Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erng1r Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erng1r 39861
Description: The division ring unity of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erng1r.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
erng1r.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1r.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1r.r 1 = (1rβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
erng1r ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 1 = ( I β†Ύ 𝑇))
Proof of Theorem erng1r
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erng1r.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erng1r.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 eqid 2732 . . . . 5 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3tendoidcl 39635 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5 erng1r.d . . . . 5 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
71, 2, 3, 5, 6erngbase 39667 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
84, 7eleqtrrd 2836 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·))
9 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
10 eqid 2732 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
119, 1, 2, 3, 10tendo1ne0 39694 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
12 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
139, 1, 2, 5, 10, 12erng0g 39860 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜π·) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
1411, 13neeqtrrd 3015 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·))
15 id 22 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
171, 2, 3, 5, 16erngmul 39672 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
1815, 4, 4, 17syl12anc 835 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
19 f1oi 6871 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
20 f1of 6833 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
21 fcoi2 6766 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡ β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇))
2219, 20, 21mp2b 10 . . . 4 (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)
2318, 22eqtrdi 2788 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇))
248, 14, 233jca 1128 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)))
251, 5erngdv 39859 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
26 erng1r.r . . . 4 1 = (1rβ€˜π·)
276, 16, 12, 26drngid2 20377 . . 3 (𝐷 ∈ DivRing β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)) ↔ 1 = ( I β†Ύ 𝑇)))
2825, 27syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)) ↔ 1 = ( I β†Ύ 𝑇)))
2924, 28mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 1 = ( I β†Ύ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  1rcur 20003  DivRingcdr 20356  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  TEndoctendo 39618  EDRingcedring 39619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tendo 39621  df-edring 39623
This theorem is referenced by:  tendolinv  39971  tendorinv  39972  dvhlveclem  39974
  Copyright terms: Public domain W3C validator