Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erng1r Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erng1r 40370
Description: The division ring unity of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erng1r.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
erng1r.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1r.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1r.r 1 = (1rβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
erng1r ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 1 = ( I β†Ύ 𝑇))
Proof of Theorem erng1r
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erng1r.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erng1r.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 eqid 2724 . . . . 5 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3tendoidcl 40144 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5 erng1r.d . . . . 5 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
71, 2, 3, 5, 6erngbase 40176 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
84, 7eleqtrrd 2828 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·))
9 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
10 eqid 2724 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
119, 1, 2, 3, 10tendo1ne0 40203 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
12 eqid 2724 . . . . 5 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
139, 1, 2, 5, 10, 12erng0g 40369 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜π·) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
1411, 13neeqtrrd 3007 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·))
15 id 22 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 eqid 2724 . . . . . 6 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
171, 2, 3, 5, 16erngmul 40181 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
1815, 4, 4, 17syl12anc 834 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
19 f1oi 6862 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
20 f1of 6824 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
21 fcoi2 6757 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡ β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇))
2219, 20, 21mp2b 10 . . . 4 (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)
2318, 22eqtrdi 2780 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇))
248, 14, 233jca 1125 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)))
251, 5erngdv 40368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
26 erng1r.r . . . 4 1 = (1rβ€˜π·)
276, 16, 12, 26drngid2 20604 . . 3 (𝐷 ∈ DivRing β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)) ↔ 1 = ( I β†Ύ 𝑇)))
2825, 27syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)) ↔ 1 = ( I β†Ύ 𝑇)))
2924, 28mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 1 = ( I β†Ύ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   ↦ cmpt 5222   I cid 5564   β†Ύ cres 5669   ∘ ccom 5671  βŸΆwf 6530  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6533  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  0gc0g 17390  1rcur 20082  DivRingcdr 20583  HLchlt 38724  LHypclh 39359  LTrncltrn 39476  TEndoctendo 40127  EDRingcedring 40128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-riotaBAD 38327
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-p1 18387  df-lat 18393  df-clat 18460  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-oposet 38550  df-ol 38552  df-oml 38553  df-covers 38640  df-ats 38641  df-atl 38672  df-cvlat 38696  df-hlat 38725  df-llines 38873  df-lplanes 38874  df-lvols 38875  df-lines 38876  df-psubsp 38878  df-pmap 38879  df-padd 39171  df-lhyp 39363  df-laut 39364  df-ldil 39479  df-ltrn 39480  df-trl 39534  df-tendo 40130  df-edring 40132
This theorem is referenced by:  tendolinv  40480  tendorinv  40481  dvhlveclem  40483
  Copyright terms: Public domain W3C validator