MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnnen 16177
Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
cpnnen โ„‚ โ‰ˆ ๐’ซ โ„•

Proof of Theorem cpnnen
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexpen 16176 . . 3 (โ„ ร— โ„) โ‰ˆ โ„
2 eleq1w 2810 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โ„))
3 eleq1w 2810 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
42, 3bi2anan9 636 . . . . . . . 8 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)))
5 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (i ยท ๐‘ค) = (i ยท ๐‘ฆ))
6 oveq12 7413 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง (i ยท ๐‘ค) = (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
75, 6sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
87eqeq2d 2737 . . . . . . . 8 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)) โ†” ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
94, 8anbi12d 630 . . . . . . 7 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))))
109cbvoprab12v 7494 . . . . . 6 {โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))} = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))}
11 df-mpo 7409 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))}
1210, 11eqtr4i 2757 . . . . 5 {โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))} = (๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
1312cnref1o 12970 . . . 4 {โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))}:(โ„ ร— โ„)โ€“1-1-ontoโ†’โ„‚
14 reex 11200 . . . . . 6 โ„ โˆˆ V
1514, 14xpex 7736 . . . . 5 (โ„ ร— โ„) โˆˆ V
1615f1oen 8968 . . . 4 ({โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))}:(โ„ ร— โ„)โ€“1-1-ontoโ†’โ„‚ โ†’ (โ„ ร— โ„) โ‰ˆ โ„‚)
1713, 16ax-mp 5 . . 3 (โ„ ร— โ„) โ‰ˆ โ„‚
181, 17entr3i 9005 . 2 โ„ โ‰ˆ โ„‚
19 rpnnen 16175 . 2 โ„ โ‰ˆ ๐’ซ โ„•
2018, 19entr3i 9005 1 โ„‚ โ‰ˆ ๐’ซ โ„•
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ๐’ซ cpw 4597   class class class wbr 5141   ร— cxp 5667  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6535  (class class class)co 7404  {coprab 7405   โˆˆ cmpo 7406   โ‰ˆ cen 8935  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  ici 11111   + caddc 11112   ยท cmul 11114  โ„•cn 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  cnso  16195
  Copyright terms: Public domain W3C validator