MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodmolem2 15967
Description: Lemma for prodmo 15968. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodmo.3 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodmolem2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝐴,𝑓,𝑗,𝑚   𝐵,𝑗   𝑓,𝐹,𝑗,𝑘,𝑚   𝜑,𝑓   𝑥,𝑓   𝑧,𝑓   𝑗,𝐺   𝑗,𝑘,𝑚,𝜑   𝑥,𝑗   𝑘,𝑚,𝑥   𝜑,𝑚   𝑥,𝑚   𝑧,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem prodmolem2
Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 1148 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
21reximi 3081 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
3 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑤 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑤))
43sseq2d 4027 . . . . 5 (𝑚 = 𝑤 → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤)))
5 seqeq1 14041 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑤 → seq𝑚( · , 𝐹) = seq𝑤( · , 𝐹))
65breq1d 5157 . . . . 5 (𝑚 = 𝑤 → (seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
74, 6anbi12d 632 . . . 4 (𝑚 = 𝑤 → ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
87cbvrexvw 3235 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
9 reeanv 3226 . . . . 5 (∃𝑤 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℕ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) ↔ (∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))))
10 simprlr 780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)
11 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤))
12 uzssz 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑤) ⊆ ℤ
13 zssre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℤ ⊆ ℝ
1412, 13sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ𝑤) ⊆ ℝ
1511, 14sstrdi 4007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16 ltso 11338 . . . . . . . . . . . . . . 15 < Or ℝ
17 soss 5616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
1815, 16, 17mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → < Or 𝐴)
19 fzfi 14009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑚) ∈ Fin
20 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...𝑚) ∈ V
2120f1oen 9011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴 → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
2221ad2antll 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
2322ensymd 9043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
24 enfii 9223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
2519, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
26 fz1iso 14497 . . . . . . . . . . . . . 14 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
2718, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
28 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
29 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3029ad4ant14 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
31 prodmo.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
32 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵)
33 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
34 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑤 ∈ ℤ)
35 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤))
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤))
37 simprlr 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)
38 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
3928, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 37, 38prodmolem2a 15966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
4039expr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
4140exlimdv 1930 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
4227, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
43 climuni 15584 . . . . . . . . . . . 12 ((seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
4410, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
45 eqeq2 2746 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑧𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
4644, 45syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑧))
4746expr 456 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴 → (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑧)))
4847impd 410 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
4948exlimdv 1930 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
5049expimpd 453 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
5150rexlimdvva 3210 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℕ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
529, 51biimtrrid 243 . . . 4 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
5352expdimp 452 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
548, 53sylan2b 594 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
552, 54sylan2 593 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  csb 3907  wss 3962  ifcif 4530   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Or wor 5595  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562   Isom wiso 6563  (class class class)co 7430  cen 8980  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157   < clt 11292  cn 12263  cz 12610  cuz 12875  ...cfz 13543  seqcseq 14038  chash 14365  cli 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520
This theorem is referenced by:  prodmo  15968
  Copyright terms: Public domain W3C validator