Theorem znhash 21515

Description: The ℤ/nℤ structure has 𝑛 elements. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znhash.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znhash	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)

Proof of Theorem znhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12410	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		zntos.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		znhash.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
5		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6	2, 3, 4, 5	znf1o 21508	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵)
8		nnne0 12181	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
9		ifnefalse 4490	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
10		f1oeq2 6762	. . . . 5 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵))
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto→𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵))
12	7, 11	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵)
13		ovex 7391	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
14	13	f1oen 8911	. . 3 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto→𝐵 → (0..^𝑁) ≈ 𝐵)
15		ensym 8942	. . 3 ⊢ ((0..^𝑁) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ (0..^𝑁))
16		hasheni 14273	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ (0..^𝑁) → (♯‘𝐵) = (♯‘(0..^𝑁)))
17	12, 14, 15, 16	4syl 19	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = (♯‘(0..^𝑁)))
18		hashfzo0 14355	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
19	1, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
20	17, 19	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ifcif 4478   class class class wbr 5097   ↾ cres 5625  –1-1-onto→wf1o 6490  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358   ≈ cen 8882  0cc0 11028  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ..^cfzo 13572  ♯chash 14255  Basecbs 17138  ℤRHomczrh 21456  ℤ/nℤczn 21459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-hash 14256  df-dvds 16182  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-imas 17431  df-qus 17432  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-ghm 19144  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-rhm 20410  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-lidl 21165  df-rsp 21166  df-2idl 21207  df-cnfld 21312  df-zring 21404  df-zrh 21460  df-zn 21463

This theorem is referenced by:  znfi  21516  znfld  21517  znidomb  21518  frlmpwfi  43377  isnumbasgrplem3  43384  cznnring  48545