Theorem cpnnen 16198

Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cpnnen	⊢ ℂ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem cpnnen

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexpen 16197	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ
2		eleq1w 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∈ ℝ ↔ 𝑥 ∈ ℝ))
3		eleq1w 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
4	2, 3	bi2anan9 639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
5		oveq2 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (i · 𝑤) = (i · 𝑦))
6		oveq12 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ (i · 𝑤) = (i · 𝑦)) → (𝑣 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
7	5, 6	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (𝑣 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
8	7	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)) ↔ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
9	4, 8	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))))
10	9	cbvoprab12v 7459	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))}
11		df-mpo 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦))) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))}
12	10, 11	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))} = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
13	12	cnref1o 12937	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))}:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
14		reex 11131	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
15	14, 14	xpex 7709	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
16	15	f1oen 8921	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))}:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → (ℝ × ℝ) ≈ ℂ)
17	13, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℂ
18	1, 17	entr3i 8959	. 2 ⊢ ℝ ≈ ℂ
19		rpnnen 16196	. 2 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
20	18, 19	entr3i 8959	1 ⊢ ℂ ≈ 𝒫 ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   × cxp 5630  –1-1-onto→wf1o 6499  (class class class)co 7369  {coprab 7370   ∈ cmpo 7371   ≈ cen 8892  ℂcc 11038  ℝcr 11039  ici 11042   + caddc 11043   · cmul 11045  ℕcn 12176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9865  df-acn 9868  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-div 11810  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-n0 12440  df-z 12527  df-uz 12791  df-q 12901  df-rp 12945  df-ico 13306  df-icc 13307  df-fz 13464  df-fzo 13611  df-fl 13753  df-seq 13966  df-exp 14026  df-hash 14295  df-cj 15063  df-re 15064  df-im 15065  df-sqrt 15199  df-abs 15200  df-limsup 15435  df-clim 15452  df-rlim 15453  df-sum 15651

This theorem is referenced by:  cnso  16216