MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setccatid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem setccatid 18030
Description: Lemma for setccat 18031. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
setccat.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
setccatid (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ ( I β†Ύ π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem setccatid
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setccat.c . . 3 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
2 id 22 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
31, 2setcbas 18024 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
4 eqidd 2733 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
5 eqidd 2733 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
61fvexi 6902 . . 3 𝐢 ∈ V
76a1i 11 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
8 biid 260 . 2 (((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) ↔ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))))
9 f1oi 6868 . . . 4 ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯
10 f1of 6830 . . . 4 (( I β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯)
119, 10mp1i 13 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯)
12 simpl 483 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
13 eqid 2732 . . . 4 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
14 simpr 485 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
151, 12, 13, 14, 14elsetchom 18027 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (( I β†Ύ π‘₯) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↔ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯))
1611, 15mpbird 256 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ π‘₯) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
17 simpl 483 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
18 eqid 2732 . . . 4 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
19 simpr1l 1230 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
20 simpr1r 1231 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
21 simpr31 1263 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
221, 17, 13, 19, 20elsetchom 18027 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↔ 𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯))
2321, 22mpbid 231 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯)
249, 10mp1i 13 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯)
251, 17, 18, 19, 20, 20, 23, 24setcco 18029 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ π‘₯)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = (( I β†Ύ π‘₯) ∘ 𝑓))
26 fcoi2 6763 . . . 4 (𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯ β†’ (( I β†Ύ π‘₯) ∘ 𝑓) = 𝑓)
2723, 26syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ π‘₯) ∘ 𝑓) = 𝑓)
2825, 27eqtrd 2772 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ π‘₯)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = 𝑓)
29 simpr2l 1232 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
30 simpr32 1264 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
311, 17, 13, 20, 29elsetchom 18027 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ 𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦))
3230, 31mpbid 231 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦)
331, 17, 18, 20, 20, 29, 24, 32setcco 18029 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ π‘₯)) = (𝑔 ∘ ( I β†Ύ π‘₯)))
34 fcoi1 6762 . . . 4 (𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦ β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ π‘₯)) = 𝑔)
3532, 34syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ π‘₯)) = 𝑔)
3633, 35eqtrd 2772 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ π‘₯)) = 𝑔)
371, 17, 18, 19, 20, 29, 23, 32setcco 18029 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
38 fco 6738 . . . . 5 ((𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦ ∧ 𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓):π‘€βŸΆπ‘¦)
3932, 23, 38syl2anc 584 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓):π‘€βŸΆπ‘¦)
401, 17, 13, 19, 29elsetchom 18027 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ (𝑔 ∘ 𝑓):π‘€βŸΆπ‘¦))
4139, 40mpbird 256 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4237, 41eqeltrd 2833 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦))
43 coass 6261 . . . 4 ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓))
44 simpr2r 1233 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
45 simpr33 1265 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
461, 17, 13, 29, 44elsetchom 18027 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ↔ β„Ž:π‘¦βŸΆπ‘§))
4745, 46mpbid 231 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ β„Ž:π‘¦βŸΆπ‘§)
48 fco 6738 . . . . . 6 ((β„Ž:π‘¦βŸΆπ‘§ ∧ 𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔):π‘₯βŸΆπ‘§)
4947, 32, 48syl2anc 584 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔):π‘₯βŸΆπ‘§)
501, 17, 18, 19, 20, 44, 23, 49setcco 18029 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓))
511, 17, 18, 19, 29, 44, 39, 47setcco 18029 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓)))
5243, 50, 513eqtr4a 2798 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
531, 17, 18, 20, 29, 44, 32, 47setcco 18029 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔) = (β„Ž ∘ 𝑔))
5453oveq1d 7420 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓))
5537oveq2d 7421 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
5652, 54, 553eqtr4d 2782 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)))
573, 4, 5, 7, 8, 16, 28, 36, 42, 56iscatd2 17621 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ ( I β†Ύ π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6539  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Hom chom 17204  compcco 17205  Catccat 17604  Idccid 17605  SetCatcsetc 18021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-hom 17217  df-cco 17218  df-cat 17608  df-cid 17609  df-setc 18022
This theorem is referenced by:  setccat  18031  setcid  18032
  Copyright terms: Public domain W3C validator