MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znhash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znhash 20377
Description: The ℤ/n structure has 𝑛 elements. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zntos.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znhash.1 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znhash (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)

Proof of Theorem znhash
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11983 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 zntos.y . . . . . 6 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3 znhash.1 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
4 eqid 2738 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
5 eqid 2738 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
62, 3, 4, 5znf1o 20370 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto𝐵)
71, 6syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto𝐵)
8 nnne0 11750 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
9 ifnefalse 4426 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
10 f1oeq2 6607 . . . . 5 (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto𝐵))
118, 9, 103syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))–1-1-onto𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto𝐵))
127, 11mpbid 235 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto𝐵)
13 ovex 7203 . . . 4 (0..^𝑁) ∈ V
1413f1oen 8576 . . 3 (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)–1-1-onto𝐵 → (0..^𝑁) ≈ 𝐵)
15 ensym 8604 . . 3 ((0..^𝑁) ≈ 𝐵𝐵 ≈ (0..^𝑁))
16 hasheni 13800 . . 3 (𝐵 ≈ (0..^𝑁) → (♯‘𝐵) = (♯‘(0..^𝑁)))
1712, 14, 15, 164syl 19 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = (♯‘(0..^𝑁)))
18 hashfzo0 13883 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
191, 18syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
2017, 19eqtrd 2773 1 (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  ifcif 4414   class class class wbr 5030  cres 5527  1-1-ontowf1o 6338  cfv 6339  (class class class)co 7170  cen 8552  0cc0 10615  cn 11716  0cn0 11976  cz 12062  ..^cfzo 13124  chash 13782  Basecbs 16586  ℤRHomczrh 20320  ℤ/nczn 20323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-ec 8322  df-qs 8326  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-hash 13783  df-dvds 15700  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-imas 16884  df-qus 16885  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-nsg 18395  df-eqg 18396  df-ghm 18474  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-rnghom 19589  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-lidl 20065  df-rsp 20066  df-2idl 20124  df-cnfld 20218  df-zring 20290  df-zrh 20324  df-zn 20327
This theorem is referenced by:  znfi  20378  znfld  20379  znidomb  20380  frlmpwfi  40495  isnumbasgrplem3  40502  cznnring  45048
  Copyright terms: Public domain W3C validator