Theorem cpnnen 15581

Description: The complex numbers are equinumerous to the powerset of the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cpnnen	⊢ ℂ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem cpnnen

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexpen 15580	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℝ
2		eleq1w 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 ∈ ℝ ↔ 𝑥 ∈ ℝ))
3		eleq1w 2895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
4	2, 3	bi2anan9 637	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)))
5		oveq2 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (i · 𝑤) = (i · 𝑦))
6		oveq12 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ (i · 𝑤) = (i · 𝑦)) → (𝑣 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
7	5, 6	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (𝑣 + (i · 𝑤)) = (𝑥 + (i · 𝑦)))
8	7	eqeq2d 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)) ↔ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦))))
9	4, 8	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦) → (((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤))) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))))
10	9	cbvoprab12v 7243	. . . . . 6 ⊢ {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))}
11		df-mpo 7160	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦))) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)))}
12	10, 11	eqtr4i 2847	. . . . 5 ⊢ {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))} = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
13	12	cnref1o 12383	. . . 4 ⊢ {⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))}:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
14		reex 10627	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
15	14, 14	xpex 7475	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
16	15	f1oen 8529	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝑣, 𝑤⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 = (𝑣 + (i · 𝑤)))}:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → (ℝ × ℝ) ≈ ℂ)
17	13, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (ℝ × ℝ) ≈ ℂ
18	1, 17	entr3i 8564	. 2 ⊢ ℝ ≈ ℂ
19		rpnnen 15579	. 2 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
20	18, 19	entr3i 8564	1 ⊢ ℂ ≈ 𝒫 ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5065   × cxp 5552  –1-1-onto→wf1o 6353  (class class class)co 7155  {coprab 7156   ∈ cmpo 7157   ≈ cen 8505  ℂcc 10534  ℝcr 10535  ici 10538   + caddc 10539   · cmul 10541  ℕcn 11637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042

This theorem is referenced by:  cnso  15599