![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cpnnen | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
cpnnen | โข โ โ ๐ซ โ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rexpen 16205 | . . 3 โข (โ ร โ) โ โ | |
2 | eleq1w 2812 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฃ = ๐ฅ โ (๐ฃ โ โ โ ๐ฅ โ โ)) | |
3 | eleq1w 2812 | . . . . . . . . 9 โข (๐ค = ๐ฆ โ (๐ค โ โ โ ๐ฆ โ โ)) | |
4 | 2, 3 | bi2anan9 637 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โ (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ))) |
5 | oveq2 7428 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ค = ๐ฆ โ (i ยท ๐ค) = (i ยท ๐ฆ)) | |
6 | oveq12 7429 | . . . . . . . . . 10 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง (i ยท ๐ค) = (i ยท ๐ฆ)) โ (๐ฃ + (i ยท ๐ค)) = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
7 | 5, 6 | sylan2 592 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ (๐ฃ + (i ยท ๐ค)) = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
8 | 7 | eqeq2d 2739 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ (๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)) โ ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) |
9 | 4, 8 | anbi12d 631 | . . . . . . 7 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ (((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค))) โ ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))) |
10 | 9 | cbvoprab12v 7510 | . . . . . 6 โข {โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))} = {โจโจ๐ฅ, ๐ฆโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))} |
11 | df-mpo 7425 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) = {โจโจ๐ฅ, ๐ฆโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))} | |
12 | 10, 11 | eqtr4i 2759 | . . . . 5 โข {โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))} = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
13 | 12 | cnref1o 13000 | . . . 4 โข {โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))}:(โ ร โ)โ1-1-ontoโโ |
14 | reex 11230 | . . . . . 6 โข โ โ V | |
15 | 14, 14 | xpex 7755 | . . . . 5 โข (โ ร โ) โ V |
16 | 15 | f1oen 8994 | . . . 4 โข ({โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))}:(โ ร โ)โ1-1-ontoโโ โ (โ ร โ) โ โ) |
17 | 13, 16 | ax-mp 5 | . . 3 โข (โ ร โ) โ โ |
18 | 1, 17 | entr3i 9031 | . 2 โข โ โ โ |
19 | rpnnen 16204 | . 2 โข โ โ ๐ซ โ | |
20 | 18, 19 | entr3i 9031 | 1 โข โ โ ๐ซ โ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 ๐ซ cpw 4603 class class class wbr 5148 ร cxp 5676 โ1-1-ontoโwf1o 6547 (class class class)co 7420 {coprab 7421 โ cmpo 7422 โ cen 8961 โcc 11137 โcr 11138 ici 11141 + caddc 11142 ยท cmul 11144 โcn 12243 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2167 ax-ext 2699 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5429 ax-un 7740 ax-inf2 9665 ax-cnex 11195 ax-resscn 11196 ax-1cn 11197 ax-icn 11198 ax-addcl 11199 ax-addrcl 11200 ax-mulcl 11201 ax-mulrcl 11202 ax-mulcom 11203 ax-addass 11204 ax-mulass 11205 ax-distr 11206 ax-i2m1 11207 ax-1ne0 11208 ax-1rid 11209 ax-rnegex 11210 ax-rrecex 11211 ax-cnre 11212 ax-pre-lttri 11213 ax-pre-lttrn 11214 ax-pre-ltadd 11215 ax-pre-mulgt0 11216 ax-pre-sup 11217 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2530 df-eu 2559 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3373 df-reu 3374 df-rab 3430 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4909 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5576 df-eprel 5582 df-po 5590 df-so 5591 df-fr 5633 df-se 5634 df-we 5635 df-xp 5684 df-rel 5685 df-cnv 5686 df-co 5687 df-dm 5688 df-rn 5689 df-res 5690 df-ima 5691 df-pred 6305 df-ord 6372 df-on 6373 df-lim 6374 df-suc 6375 df-iota 6500 df-fun 6550 df-fn 6551 df-f 6552 df-f1 6553 df-fo 6554 df-f1o 6555 df-fv 6556 df-isom 6557 df-riota 7376 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7871 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8287 df-wrecs 8318 df-recs 8392 df-rdg 8431 df-1o 8487 df-2o 8488 df-oadd 8491 df-omul 8492 df-er 8725 df-map 8847 df-pm 8848 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-sup 9466 df-inf 9467 df-oi 9534 df-card 9963 df-acn 9966 df-pnf 11281 df-mnf 11282 df-xr 11283 df-ltxr 11284 df-le 11285 df-sub 11477 df-neg 11478 df-div 11903 df-nn 12244 df-2 12306 df-3 12307 df-n0 12504 df-z 12590 df-uz 12854 df-q 12964 df-rp 13008 df-ico 13363 df-icc 13364 df-fz 13518 df-fzo 13661 df-fl 13790 df-seq 14000 df-exp 14060 df-hash 14323 df-cj 15079 df-re 15080 df-im 15081 df-sqrt 15215 df-abs 15216 df-limsup 15448 df-clim 15465 df-rlim 15466 df-sum 15666 |
This theorem is referenced by: cnso 16224 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |