MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgcdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgcdeq 16731
Description: Number of initial positive integers with specified divisors. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashgcdeq ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘

Proof of Theorem hashgcdeq
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2738 . 2 ((ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0)))
2 eqeq2 2738 . 2 (0 = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = 0 โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0)))
3 nndivdvds 16213 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•))
43biimpa 476 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•)
5 dfphi2 16716 . . . 4 ((๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}))
64, 5syl 17 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}))
7 eqid 2726 . . . . . 6 {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}
8 eqid 2726 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} = {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}
9 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)) = (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘))
107, 8, 9hashgcdlem 16730 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)):{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘})
11103expa 1115 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)):{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘})
12 ovex 7438 . . . . . 6 (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆˆ V
1312rabex 5325 . . . . 5 {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โˆˆ V
1413f1oen 8971 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)):{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘})
15 hasheni 14313 . . . 4 ({๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}))
1611, 14, 153syl 18 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}))
176, 16eqtr2d 2767 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)))
18 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)
19 elfzoelz 13638 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
2019ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
21 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
2221ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
23 gcddvds 16451 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
2420, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
2524simprd 495 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€)
2618, 25eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€)
2726expr 456 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
2827con3d 152 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€)) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘))
2928impancom 451 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘))
3029ralrimiv 3139 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)
31 rabeq0 4379 . . . . 5 ({๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} = โˆ… โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)
3230, 31sylibr 233 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} = โˆ…)
3332fveq2d 6889 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
34 hash0 14332 . . 3 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
3533, 34eqtrdi 2782 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = 0)
361, 2, 17, 35ifbothda 4561 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  {crab 3426  โˆ…c0 4317  ifcif 4523   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โ‰ˆ cen 8938  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  ..^cfzo 13633  โ™ฏchash 14295   โˆฅ cdvds 16204   gcd cgcd 16442  ฯ•cphi 16706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-phi 16708
This theorem is referenced by:  phisum  16732
  Copyright terms: Public domain W3C validator