MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnnen 15164
Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
cpnnen ℂ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem cpnnen
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexpen 15163 . . 3 (ℝ × ℝ) ≈ ℝ
2 eleq1w 2833 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∈ ℝ ↔ 𝑥 ∈ ℝ))
3 eleq1w 2833 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
42, 3bi2anan9 620 . . . . . . . 8 ((𝑣 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
5 oveq2 6804 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (i · 𝑤) = (i · 𝑦))
6 oveq12 6805 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 = 𝑥 ∧ (i · 𝑤) = (i · 𝑦)) → (𝑣 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
75, 6sylan2 580 . . . . . . . . 9 ((𝑣 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → (𝑣 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
87eqeq2d 2781 . . . . . . . 8 ((𝑣 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → (𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)) ↔ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
94, 8anbi12d 616 . . . . . . 7 ((𝑣 = 𝑥𝑤 = 𝑦) → (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))))
109cbvoprab12v 6881 . . . . . 6 {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))}
11 df-mpt2 6801 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦))) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))}
1210, 11eqtr4i 2796 . . . . 5 {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))} = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
1312cnref1o 12030 . . . 4 {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))}:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
14 reex 10233 . . . . . 6 ℝ ∈ V
1514, 14xpex 7113 . . . . 5 (ℝ × ℝ) ∈ V
1615f1oen 8134 . . . 4 ({⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))}:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → (ℝ × ℝ) ≈ ℂ)
1713, 16ax-mp 5 . . 3 (ℝ × ℝ) ≈ ℂ
181, 17entr3i 8169 . 2 ℝ ≈ ℂ
19 rpnnen 15162 . 2 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
2018, 19entr3i 8169 1 ℂ ≈ 𝒫 ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  𝒫 cpw 4298   class class class wbr 4787   × cxp 5248  1-1-ontowf1o 6029  (class class class)co 6796  {coprab 6797  cmpt2 6798  cen 8110  cc 10140  cr 10141  ici 10144   + caddc 10145   · cmul 10147  cn 11226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625
This theorem is referenced by:  cnso  15182
  Copyright terms: Public domain W3C validator