Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringccatidALTV Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ringccatidALTV 47169
Description: Lemma for ringccatALTV 47170. (Contributed by AV, 14-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ringccatALTV.c 𝐢 = (RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)
ringccatidALTV.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
ringccatidALTV (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem ringccatidALTV
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ringccatidALTV.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
21a1i 11 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
3 eqidd 2725 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
4 eqidd 2725 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
5 ringccatALTV.c . . . 4 𝐢 = (RingCatALTVβ€˜π‘ˆ)
65fvexi 6895 . . 3 𝐢 ∈ V
76a1i 11 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
8 biid 261 . 2 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) ↔ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))))
9 simpl 482 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
105, 1, 9ringcbasALTV 47163 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring))
11 eleq2 2814 . . . . . . . 8 (𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring)))
12 elin 3956 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) ↔ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ Ring))
1312simprbi 496 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ π‘₯ ∈ Ring)
1411, 13syl6bi 253 . . . . . . 7 (𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ Ring))
1514com12 32 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ π‘₯ ∈ Ring))
1615adantl 481 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 = (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ π‘₯ ∈ Ring))
1710, 16mpd 15 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ Ring)
18 eqid 2724 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
1918idrhm 20382 . . . 4 (π‘₯ ∈ Ring β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯))
2017, 19syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯))
21 eqid 2724 . . . 4 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
22 simpr 484 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
235, 1, 9, 21, 22, 22ringchomALTV 47165 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯) = (π‘₯ RingHom π‘₯))
2420, 23eleqtrrd 2828 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
25 simpl 482 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
26 eqid 2724 . . . 4 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
27 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
28273ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
2928adantl 481 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
30 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
31303ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3231adantl 481 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
33 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
34273ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
35303ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
365, 1, 33, 21, 34, 35ringchomALTV 47165 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) = (𝑀 RingHom π‘₯))
3736eleq2d 2811 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↔ 𝑓 ∈ (𝑀 RingHom π‘₯)))
3837biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RingHom π‘₯)))
39383exp 1116 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RingHom π‘₯)))))
4039com14 96 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RingHom π‘₯)))))
41403ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RingHom π‘₯)))))
4241com13 88 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RingHom π‘₯)))))
43423imp 1108 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RingHom π‘₯)))
4443impcom 407 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RingHom π‘₯))
4520expcom 413 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯)))
4645adantl 481 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯)))
47463ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯)))
4847impcom 407 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯))
495, 1, 25, 26, 29, 32, 32, 44, 48ringccoALTV 47168 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓))
50 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
51 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
52 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
535, 1, 50, 21, 51, 52elringchomALTV 47166 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯)))
5453ex 412 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯))))
5554com13 88 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯))))
56 fcoi2 6756 . . . . . . . . 9 (𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)
5755, 56syl8 76 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)))
58573ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)))
5958com12 32 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)))
6059a1d 25 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓))))
61603imp 1108 . . . 4 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓))
6261impcom 407 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)
6349, 62eqtrd 2764 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = 𝑓)
64 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
6530adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
66653ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
67 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
68673ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
6946adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯)))
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯))))
71703imp 1108 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RingHom π‘₯))
72 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
7365adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
7467adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
755, 1, 72, 21, 73, 74ringchomALTV 47165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
7675eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))
7776biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))
7877ex 412 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦))))
7978com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦))))
80793imp 1108 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦))
815, 1, 64, 26, 66, 66, 68, 71, 80ringccoALTV 47168 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = (𝑔 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))))
825, 1, 72, 21, 73, 74elringchomALTV 47166 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
8382ex 412 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
8483com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
85843imp 1108 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
86 fcoi1 6755 . . . . . . . . 9 (𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦) β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)
8785, 86syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)
8881, 87eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)
89883exp 1116 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)))
90893ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)))
9190expdcom 414 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔))))
92913imp 1108 . . 3 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔))
9392impcom 407 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)
94 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
95943ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
965, 1, 33, 21, 35, 95ringchomALTV 47165 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
9796eleq2d 2811 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))
9897biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))
99983exp 1116 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))))
10099com14 96 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))))
1011003ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))))
102101com13 88 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))))
1031023imp 1108 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))
104103impcom 407 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦))
105 rhmco 20393 . . . 4 ((𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 RingHom π‘₯)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀 RingHom 𝑦))
106104, 44, 105syl2anc 583 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀 RingHom 𝑦))
107943ad2ant2 1131 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
108107adantl 481 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1095, 1, 25, 26, 29, 32, 108, 44, 104ringccoALTV 47168 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
1105, 1, 25, 21, 29, 108ringchomALTV 47165 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦) = (𝑀 RingHom 𝑦))
111106, 109, 1103eltr4d 2840 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦))
112 coass 6254 . . . 4 ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓))
113 simp2r 1197 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
114113adantl 481 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
115 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
1165, 1, 33, 21, 95, 115ringchomALTV 47165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
117116eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ↔ β„Ž ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
118117biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
1191183exp 1116 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))))
120119com14 96 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))))
1211203ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))))
122121com13 88 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))))
1231223imp 1108 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
124123impcom 407 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))
125 rhmco 20393 . . . . . 6 ((β„Ž ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
126124, 104, 125syl2anc 583 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
1275, 1, 25, 26, 29, 32, 114, 44, 126ringccoALTV 47168 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓))
1285, 1, 25, 26, 29, 108, 114, 106, 124ringccoALTV 47168 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓)))
129112, 127, 1283eqtr4a 2790 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
1305, 1, 25, 26, 32, 108, 114, 104, 124ringccoALTV 47168 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔) = (β„Ž ∘ 𝑔))
131130oveq1d 7416 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓))
132109oveq2d 7417 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
133129, 131, 1323eqtr4d 2774 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)))
1342, 3, 4, 7, 8, 24, 63, 93, 111, 133iscatd2 17624 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ∩ cin 3939  βŸ¨cop 4626   ↦ cmpt 5221   I cid 5563   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  Hom chom 17207  compcco 17208  Catccat 17607  Idccid 17608  Ringcrg 20128   RingHom crh 20361  RingCatALTVcringcALTV 47150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-cat 17611  df-cid 17612  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-grp 18856  df-ghm 19129  df-mgp 20030  df-ur 20077  df-ring 20130  df-rhm 20364  df-ringcALTV 47151
This theorem is referenced by:  ringccatALTV  47170  ringcidALTV  47171
  Copyright terms: Public domain W3C validator