Theorem summolem2 15667

Description: Lemma for summo 15668. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
summo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
summo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summo.3	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)

Assertion

Ref	Expression
summolem2	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦   𝐵,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem summolem2

Dummy variables 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑗))
2	1	sseq2d 3955	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗)))
3		seqeq1 13955	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → seq𝑚( + , 𝐹) = seq𝑗( + , 𝐹))
4	3	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
5	2, 4	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
6	5	cbvrexvw 3217	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
7		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)
8		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
9		uzssz 12798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℤ
10		zssre 12520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
11	9, 10	sstri 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘𝑗) ⊆ ℝ
12	8, 11	sstrdi 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		ltso 11215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ < Or ℝ
14		soss 5550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
15	12, 13, 14	mpisyl 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → < Or 𝐴)
16		fzfi 13923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑚) ∈ Fin
17		ovex 7391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...𝑚) ∈ V
18	17	f1oen 8910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
19	18	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
20	19	ensymd 8943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
21		enfii 9111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
22	16, 20, 21	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
23		fz1iso 14413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
24	15, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
25		summo.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 0))
26		summo.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	26	ad5ant15 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28		summo.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)
29		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑔‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑔‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵)
30		simprll 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
31		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑗 ∈ ℤ)
32		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗))
33		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)
34		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
35	25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34	summolem2a 15666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
36	35	expr 456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
37	36	exlimdv 1935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
38	24, 37	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
39		climuni 15503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
40	7, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
41	40	anassrs 467	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
42		eqeq2 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
43	41, 42	syl5ibrcom 247	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) → (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑦))
44	43	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
45	44	exlimdv 1935	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
46	45	rexlimdva 3139	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
47	46	r19.29an 3142	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
48	6, 47	sylan2b 595	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ⦋csb 3838   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   Or wor 5529  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490   Isom wiso 6491  (class class class)co 7358   ≈ cen 8881  Fincfn 8884  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   < clt 11168  ℕcn 12163  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ...cfz 13450  seqcseq 13952  ♯chash 14281   ⇝ cli 15435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439

This theorem is referenced by:  summo  15668