MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnnen 16118
Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
cpnnen โ„‚ โ‰ˆ ๐’ซ โ„•

Proof of Theorem cpnnen
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexpen 16117 . . 3 (โ„ ร— โ„) โ‰ˆ โ„
2 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ฃ โˆˆ โ„ โ†” ๐‘ฅ โˆˆ โ„))
3 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ค โˆˆ โ„ โ†” ๐‘ฆ โˆˆ โ„))
42, 3bi2anan9 638 . . . . . . . 8 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)))
5 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค = ๐‘ฆ โ†’ (i ยท ๐‘ค) = (i ยท ๐‘ฆ))
6 oveq12 7371 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง (i ยท ๐‘ค) = (i ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
75, 6sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)) = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
87eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)) โ†” ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))))
94, 8anbi12d 632 . . . . . . 7 ((๐‘ฃ = ๐‘ฅ โˆง ๐‘ค = ๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))))
109cbvoprab12v 7452 . . . . . 6 {โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))} = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))}
11 df-mpo 7367 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ))) = {โŸจโŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))}
1210, 11eqtr4i 2768 . . . . 5 {โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))} = (๐‘ฅ โˆˆ โ„, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ + (i ยท ๐‘ฆ)))
1312cnref1o 12917 . . . 4 {โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))}:(โ„ ร— โ„)โ€“1-1-ontoโ†’โ„‚
14 reex 11149 . . . . . 6 โ„ โˆˆ V
1514, 14xpex 7692 . . . . 5 (โ„ ร— โ„) โˆˆ V
1615f1oen 8920 . . . 4 ({โŸจโŸจ๐‘ฃ, ๐‘คโŸฉ, ๐‘งโŸฉ โˆฃ ((๐‘ฃ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„) โˆง ๐‘ง = (๐‘ฃ + (i ยท ๐‘ค)))}:(โ„ ร— โ„)โ€“1-1-ontoโ†’โ„‚ โ†’ (โ„ ร— โ„) โ‰ˆ โ„‚)
1713, 16ax-mp 5 . . 3 (โ„ ร— โ„) โ‰ˆ โ„‚
181, 17entr3i 8957 . 2 โ„ โ‰ˆ โ„‚
19 rpnnen 16116 . 2 โ„ โ‰ˆ ๐’ซ โ„•
2018, 19entr3i 8957 1 โ„‚ โ‰ˆ ๐’ซ โ„•
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ๐’ซ cpw 4565   class class class wbr 5110   ร— cxp 5636  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6500  (class class class)co 7362  {coprab 7363   โˆˆ cmpo 7364   โ‰ˆ cen 8887  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063  โ„•cn 12160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  cnso  16136
  Copyright terms: Public domain W3C validator