MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znhash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znhash 20981
Description: The ℤ/n structure has 𝑛 elements. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zntos.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znhash.1 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znhash (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)

Proof of Theorem znhash
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12427 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 zntos.y . . . . . 6 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 znhash.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
4 eqid 2737 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
5 eqid 2737 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
62, 3, 4, 5znf1o 20974 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto𝐵)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto𝐵)
8 nnne0 12194 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
9 ifnefalse 4503 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
10 f1oeq2 6778 . . . . 5 (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto𝐵))
118, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto𝐵))
127, 11mpbid 231 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto𝐵)
13 ovex 7395 . . . 4 (0..^𝑁) ∈ V
1413f1oen 8920 . . 3 (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto𝐵 → (0..^𝑁) ≈ 𝐵)
15 ensym 8950 . . 3 ((0..^𝑁) ≈ 𝐵𝐵 ≈ (0..^𝑁))
16 hasheni 14255 . . 3 (𝐵 ≈ (0..^𝑁) → (♯‘𝐵) = (♯‘(0..^𝑁)))
1712, 14, 15, 164syl 19 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = (♯‘(0..^𝑁)))
18 hashfzo0 14337 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
191, 18syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
2017, 19eqtrd 2777 1 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  ifcif 4491   class class class wbr 5110  cres 5640  1-1-ontowf1o 6500  cfv 6501  (class class class)co 7362  cen 8887  0cc0 11058  cn 12160  0cn0 12420  cz 12506  ..^cfzo 13574  chash 14237  Basecbs 17090  ℤRHomczrh 20916  ℤ/nczn 20919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-hash 14238  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923
This theorem is referenced by:  znfi  20982  znfld  20983  znidomb  20984  frlmpwfi  41454  isnumbasgrplem3  41461  cznnring  46328
  Copyright terms: Public domain W3C validator