MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodmolem2 15818
Description: Lemma for prodmo 15819. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
prodmo.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
prodmo.3 ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
Assertion
Ref Expression
prodmolem2 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜,๐‘›   ๐‘˜,๐น,๐‘›   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘›   ๐ด,๐‘“,๐‘—,๐‘š   ๐ต,๐‘—   ๐‘“,๐น,๐‘—,๐‘˜,๐‘š   ๐œ‘,๐‘“   ๐‘ฅ,๐‘“   ๐‘ง,๐‘“   ๐‘—,๐บ   ๐‘—,๐‘˜,๐‘š,๐œ‘   ๐‘ฅ,๐‘—   ๐‘˜,๐‘š,๐‘ฅ   ๐œ‘,๐‘š   ๐‘ฅ,๐‘š   ๐‘ง,๐‘š
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜,๐‘š,๐‘›)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘“,๐‘˜,๐‘š,๐‘›)

Proof of Theorem prodmolem2
Dummy variables ๐‘” ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 1149 . . 3 ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
21reximi 3087 . 2 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
3 fveq2 6842 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
43sseq2d 3976 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โ†” ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค)))
5 seqeq1 13909 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ seq๐‘š( ยท , ๐น) = seq๐‘ค( ยท , ๐น))
65breq1d 5115 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ (seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ โ†” seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
74, 6anbi12d 631 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ค โ†’ ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)))
87cbvrexvw 3226 . . 3 (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ))
9 reeanv 3217 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†” (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))))
10 simprlr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)
11 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
12 uzssz 12784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โŠ† โ„ค
13 zssre 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„ค โŠ† โ„
1412, 13sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โŠ† โ„
1511, 14sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐ด โŠ† โ„)
16 ltso 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 < Or โ„
17 soss 5565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โŠ† โ„ โ†’ ( < Or โ„ โ†’ < Or ๐ด))
1815, 16, 17mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ < Or ๐ด)
19 fzfi 13877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...๐‘š) โˆˆ Fin
20 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...๐‘š) โˆˆ V
2120f1oen 8913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ (1...๐‘š) โ‰ˆ ๐ด)
2221ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (1...๐‘š) โ‰ˆ ๐ด)
2322ensymd 8945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐ด โ‰ˆ (1...๐‘š))
24 enfii 9133 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...๐‘š) โˆˆ Fin โˆง ๐ด โ‰ˆ (1...๐‘š)) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2519, 23, 24sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
26 fz1iso 14361 . . . . . . . . . . . . . 14 (( < Or ๐ด โˆง ๐ด โˆˆ Fin) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
2718, 25, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
28 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if(๐‘˜ โˆˆ ๐ด, ๐ต, 1))
29 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3029ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
31 prodmo.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐บ = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘“โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
32 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต) = (๐‘— โˆˆ โ„• โ†ฆ โฆ‹(๐‘”โ€˜๐‘—) / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
33 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
34 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„ค)
35 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด)) โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค))
37 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)
38 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))
3928, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 37, 38prodmolem2a 15817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด) โˆง ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด))) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))
4039expr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))
4140exlimdv 1936 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (โˆƒ๐‘” ๐‘” Isom < , < ((1...(โ™ฏโ€˜๐ด)), ๐ด) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))
4227, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))
43 climuni 15434 . . . . . . . . . . . 12 ((seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))
4410, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))
45 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โ†’ (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†” ๐‘ฅ = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)))
4644, 45syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง ๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด)) โ†’ (๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4746expr 457 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โ†’ (๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง)))
4847impd 411 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
4948exlimdv 1936 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โˆง (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
5049expimpd 454 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•)) โ†’ (((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
5150rexlimdvva 3205 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ((๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
529, 51biimtrrid 242 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ) โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š))) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
5352expdimp 453 . . 3 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘ค) โˆง seq๐‘ค( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
548, 53sylan2b 594 . 2 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
552, 54sylan2 593 1 ((๐œ‘ โˆง โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (๐ด โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โ‰  0 โˆง seq๐‘›( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฆ) โˆง seq๐‘š( ยท , ๐น) โ‡ ๐‘ฅ)) โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“(๐‘“:(1...๐‘š)โ€“1-1-ontoโ†’๐ด โˆง ๐‘ง = (seq1( ยท , ๐บ)โ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ง))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541  โˆƒwex 1781   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2943  โˆƒwrex 3073  โฆ‹csb 3855   โŠ† wss 3910  ifcif 4486   class class class wbr 5105   โ†ฆ cmpt 5188   Or wor 5544  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6495  โ€˜cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357   โ‰ˆ cen 8880  Fincfn 8883  โ„‚cc 11049  โ„cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   ยท cmul 11056   < clt 11189  โ„•cn 12153  โ„คcz 12499  โ„คโ‰ฅcuz 12763  ...cfz 13424  seqcseq 13906  โ™ฏchash 14230   โ‡ cli 15366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370
This theorem is referenced by:  prodmo  15819
  Copyright terms: Public domain W3C validator