Theorem hashgcdeq 16490

Description: Number of initial positive integers with specified divisors. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashgcdeq	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Proof of Theorem hashgcdeq

Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 2750	. 2 ⊢ ((ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
2		eqeq2 2750	. 2 ⊢ (0 = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0) → ((♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0 ↔ (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0)))
3		nndivdvds 15972	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ))
4	3	biimpa 477	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ)
5		dfphi2 16475	. . . 4 ⊢ ((𝑀 / 𝑁) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)) = (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}))
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)) = (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁))
10	7, 8, 9	hashgcdlem 16489	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
11	10	3expa 1117	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
12		ovex 7308	. . . . . 6 ⊢ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∈ V
13	12	rabex 5256	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ∈ V
14	13	f1oen 8761	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ↦ (𝑧 · 𝑁)):{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}–1-1-onto→{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} → {𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ≈ {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁})
15		hasheni 14062	. . . 4 ⊢ ({𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1} ≈ {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}))
16	11, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑀 / 𝑁)) ∣ (𝑦 gcd (𝑀 / 𝑁)) = 1}) = (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}))
17	6, 16	eqtr2d 2779	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)))
18		simprr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
19		elfzoelz 13387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
20	19	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑥 ∈ ℤ)
21		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
22	21	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
23		gcddvds 16210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
24	20, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑥 ∧ (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
25	24	simprd 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → (𝑥 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
26	18, 25	eqbrtrrd 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)) → 𝑁 ∥ 𝑀)
27	26	expr 457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁 → 𝑁 ∥ 𝑀))
28	27	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) → (¬ 𝑁 ∥ 𝑀 → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
29	28	impancom 452	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (𝑥 ∈ (0..^𝑀) → ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁))
30	29	ralrimiv 3102	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
31		rabeq0 4318	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (0..^𝑀) ¬ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁)
32	30, 31	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → {𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁} = ∅)
33	32	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = (♯‘∅))
34		hash0 14082	. . 3 ⊢ (♯‘∅) = 0
35	33, 34	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑁 ∥ 𝑀) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = 0)
36	1, 2, 17, 35	ifbothda 4497	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑥 gcd 𝑀) = 𝑁}) = if(𝑁 ∥ 𝑀, (ϕ‘(𝑀 / 𝑁)), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  ∅c0 4256  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ≈ cen 8730  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044   ∥ cdvds 15963   gcd cgcd 16201  ϕcphi 16465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-phi 16467

This theorem is referenced by:  phisum  16491