Theorem odhash2 19669

Description: If an element has nonzero order, it generates a subgroup with size equal to the order. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odhash.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
odhash2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂‘𝐴))

Proof of Theorem odhash2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odhash.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
3		odhash.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odhash.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
5	1, 2, 3, 4	odf1o2 19667	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
6		ovex 7449	. . . 4 ⊢ (0..^(𝑂‘𝐴)) ∈ V
7	6	f1oen 8971	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^(𝑂‘𝐴)) ↦ (𝑥(.g‘𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂‘𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → (0..^(𝑂‘𝐴)) ≈ (𝐾‘{𝐴}))
8		hasheni 14398	. . 3 ⊢ ((0..^(𝑂‘𝐴)) ≈ (𝐾‘{𝐴}) → (♯‘(0..^(𝑂‘𝐴))) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
9	5, 7, 8	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(0..^(𝑂‘𝐴))) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
10	1, 3	odcl 19630	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
11	10	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
12		hashfzo0 14481	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑂‘𝐴))
13	11, 12	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(0..^(𝑂‘𝐴))) = (𝑂‘𝐴))
14	9, 13	eqtr3d 2802	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = (𝑂‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ≈ cen 8942  0cc0 11111  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515  ..^cfzo 13695  ♯chash 14380  Basecbs 17287  mrClscmrc 17653  Grpcgrp 19024  ._gcmg 19157  SubGrpcsubg 19210  odcod 19618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-hash 14381  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-0g 17512  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-od 19622

This theorem is used by:  odhash3  19670  proot1mul  43954