MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgcdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgcdeq 16661
Description: Number of initial positive integers with specified divisors. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashgcdeq ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘

Proof of Theorem hashgcdeq
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2748 . 2 ((ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0)))
2 eqeq2 2748 . 2 (0 = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = 0 โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0)))
3 nndivdvds 16145 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•))
43biimpa 477 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•)
5 dfphi2 16646 . . . 4 ((๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}))
64, 5syl 17 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}))
7 eqid 2736 . . . . . 6 {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}
8 eqid 2736 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} = {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}
9 eqid 2736 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)) = (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘))
107, 8, 9hashgcdlem 16660 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)):{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘})
11103expa 1118 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)):{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘})
12 ovex 7390 . . . . . 6 (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆˆ V
1312rabex 5289 . . . . 5 {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โˆˆ V
1413f1oen 8913 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)):{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘})
15 hasheni 14248 . . . 4 ({๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}))
1611, 14, 153syl 18 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}))
176, 16eqtr2d 2777 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)))
18 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)
19 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
2019ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
21 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
23 gcddvds 16383 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
2524simprd 496 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€)
2618, 25eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€)
2726expr 457 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
2827con3d 152 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€)) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘))
2928impancom 452 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘))
3029ralrimiv 3142 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)
31 rabeq0 4344 . . . . 5 ({๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} = โˆ… โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)
3230, 31sylibr 233 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} = โˆ…)
3332fveq2d 6846 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
34 hash0 14267 . . 3 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
3533, 34eqtrdi 2792 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = 0)
361, 2, 17, 35ifbothda 4524 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3064  {crab 3407  โˆ…c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105   โ†ฆ cmpt 5188  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6495  โ€˜cfv 6496  (class class class)co 7357   โ‰ˆ cen 8880  0cc0 11051  1c1 11052   ยท cmul 11056   / cdiv 11812  โ„•cn 12153  โ„คcz 12499  ..^cfzo 13567  โ™ฏchash 14230   โˆฅ cdvds 16136   gcd cgcd 16374  ฯ•cphi 16636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-phi 16638
This theorem is referenced by:  phisum  16662
  Copyright terms: Public domain W3C validator