Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk1lem2 28149
 Description: The set of double loops of length 𝑁 on vertex 𝑋 and the set of closed walks of length less by 2 on 𝑋 combined with the neighbors of 𝑋 are equinumerous. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jul-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 31-Jul-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
Assertion
Ref Expression
numclwwlk1lem2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) ≈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2
Dummy variables 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 extwwlkfab.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 extwwlkfab.c . . 3 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3 extwwlkfab.f . . 3 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4 oveq1 7146 . . . . 5 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑢 prefix (𝑁 − 2)))
5 fveq1 6648 . . . . 5 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))
64, 5opeq12d 4776 . . . 4 (𝑥 = 𝑢 → ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
76cbvmptv 5136 . . 3 (𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩) = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
81, 2, 3, 7numclwwlk1lem2f1o 28148 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩):(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
9 ovex 7172 . . 3 (𝑋𝐶𝑁) ∈ V
109f1oen 8517 . 2 ((𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩):(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑋𝐶𝑁) ≈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
118, 10syl 17 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) ≈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  {crab 3113  ⟨cop 4534   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   × cxp 5521  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141   ≈ cen 8493  1c1 10531   − cmin 10863  2c2 11684  3c3 11685  ℤ≥cuz 12235   prefix cpfx 14027  Vtxcvtx 26793  USGraphcusgr 26946   NeighbVtx cnbgr 27126  ClWWalksNOncclwwlknon 27876 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-s2 14205  df-edg 26845  df-upgr 26879  df-umgr 26880  df-usgr 26948  df-nbgr 27127  df-wwlks 27620  df-wwlksn 27621  df-clwwlk 27771  df-clwwlkn 27814  df-clwwlknon 27877 This theorem is referenced by:  numclwwlk1  28150
 Copyright terms: Public domain W3C validator