Theorem erng1r 42053

Description: The division ring unity of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erng1r.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erng1r.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erng1r.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng1r.r	⊢ 1 = (1r‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erng1r	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 1 = ( I ↾ 𝑇))

Proof of Theorem erng1r

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erng1r.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erng1r.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendoidcl 41827	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
5		erng1r.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
7	1, 2, 3, 5, 6	erngbase 41859	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
8	4, 7	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
11	9, 1, 2, 3, 10	tendo1ne0 41886	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
13	9, 1, 2, 5, 10, 12	erng0g 42052	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
14	11, 13	neeqtrrd 3029	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷))
15		id 23	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
17	1, 2, 3, 5, 16	erngmul 41864	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
18	15, 4, 4, 17	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
19		f1oi 6863	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
20		f1of 6824	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
21		fcoi2 6757	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
22	19, 20, 21	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)
23	18, 22	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
24	8, 14, 23	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)))
25	1, 5	erngdv 42051	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)
26		erng1r.r	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
27	6, 16, 12, 26	drngid2 21010	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ 1 = ( I ↾ 𝑇)))
28	25, 27	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ 1 = ( I ↾ 𝑇)))
29	24, 28	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 1 = ( I ↾ 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   ↾ cres 5652   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  DivRingcdr 20980  HLchlt 40408  LHypclh 41042  LTrncltrn 41159  TEndoctendo 41810  EDRingcedring 41811

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-riotaBAD 40011

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-undef 8290  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-drng 20982  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409  df-llines 40556  df-lplanes 40557  df-lvols 40558  df-lines 40559  df-psubsp 40561  df-pmap 40562  df-padd 40854  df-lhyp 41046  df-laut 41047  df-ldil 41162  df-ltrn 41163  df-trl 41217  df-tendo 41813  df-edring 41815

This theorem is used by:  tendolinv  42163  tendorinv  42164  dvhlveclem  42166