Theorem hashgcdeq 16884

Description: Number of initial positive integers with specified divisors. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashgcdeq	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem hashgcdeq

Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2772	. 2 ⊢ ((ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
2		eqeq2 2772	. 2 ⊢ (0 = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0 ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
3		nndivdvds 16354	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
4	3	biimpa 482	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
5		dfphi2 16868	. . . 4 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁))
10	7, 8, 9	hashgcdlem 16882	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
11	10	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
12		ovex 7447	. . . . . 6 ⊢ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∈ V
13	12	rabex 5303	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ∈ V
14	13	f1oen 8981	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} → {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ≈ {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
15		hasheni 14415	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ≈ {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}))
16	11, 14, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}))
17	6, 16	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)))
18		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
19		elfzoelz 13717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
20	19	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
21		nnz 12639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23		gcddvds 16596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
24	20, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
25	24	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
26	18, 25	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁 ∥ 𝑀)
27	26	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁 → 𝑁 ∥ 𝑀))
28	27	con3d 153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → (¬ 𝑁 ∥ 𝑀 → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
29	28	impancom 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
30	29	ralrimiv 3153	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
31		rabeq0 4338	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
32	30, 31	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅)
33	32	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (♯‘∅))
34		hash0 14434	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0)
36	1, 2, 17, 35	ifbothda 4521	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {crab 3412  ∅c0 4279  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  –1-1-onto→wf1o 6532  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ≈ cen 8952  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132   / cdiv 11898  ℕcn 12260  ℤcz 12618  ..^cfzo 13712  ♯chash 14397   ∥ cdvds 16345   gcd cgcd 16587  ϕcphi 16858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-dvds 16346  df-gcd 16588  df-phi 16860

This theorem is used by:  phisum  16885