Theorem numclwwlk1lem2 30968

Description: The set of double loops of length 𝑁 on vertex 𝑋 and the set of closed walks of length less by 2 on 𝑋 combined with the neighbors of 𝑋 are equinumerous. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jul-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 31-Jul-2022.) (Proof shortened by AV, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) ≈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤, 𝑣, 𝑛)   𝐹(𝑣, 𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2

Dummy variables 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		extwwlkfab.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3		extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4		oveq1 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑢 prefix (𝑁 − 2)))
5		fveq1 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → (𝑥‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))
6	4, 5	opeq12d 4847	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑢 → ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
7	6	cbvmptv 5208	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩) = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 prefix (𝑁 − 2)), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
8	1, 2, 3, 7	numclwwlk1lem2f1o 30967	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩):(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
9		ovex 7455	. . 3 ⊢ (𝑋𝐶𝑁) ∈ V
10	9	f1oen 9004	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑥 prefix (𝑁 − 2)), (𝑥‘(𝑁 − 1))⟩):(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑋𝐶𝑁) ≈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
11	8, 10	syl 18	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) ≈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ∈ cmpo 7424   ≈ cen 8975  1c1 11206   − cmin 11546  2c2 12402  3c3 12403  ℤ_≥cuz 12970   prefix cpfx 14826  Vtxcvtx 29581  USGraphcusgr 29737   NeighbVtx cnbgr 29920  ClWWalksNOncclwwlknon 30685

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-rp 13126  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-hash 14480  df-word 14664  df-lsw 14713  df-concat 14721  df-s1 14748  df-substr 14795  df-pfx 14827  df-s2 15005  df-edg 29633  df-upgr 29667  df-umgr 29668  df-usgr 29739  df-nbgr 29921  df-wwlks 30426  df-wwlksn 30427  df-clwwlk 30580  df-clwwlkn 30623  df-clwwlknon 30686

This theorem is used by:  numclwwlk1  30969