Theorem hashgcdeq 16791

Description: Number of initial positive integers with specified divisors. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashgcdeq	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem hashgcdeq

Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2738	. 2 ⊢ ((ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
2		eqeq2 2738	. 2 ⊢ (0 = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0 ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
3		nndivdvds 16265	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
4	3	biimpa 475	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
5		dfphi2 16776	. . . 4 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
7		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}
8		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}
9		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁))
10	7, 8, 9	hashgcdlem 16790	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
11	10	3expa 1115	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
12		ovex 7457	. . . . . 6 ⊢ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∈ V
13	12	rabex 5339	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ∈ V
14	13	f1oen 9004	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} → {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ≈ {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
15		hasheni 14365	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ≈ {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}))
16	11, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}))
17	6, 16	eqtr2d 2767	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)))
18		simprr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
19		elfzoelz 13686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
20	19	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
21		nnz 12631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
22	21	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23		gcddvds 16503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
24	20, 22, 23	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
25	24	simprd 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
26	18, 25	eqbrtrrd 5177	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁 ∥ 𝑀)
27	26	expr 455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁 → 𝑁 ∥ 𝑀))
28	27	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → (¬ 𝑁 ∥ 𝑀 → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
29	28	impancom 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
30	29	ralrimiv 3135	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
31		rabeq0 4389	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
32	30, 31	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅)
33	32	fveq2d 6905	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (♯‘∅))
34		hash0 14384	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0)
36	1, 2, 17, 35	ifbothda 4571	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  {crab 3419  ∅c0 4325  ifcif 4533   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236  –1-1-onto→wf1o 6553  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ≈ cen 8971  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163   / cdiv 11921  ℕcn 12264  ℤcz 12610  ..^cfzo 13681  ♯chash 14347   ∥ cdvds 16256   gcd cgcd 16494  ϕcphi 16766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-phi 16768

This theorem is referenced by:  phisum  16792