Theorem erng1r 41853

Description: The division ring unity of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erng1r.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
erng1r.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
erng1r.d	⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
erng1r.r	⊢ 1 = (1r‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
erng1r	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 1 = ( I ↾ 𝑇))

Proof of Theorem erng1r

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erng1r.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		erng1r.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
4	1, 2, 3	tendoidcl 41627	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
5		erng1r.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
7	1, 2, 3, 5, 6	erngbase 41659	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
8	4, 7	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
9		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
11	9, 1, 2, 3, 10	tendo1ne0 41686	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
12		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
13	9, 1, 2, 5, 10, 12	erng0g 41852	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
14	11, 13	neeqtrrd 3031	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷))
15		id 23	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
17	1, 2, 3, 5, 16	erngmul 41664	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
18	15, 4, 4, 17	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
19		f1oi 6860	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
20		f1of 6821	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
21		fcoi2 6754	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
22	19, 20, 21	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)
23	18, 22	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
24	8, 14, 23	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)))
25	1, 5	erngdv 41851	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)
26		erng1r.r	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
27	6, 16, 12, 26	drngid2 20918	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ 1 = ( I ↾ 𝑇)))
28	25, 27	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇)(.r‘𝐷)( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ 1 = ( I ↾ 𝑇)))
29	24, 28	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 1 = ( I ↾ 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ↦ cmpt 5190   I cid 5553   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ⟶wf 6533  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17303  ._rcmulr 17345  0_gc0g 17526  1_rcur 20319  DivRingcdr 20889  HLchlt 40208  LHypclh 40842  LTrncltrn 40959  TEndoctendo 41610  EDRingcedring 41611

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39811

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-0g 17528  df-proset 18384  df-poset 18403  df-plt 18418  df-lub 18434  df-glb 18435  df-join 18436  df-meet 18437  df-p0 18513  df-p1 18514  df-lat 18522  df-clat 18589  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-drng 20891  df-oposet 40034  df-ol 40036  df-oml 40037  df-covers 40124  df-ats 40125  df-atl 40156  df-cvlat 40180  df-hlat 40209  df-llines 40356  df-lplanes 40357  df-lvols 40358  df-lines 40359  df-psubsp 40361  df-pmap 40362  df-padd 40654  df-lhyp 40846  df-laut 40847  df-ldil 40962  df-ltrn 40963  df-trl 41017  df-tendo 41613  df-edring 41615

This theorem is used by:  tendolinv  41963  tendorinv  41964  dvhlveclem  41966