![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cpnnen | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
cpnnen | โข โ โ ๐ซ โ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rexpen 16176 | . . 3 โข (โ ร โ) โ โ | |
2 | eleq1w 2810 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฃ = ๐ฅ โ (๐ฃ โ โ โ ๐ฅ โ โ)) | |
3 | eleq1w 2810 | . . . . . . . . 9 โข (๐ค = ๐ฆ โ (๐ค โ โ โ ๐ฆ โ โ)) | |
4 | 2, 3 | bi2anan9 636 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โ (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ))) |
5 | oveq2 7412 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ค = ๐ฆ โ (i ยท ๐ค) = (i ยท ๐ฆ)) | |
6 | oveq12 7413 | . . . . . . . . . 10 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง (i ยท ๐ค) = (i ยท ๐ฆ)) โ (๐ฃ + (i ยท ๐ค)) = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
7 | 5, 6 | sylan2 592 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ (๐ฃ + (i ยท ๐ค)) = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
8 | 7 | eqeq2d 2737 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ (๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)) โ ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) |
9 | 4, 8 | anbi12d 630 | . . . . . . 7 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ (((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค))) โ ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))) |
10 | 9 | cbvoprab12v 7494 | . . . . . 6 โข {โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))} = {โจโจ๐ฅ, ๐ฆโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))} |
11 | df-mpo 7409 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) = {โจโจ๐ฅ, ๐ฆโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))} | |
12 | 10, 11 | eqtr4i 2757 | . . . . 5 โข {โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))} = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
13 | 12 | cnref1o 12970 | . . . 4 โข {โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))}:(โ ร โ)โ1-1-ontoโโ |
14 | reex 11200 | . . . . . 6 โข โ โ V | |
15 | 14, 14 | xpex 7736 | . . . . 5 โข (โ ร โ) โ V |
16 | 15 | f1oen 8968 | . . . 4 โข ({โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))}:(โ ร โ)โ1-1-ontoโโ โ (โ ร โ) โ โ) |
17 | 13, 16 | ax-mp 5 | . . 3 โข (โ ร โ) โ โ |
18 | 1, 17 | entr3i 9005 | . 2 โข โ โ โ |
19 | rpnnen 16175 | . 2 โข โ โ ๐ซ โ | |
20 | 18, 19 | entr3i 9005 | 1 โข โ โ ๐ซ โ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 ๐ซ cpw 4597 class class class wbr 5141 ร cxp 5667 โ1-1-ontoโwf1o 6535 (class class class)co 7404 {coprab 7405 โ cmpo 7406 โ cen 8935 โcc 11107 โcr 11108 ici 11111 + caddc 11112 ยท cmul 11114 โcn 12213 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-inf2 9635 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-2o 8465 df-oadd 8468 df-omul 8469 df-er 8702 df-map 8821 df-pm 8822 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-inf 9437 df-oi 9504 df-card 9933 df-acn 9936 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-q 12934 df-rp 12978 df-ico 13333 df-icc 13334 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-fl 13760 df-seq 13970 df-exp 14031 df-hash 14294 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-limsup 15419 df-clim 15436 df-rlim 15437 df-sum 15637 |
This theorem is referenced by: cnso 16195 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |