MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgcdeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgcdeq 16757
Description: Number of initial positive integers with specified divisors. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashgcdeq ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘€   ๐‘ฅ,๐‘

Proof of Theorem hashgcdeq
Dummy variables ๐‘ง ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2737 . 2 ((ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0)))
2 eqeq2 2737 . 2 (0 = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0) โ†’ ((โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = 0 โ†” (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0)))
3 nndivdvds 16239 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘€ โ†” (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•))
43biimpa 475 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„•)
5 dfphi2 16742 . . . 4 ((๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}))
64, 5syl 17 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}))
7 eqid 2725 . . . . . 6 {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} = {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}
8 eqid 2725 . . . . . 6 {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} = {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}
9 eqid 2725 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)) = (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘))
107, 8, 9hashgcdlem 16756 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)):{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘})
11103expa 1115 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)):{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘})
12 ovex 7449 . . . . . 6 (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆˆ V
1312rabex 5329 . . . . 5 {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โˆˆ V
1413f1oen 8992 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ†ฆ (๐‘ง ยท ๐‘)):{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘})
15 hasheni 14339 . . . 4 ({๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1} โ‰ˆ {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}))
1611, 14, 153syl 18 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฆ โˆˆ (0..^(๐‘€ / ๐‘)) โˆฃ (๐‘ฆ gcd (๐‘€ / ๐‘)) = 1}) = (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}))
176, 16eqtr2d 2766 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)))
18 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)
19 elfzoelz 13664 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
2019ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
21 nnz 12609 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
2221ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
23 gcddvds 16477 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
2420, 22, 23syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ((๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€))
2524simprd 494 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) โˆฅ ๐‘€)
2618, 25eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆง (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€)
2726expr 455 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€)) โ†’ ((๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘ โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘€))
2827con3d 152 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€)) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€ โ†’ ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘))
2928impancom 450 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โ†’ ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘))
3029ralrimiv 3135 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)
31 rabeq0 4380 . . . . 5 ({๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} = โˆ… โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) ยฌ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘)
3230, 31sylibr 233 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘} = โˆ…)
3332fveq2d 6896 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = (โ™ฏโ€˜โˆ…))
34 hash0 14358 . . 3 (โ™ฏโ€˜โˆ…) = 0
3533, 34eqtrdi 2781 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘€) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = 0)
361, 2, 17, 35ifbothda 4562 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ (0..^๐‘€) โˆฃ (๐‘ฅ gcd ๐‘€) = ๐‘}) = if(๐‘ โˆฅ ๐‘€, (ฯ•โ€˜(๐‘€ / ๐‘)), 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  {crab 3419  โˆ…c0 4318  ifcif 4524   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โ‰ˆ cen 8959  0cc0 11138  1c1 11139   ยท cmul 11143   / cdiv 11901  โ„•cn 12242  โ„คcz 12588  ..^cfzo 13659  โ™ฏchash 14321   โˆฅ cdvds 16230   gcd cgcd 16468  ฯ•cphi 16732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-phi 16734
This theorem is referenced by:  phisum  16758
  Copyright terms: Public domain W3C validator