚) ∈ Fin
17		ovex 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...𝑚) ∈ V
18	17	f1oen 8957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
19	18	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
20	19	ensymd 8990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
21		enfii 9158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
22	16, 20, 21	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
23		fz1iso 14489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
24	15, 22, 23	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
25		summo.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
26		summo.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	26	ad5ant15 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		summo.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)
29		eqid 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑔‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑔‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)
30		simprll 790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
31		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑗 ∈ ℤ)
32		simplrl 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
33		simprlr 791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)
34		simprr 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
35	25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34	summolem2a 15756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
36	35	expr 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
37	36	exlimdv 1956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
38	24, 37	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
39		climuni 15593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
40	7, 38, 39	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
41	40	anassrs 472	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
42		eqeq2 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
43	41, 42	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) → (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑦))
44	43	expimpd 458	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
45	44	exlimdv 1956	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
46	45	rexlimdva 3166	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
47	46	r19.29an 3169	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
48	6, 47	sylan2b 605	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  ⦋csb 3855   ⊆ wss 3907  ifcif 4483   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186   Or wor 5559  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525   Isom wiso 6526  (class class class)co 7400   ≈ cen 8928  Fincfn 8931  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   < clt 11231  ℕcn 12224  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13526  seqcseq 14028  ♯chash 14357   ⇝ cli 15525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529

This theorem is referenced by:  summo  15758