MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnnen 16206
Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
cpnnen โ„‚ โ‰ˆ ๐’ซ โ„•

Proof of Theorem cpnnen
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexpen 16205 . . 3 (โ„ ร— โ„) โ‰ˆ โ„
2 eleq1w 2812 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โ„))
3 eleq1w 2812 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
42, 3bi2anan9 637 . . . . . . . 8 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)))
5 oveq2 7428 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (i ยท ๐‘ค) = (i ยท ๐‘ฆ))
6 oveq12 7429 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง (i ยท ๐‘ค) = (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
75, 6sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
87eqeq2d 2739 . . . . . . . 8 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)) โ†” ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
94, 8anbi12d 631 . . . . . . 7 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))))
109cbvoprab12v 7510 . . . . . 6 {โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))} = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))}
11 df-mpo 7425 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))}
1210, 11eqtr4i 2759 . . . . 5 {โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))} = (๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
1312cnref1o 13000 . . . 4 {โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))}:(โ„ ร— โ„)โ€“1-1-ontoโ†’โ„‚
14 reex 11230 . . . . . 6 โ„ โˆˆ V
1514, 14xpex 7755 . . . . 5 (โ„ ร— โ„) โˆˆ V
1615f1oen 8994 . . . 4 ({โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))}:(โ„ ร— โ„)โ€“1-1-ontoโ†’โ„‚ โ†’ (โ„ ร— โ„) โ‰ˆ โ„‚)
1713, 16ax-mp 5 . . 3 (โ„ ร— โ„) โ‰ˆ โ„‚
181, 17entr3i 9031 . 2 โ„ โ‰ˆ โ„‚
19 rpnnen 16204 . 2 โ„ โ‰ˆ ๐’ซ โ„•
2018, 19entr3i 9031 1 โ„‚ โ‰ˆ ๐’ซ โ„•
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  ๐’ซ cpw 4603   class class class wbr 5148   ร— cxp 5676  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6547  (class class class)co 7420  {coprab 7421   โˆˆ cmpo 7422   โ‰ˆ cen 8961  โ„‚cc 11137  โ„cr 11138  ici 11141   + caddc 11142   ยท cmul 11144  โ„•cn 12243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666
This theorem is referenced by:  cnso  16224
  Copyright terms: Public domain W3C validator