Theorem znhash 21891

Description: The ℤ/nℤ structure has 𝑛 elements. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zntos.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znhash.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znhash	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)

Proof of Theorem znhash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12637	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		zntos.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		znhash.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))) = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
6	2, 3, 4, 5	znf1o 21884	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))⟶1-1onto𝐵)
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))⟶1-1onto𝐵)
8		nnne0 12396	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
9		ifnefalse 4497	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
10		f1oeq2 6832	. . . . 5 ⊢ (if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))⟶1-1onto𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)⟶1-1onto𝐵))
11	8, 9, 10	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))⟶1-1onto𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)⟶1-1onto𝐵))
12	7, 11	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)⟶1-1onto𝐵)
13		ovex 7473	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
14	13	f1oen 9024	. . 3 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌) ↾ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))):(0..^𝑁)⟶1-1onto𝐵 → (0..^𝑁) ≈ 𝐵)
15		ensym 9055	. . 3 ⊢ ((0..^𝑁) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ (0..^𝑁))
16		hasheni 14516	. . 3 ⊢ (𝐵 ≈ (0..^𝑁) → (♯‘𝐵) = (♯‘(0..^𝑁)))
17	12, 14, 15, 16	4syl 20	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = (♯‘(0..^𝑁)))
18		hashfzo0 14599	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
19	1, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
20	17, 19	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (♯‘𝐵) = 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ifcif 4485   class class class wbr 5106   ↾ cres 5657  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ≈ cen 8995  0cc0 11224  ℕcn 12359  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ..^cfzo 13812  ♯chash 14498  Basecbs 17413  ℤRHomczrh 21832  ℤ/nℤczn 21835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-ec 8744  df-qs 8748  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-hash 14499  df-dvds 16449  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-0g 17638  df-imas 17706  df-qus 17707  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-nsg 19360  df-eqg 19361  df-ghm 19454  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-cring 20489  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-rhm 20729  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-lidl 21513  df-rsp 21514  df-2idl 21570  df-cnfld 21706  df-zring 21780  df-zrh 21836  df-zn 21839

This theorem is used by:  znfi  21892  znfld  21893  znidomb  21894  frlmpwfi  44291  isnumbasgrplem3  44297  cznnring  49562