Theorem cpnnen 16441

Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cpnnen	⊢ ℂ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem cpnnen

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexpen 16440	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ
2		eleq1w 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∈ ℝ ↔ 𝑥 ∈ ℝ))
3		eleq1w 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
4	2, 3	bi2anan9 650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
5		oveq2 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (i · 𝑤) = (i · 𝑦))
6		oveq12 7460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ (i · 𝑤) = (i · 𝑦)) → (𝑣 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
7	5, 6	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (𝑣 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
8	7	eqeq2d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)) ↔ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
9	4, 8	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))))
10	9	cbvoprab12v 7541	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))}
11		df-mpo 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦))) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))}
12	10, 11	eqtr4i 2789	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))} = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
13	12	cnref1o 13153	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))}:(ℝ × ℝ)⟶1-1ontoℂ
14		reex 11330	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
15	14, 14	xpex 7799	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
16	15	f1oen 9037	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))}:(ℝ × ℝ)⟶1-1ontoℂ → (ℝ × ℝ) ≈ ℂ)
17	13, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℂ
18	1, 17	entr3i 9075	. 2 ⊢ ℝ ≈ ℂ
19		rpnnen 16439	. 2 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
20	18, 19	entr3i 9075	1 ⊢ ℂ ≈ 𝒫 ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5108   × cxp 5656  ⟶1-1ontowf1o 6565  (class class class)co 7451  {coprab 7452   ∈ cmpo 7453   ≈ cen 9008  ℂcc 11237  ℝcr 11238  ici 11241   + caddc 11242   · cmul 11244  ℕcn 12375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898

This theorem is used by:  cnso  16459