MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodmolem2 15937
Description: Lemma for prodmo 15938. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodmo.3 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodmolem2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝐴,𝑓,𝑗,𝑚   𝐵,𝑗   𝑓,𝐹,𝑗,𝑘,𝑚   𝜑,𝑓   𝑥,𝑓   𝑧,𝑓   𝑗,𝐺   𝑗,𝑘,𝑚,𝜑   𝑥,𝑗   𝑘,𝑚,𝑥   𝜑,𝑚   𝑥,𝑚   𝑧,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem prodmolem2
Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 1146 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
21reximi 3074 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
3 fveq2 6901 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑤 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑤))
43sseq2d 4012 . . . . 5 (𝑚 = 𝑤 → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤)))
5 seqeq1 14024 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑤 → seq𝑚( · , 𝐹) = seq𝑤( · , 𝐹))
65breq1d 5163 . . . . 5 (𝑚 = 𝑤 → (seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
74, 6anbi12d 630 . . . 4 (𝑚 = 𝑤 → ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
87cbvrexvw 3226 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
9 reeanv 3217 . . . . 5 (∃𝑤 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℕ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) ↔ (∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))))
10 simprlr 778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)
11 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤))
12 uzssz 12895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑤) ⊆ ℤ
13 zssre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℤ ⊆ ℝ
1412, 13sstri 3989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ𝑤) ⊆ ℝ
1511, 14sstrdi 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16 ltso 11344 . . . . . . . . . . . . . . 15 < Or ℝ
17 soss 5614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
1815, 16, 17mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → < Or 𝐴)
19 fzfi 13992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑚) ∈ Fin
20 ovex 7457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...𝑚) ∈ V
2120f1oen 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴 → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
2221ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
2322ensymd 9036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
24 enfii 9223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
2519, 23, 24sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
26 fz1iso 14481 . . . . . . . . . . . . . 14 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
2718, 25, 26syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
28 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
29 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3029ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
31 prodmo.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
32 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵)
33 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
34 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑤 ∈ ℤ)
35 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤))
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤))
37 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)
38 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))
3928, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 37, 38prodmolem2a 15936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
4039expr 455 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
4140exlimdv 1929 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(♯‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
4227, 41mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
43 climuni 15554 . . . . . . . . . . . 12 ((seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
4410, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
45 eqeq2 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑧𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
4644, 45syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑧))
4746expr 455 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴 → (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑧)))
4847impd 409 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
4948exlimdv 1929 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
5049expimpd 452 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
5150rexlimdvva 3202 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℕ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
529, 51biimtrrid 242 . . . 4 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
5352expdimp 451 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
548, 53sylan2b 592 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
552, 54sylan2 591 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  csb 3892  wss 3947  ifcif 4533   class class class wbr 5153  cmpt 5236   Or wor 5593  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554   Isom wiso 6555  (class class class)co 7424  cen 8971  Fincfn 8974  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   · cmul 11163   < clt 11298  cn 12264  cz 12610  cuz 12874  ...cfz 13538  seqcseq 14021  chash 14347  cli 15486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490
This theorem is referenced by:  prodmo  15938
  Copyright terms: Public domain W3C validator