Theorem prodmolem2 15983

Description: Lemma for prodmo 15984. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodmo.3	⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑗) / 𝑘⦌𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodmolem2	⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝐴,𝑓,𝑗,𝑚   𝐵,𝑗   𝑓,𝐹,𝑗,𝑘,𝑚   𝜑,𝑓   𝑥,𝑓   𝑧,𝑓   𝑗,𝐺   𝑗,𝑘,𝑚,𝜑   𝑥,𝑗   𝑘,𝑚,𝑥   𝜑,𝑚   𝑥,𝑚   𝑧,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem prodmolem2

Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 1149	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
2	1	reximi 3090	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
3		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (ℤ≥‘𝑚) = (ℤ≥‘𝑤))
4	3	sseq2d 4041	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤)))
5		seqeq1 14055	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → seq𝑚( · , 𝐹) = seq𝑤( · , 𝐹))
6	5	breq1d 5176	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → (seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
7	4, 6	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑤 → ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
8	7	cbvrexvw 3244	. . 3 ⊢ (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
9		reeanv 3235	. . . . 5 ⊢ (∃𝑤 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℕ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) ↔ (∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))))
10		simprlr 779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)
11		simprll 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤))
12		uzssz 12924	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℤ≥‘𝑤) ⊆ ℤ
13		zssre 12646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
14	12, 13	sstri 4018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℤ≥‘𝑤) ⊆ ℝ
15	11, 14	sstrdi 4021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16		ltso 11370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ < Or ℝ
17		soss 5628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
18	15, 16, 17	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → < Or 𝐴)
19		fzfi 14023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...𝑚) ∈ Fin
20		ovex 7481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...𝑚) ∈ V
21	20	f1oen 9033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
22	21	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
23	22	ensymd 9065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
24		enfii 9252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
25	19, 23, 24	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
26		fz1iso 14511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
27	18, 25, 26	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
28		prodmo.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))
29		prodmo.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
30	29	ad4ant14 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
31		prodmo.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑗) / 𝑘⦌𝐵)
32		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑔‘𝑗) / 𝑘⦌𝐵) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑔‘𝑗) / 𝑘⦌𝐵)
33		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
34		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑤 ∈ ℤ)
35		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤))
37		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)
38		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
39	28, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 37, 38	prodmolem2a 15982	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
40	39	expr 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
41	40	exlimdv 1932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
42	27, 41	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
43		climuni 15598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
44	10, 42, 43	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → 𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
45		eqeq2 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑧 ↔ 𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
46	44, 45	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴)) → (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑧))
47	46	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 → (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑧)))
48	47	impd 410	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
49	48	exlimdv 1932	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
50	49	expimpd 453	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
51	50	rexlimdvva 3219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℕ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
52	9, 51	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
53	52	expdimp 452	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
54	8, 53	sylan2b 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
55	2, 54	sylan2 592	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  ⦋csb 3921   ⊆ wss 3976  ifcif 4548   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   Or wor 5606  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573   Isom wiso 6574  (class class class)co 7448   ≈ cen 9000  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324  ℕcn 12293  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  seqcseq 14052  ♯chash 14379   ⇝ cli 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534

This theorem is referenced by:  prodmo  15984