MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmolem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodmolem3 15883
Description: Lemma for prodmo 15886. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
prodmo.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
prodmo.3 ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
prodmolem3.4 ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐พโ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
prodmolem3.5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•))
prodmolem3.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
prodmolem3.7 (๐œ‘ โ†’ ๐พ:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
Assertion
Ref Expression
prodmolem3 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , ๐ป)โ€˜๐‘))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐น   ๐œ‘,๐‘˜   ๐ต,๐‘—   ๐‘“,๐‘—,๐‘˜   ๐‘—,๐บ   ๐‘—,๐‘˜,๐œ‘   ๐‘—,๐พ   ๐‘—,๐‘€
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘“,๐‘—)   ๐ต(๐‘“,๐‘˜)   ๐น(๐‘“,๐‘—)   ๐บ(๐‘“,๐‘˜)   ๐ป(๐‘“,๐‘—,๐‘˜)   ๐พ(๐‘“,๐‘˜)   ๐‘€(๐‘“,๐‘˜)   ๐‘(๐‘“,๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem prodmolem3
Dummy variables ๐‘– ๐‘š ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 11196 . . . 4 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
21adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3 mulcom 11198 . . . 4 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘—) = (๐‘— ยท ๐‘š))
43adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘—) = (๐‘— ยท ๐‘š))
5 mulass 11200 . . . 4 ((๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘—) ยท ๐‘ง) = (๐‘š ยท (๐‘— ยท ๐‘ง)))
65adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘š โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘—) ยท ๐‘ง) = (๐‘š ยท (๐‘— ยท ๐‘ง)))
7 prodmolem3.5 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•))
87simpld 494 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
9 nnuz 12869 . . . 4 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
108, 9eleqtrdi 2837 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
11 ssidd 4000 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โІ โ„‚)
12 prodmolem3.6 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
13 f1ocnv 6839 . . . . . 6 (๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ โ—ก๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โ—ก๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€))
15 prodmolem3.7 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐พ:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
16 f1oco 6850 . . . . 5 ((โ—ก๐‘“:๐ดโ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€) โˆง ๐พ:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โ†’ (โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ):(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€))
1714, 15, 16syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ):(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€))
18 ovex 7438 . . . . . . . . . 10 (1...๐‘) โˆˆ V
1918f1oen 8971 . . . . . . . . 9 ((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ):(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€) โ†’ (1...๐‘) โ‰ˆ (1...๐‘€))
2017, 19syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โ‰ˆ (1...๐‘€))
21 fzfi 13943 . . . . . . . . 9 (1...๐‘) โˆˆ Fin
22 fzfi 13943 . . . . . . . . 9 (1...๐‘€) โˆˆ Fin
23 hashen 14312 . . . . . . . . 9 (((1...๐‘) โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘€) โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) โ†” (1...๐‘) โ‰ˆ (1...๐‘€)))
2421, 22, 23mp2an 689 . . . . . . . 8 ((โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) โ†” (1...๐‘) โ‰ˆ (1...๐‘€))
2520, 24sylibr 233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)))
267simprd 495 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2726nnnn0d 12536 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
28 hashfz1 14311 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘)) = ๐‘)
308nnnn0d 12536 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
31 hashfz1 14311 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) = ๐‘€)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(1...๐‘€)) = ๐‘€)
3325, 29, 323eqtr3rd 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ๐‘)
3433oveq2d 7421 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘€) = (1...๐‘))
3534f1oeq2d 6823 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ):(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€) โ†” (โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ):(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€)))
3617, 35mpbird 257 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ):(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€))
37 prodmo.3 . . . . 5 ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
38 fveq2 6885 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘—) = (๐‘“โ€˜๐‘š))
3938csbeq1d 3892 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘š โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘š) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
40 elfznn 13536 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
4140adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
42 f1of 6827 . . . . . . . 8 (๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ ๐‘“:(1...๐‘€)โŸถ๐ด)
4312, 42syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘“:(1...๐‘€)โŸถ๐ด)
4443ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘š) โˆˆ ๐ด)
45 prodmo.2 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4645ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
4746adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚)
48 nfcsb1v 3913 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘š) / ๐‘˜โฆŒ๐ต
4948nfel1 2913 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘š) / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
50 csbeq1a 3902 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = (๐‘“โ€˜๐‘š) โ†’ ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘š) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
5150eleq1d 2812 . . . . . . 7 (๐‘˜ = (๐‘“โ€˜๐‘š) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘š) / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
5249, 51rspc 3594 . . . . . 6 ((๐‘“โ€˜๐‘š) โˆˆ ๐ด โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘š) / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
5344, 47, 52sylc 65 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘š) / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
5437, 39, 41, 53fvmptd3 7015 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘š) = โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘š) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
5554, 53eqeltrd 2827 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘š) โˆˆ โ„‚)
5634f1oeq2d 6823 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐พ:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†” ๐พ:(1...๐‘)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด))
5715, 56mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐พ:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
58 f1of 6827 . . . . . . . . . 10 (๐พ:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ ๐พ:(1...๐‘€)โŸถ๐ด)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ:(1...๐‘€)โŸถ๐ด)
60 fvco3 6984 . . . . . . . . 9 ((๐พ:(1...๐‘€)โŸถ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–) = (โ—ก๐‘“โ€˜(๐พโ€˜๐‘–)))
6159, 60sylan 579 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–) = (โ—ก๐‘“โ€˜(๐พโ€˜๐‘–)))
6261fveq2d 6889 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘“โ€˜((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–)) = (๐‘“โ€˜(โ—ก๐‘“โ€˜(๐พโ€˜๐‘–))))
6312adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
6459ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ด)
65 f1ocnvfv2 7271 . . . . . . . 8 ((๐‘“:(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง (๐พโ€˜๐‘–) โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐‘“โ€˜(โ—ก๐‘“โ€˜(๐พโ€˜๐‘–))) = (๐พโ€˜๐‘–))
6663, 64, 65syl2anc 583 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘“โ€˜(โ—ก๐‘“โ€˜(๐พโ€˜๐‘–))) = (๐พโ€˜๐‘–))
6762, 66eqtrd 2766 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐‘“โ€˜((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–)) = (๐พโ€˜๐‘–))
6867csbeq1d 3892 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–)) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐พโ€˜๐‘–) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
6968fveq2d 6889 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–)) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = ( I โ€˜โฆ‹(๐พโ€˜๐‘–) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
70 f1of 6827 . . . . . . 7 ((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ):(1...๐‘€)โ€“1-1-ontoโ†’(1...๐‘€) โ†’ (โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ):(1...๐‘€)โŸถ(1...๐‘€))
7136, 70syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ):(1...๐‘€)โŸถ(1...๐‘€))
7271ffvelcdmda 7080 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–) โˆˆ (1...๐‘€))
73 elfznn 13536 . . . . 5 (((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–) โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„•)
74 fveq2 6885 . . . . . . 7 (๐‘— = ((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–) โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘—) = (๐‘“โ€˜((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–)))
7574csbeq1d 3892 . . . . . 6 (๐‘— = ((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–) โ†’ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐‘“โ€˜((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–)) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
7675, 37fvmpti 6991 . . . . 5 (((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„• โ†’ (๐บโ€˜((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–)) = ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–)) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
7772, 73, 763syl 18 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐บโ€˜((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–)) = ( I โ€˜โฆ‹(๐‘“โ€˜((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–)) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
78 elfznn 13536 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
7978adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•)
80 fveq2 6885 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐พโ€˜๐‘—) = (๐พโ€˜๐‘–))
8180csbeq1d 3892 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘– โ†’ โฆ‹(๐พโ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต = โฆ‹(๐พโ€˜๐‘–) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
82 prodmolem3.4 . . . . . 6 ๐ป = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐พโ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
8381, 82fvmpti 6991 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ โ„• โ†’ (๐ปโ€˜๐‘–) = ( I โ€˜โฆ‹(๐พโ€˜๐‘–) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
8479, 83syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘–) = ( I โ€˜โฆ‹(๐พโ€˜๐‘–) / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
8569, 77, 843eqtr4rd 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘–) = (๐บโ€˜((โ—ก๐‘“ โˆ˜ ๐พ)โ€˜๐‘–)))
862, 4, 6, 10, 11, 36, 55, 85seqf1o 14014 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐ป)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€))
8733fveq2d 6889 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐ป)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , ๐ป)โ€˜๐‘))
8886, 87eqtr3d 2768 1 (๐œ‘ โ†’ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘€) = (seq1( ยท , ๐ป)โ€˜๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โฆ‹csb 3888  ifcif 4523   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224   I cid 5566  โ—กccnv 5668   โˆ˜ ccom 5673  โŸถwf 6533  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โ‰ˆ cen 8938  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  โ™ฏchash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  prodmolem2a  15884  prodmo  15886
  Copyright terms: Public domain W3C validator