Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  erng1r Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem erng1r 40468
Description: The division ring unity of an endomorphism ring. (Contributed by NM, 5-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erng1r.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
erng1r.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1r.d 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
erng1r.r 1 = (1rβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
erng1r ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 1 = ( I β†Ύ 𝑇))
Proof of Theorem erng1r
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 erng1r.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 erng1r.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 eqid 2728 . . . . 5 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3tendoidcl 40242 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5 erng1r.d . . . . 5 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
71, 2, 3, 5, 6erngbase 40274 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
84, 7eleqtrrd 2832 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·))
9 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
10 eqid 2728 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
119, 1, 2, 3, 10tendo1ne0 40301 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
12 eqid 2728 . . . . 5 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
139, 1, 2, 5, 10, 12erng0g 40467 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜π·) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
1411, 13neeqtrrd 3012 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·))
15 id 22 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 eqid 2728 . . . . . 6 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
171, 2, 3, 5, 16erngmul 40279 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
1815, 4, 4, 17syl12anc 836 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
19 f1oi 6877 . . . . 5 ( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
20 f1of 6839 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
21 fcoi2 6772 . . . . 5 (( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡ β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇))
2219, 20, 21mp2b 10 . . . 4 (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)
2318, 22eqtrdi 2784 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇))
248, 14, 233jca 1126 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)))
251, 5erngdv 40466 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
26 erng1r.r . . . 4 1 = (1rβ€˜π·)
276, 16, 12, 26drngid2 20645 . . 3 (𝐷 ∈ DivRing β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)) ↔ 1 = ( I β†Ύ 𝑇)))
2825, 27syl 17 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇)(.rβ€˜π·)( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)) ↔ 1 = ( I β†Ύ 𝑇)))
2924, 28mpbid 231 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 1 = ( I β†Ύ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   ↦ cmpt 5231   I cid 5575   β†Ύ cres 5680   ∘ ccom 5682  βŸΆwf 6544  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6547  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  .rcmulr 17234  0gc0g 17421  1rcur 20121  DivRingcdr 20624  HLchlt 38822  LHypclh 39457  LTrncltrn 39574  TEndoctendo 40225  EDRingcedring 40226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-drng 20626  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tendo 40228  df-edring 40230
This theorem is referenced by:  tendolinv  40578  tendorinv  40579  dvhlveclem  40581
  Copyright terms: Public domain W3C validator