Theorem numclwwlk1lem2 30389

Description: The set of double loops of length 𝑁 on vertex 𝑋 and the set of closed walks of length less by 2 on 𝑋 combined with the neighbors of 𝑋 are equinumerous. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jul-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 31-Jul-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) ≈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2

Dummy variables 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑢 prefix (𝑁 − 2)))
5		fveq1 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))
6	4, 5	opeq12d 4886	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
7	6	cbvmptv 5261	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩) = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
8	1, 2, 3, 7	numclwwlk1lem2f1o 30388	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩):(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
9		ovex 7464	. . 3 ⊢ (𝑋𝐶𝑁) ∈ V
10	9	f1oen 9012	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩):(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑋𝐶𝑁) ≈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
11	8, 10	syl 17	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) ≈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  –1-1-onto→wf1o 6562  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ≈ cen 8981  1c1 11154   − cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  ℤ_≥cuz 12876   prefix cpfx 14705  Vtxcvtx 29028  USGraphcusgr 29181   NeighbVtx cnbgr 29364  ClWWalksNOncclwwlknon 30116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-s2 14884  df-edg 29080  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-usgr 29183  df-nbgr 29365  df-wwlks 29860  df-wwlksn 29861  df-clwwlk 30011  df-clwwlkn 30054  df-clwwlknon 30117

This theorem is referenced by:  numclwwlk1  30390