![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cpnnen | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) |
Ref | Expression |
---|---|
cpnnen | โข โ โ ๐ซ โ |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rexpen 16117 | . . 3 โข (โ ร โ) โ โ | |
2 | eleq1w 2821 | . . . . . . . . 9 โข (๐ฃ = ๐ฅ โ (๐ฃ โ โ โ ๐ฅ โ โ)) | |
3 | eleq1w 2821 | . . . . . . . . 9 โข (๐ค = ๐ฆ โ (๐ค โ โ โ ๐ฆ โ โ)) | |
4 | 2, 3 | bi2anan9 638 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โ (๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ))) |
5 | oveq2 7370 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ค = ๐ฆ โ (i ยท ๐ค) = (i ยท ๐ฆ)) | |
6 | oveq12 7371 | . . . . . . . . . 10 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง (i ยท ๐ค) = (i ยท ๐ฆ)) โ (๐ฃ + (i ยท ๐ค)) = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) | |
7 | 5, 6 | sylan2 594 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ (๐ฃ + (i ยท ๐ค)) = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
8 | 7 | eqeq2d 2748 | . . . . . . . 8 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ (๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)) โ ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))) |
9 | 4, 8 | anbi12d 632 | . . . . . . 7 โข ((๐ฃ = ๐ฅ โง ๐ค = ๐ฆ) โ (((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค))) โ ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))))) |
10 | 9 | cbvoprab12v 7452 | . . . . . 6 โข {โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))} = {โจโจ๐ฅ, ๐ฆโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))} |
11 | df-mpo 7367 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) = {โจโจ๐ฅ, ๐ฆโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฅ โ โ โง ๐ฆ โ โ) โง ๐ง = (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ)))} | |
12 | 10, 11 | eqtr4i 2768 | . . . . 5 โข {โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))} = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ โ โฆ (๐ฅ + (i ยท ๐ฆ))) |
13 | 12 | cnref1o 12917 | . . . 4 โข {โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))}:(โ ร โ)โ1-1-ontoโโ |
14 | reex 11149 | . . . . . 6 โข โ โ V | |
15 | 14, 14 | xpex 7692 | . . . . 5 โข (โ ร โ) โ V |
16 | 15 | f1oen 8920 | . . . 4 โข ({โจโจ๐ฃ, ๐คโฉ, ๐งโฉ โฃ ((๐ฃ โ โ โง ๐ค โ โ) โง ๐ง = (๐ฃ + (i ยท ๐ค)))}:(โ ร โ)โ1-1-ontoโโ โ (โ ร โ) โ โ) |
17 | 13, 16 | ax-mp 5 | . . 3 โข (โ ร โ) โ โ |
18 | 1, 17 | entr3i 8957 | . 2 โข โ โ โ |
19 | rpnnen 16116 | . 2 โข โ โ ๐ซ โ | |
20 | 18, 19 | entr3i 8957 | 1 โข โ โ ๐ซ โ |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 ๐ซ cpw 4565 class class class wbr 5110 ร cxp 5636 โ1-1-ontoโwf1o 6500 (class class class)co 7362 {coprab 7363 โ cmpo 7364 โ cen 8887 โcc 11056 โcr 11057 ici 11060 + caddc 11061 ยท cmul 11063 โcn 12160 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-inf2 9584 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 ax-pre-sup 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-int 4913 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-se 5594 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-isom 6510 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-1o 8417 df-2o 8418 df-oadd 8421 df-omul 8422 df-er 8655 df-map 8774 df-pm 8775 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-sup 9385 df-inf 9386 df-oi 9453 df-card 9882 df-acn 9885 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-div 11820 df-nn 12161 df-2 12223 df-3 12224 df-n0 12421 df-z 12507 df-uz 12771 df-q 12881 df-rp 12923 df-ico 13277 df-icc 13278 df-fz 13432 df-fzo 13575 df-fl 13704 df-seq 13914 df-exp 13975 df-hash 14238 df-cj 14991 df-re 14992 df-im 14993 df-sqrt 15127 df-abs 15128 df-limsup 15360 df-clim 15377 df-rlim 15378 df-sum 15578 |
This theorem is referenced by: cnso 16136 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |