MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setccatid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem setccatid 18072
Description: Lemma for setccat 18073. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
setccat.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
setccatid (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ ( I β†Ύ π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem setccatid
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setccat.c . . 3 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
2 id 22 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
31, 2setcbas 18066 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
4 eqidd 2726 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
5 eqidd 2726 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
61fvexi 6906 . . 3 𝐢 ∈ V
76a1i 11 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
8 biid 260 . 2 (((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) ↔ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))))
9 f1oi 6872 . . . 4 ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯
10 f1of 6834 . . . 4 (( I β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯)
119, 10mp1i 13 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯)
12 simpl 481 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
13 eqid 2725 . . . 4 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
14 simpr 483 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
151, 12, 13, 14, 14elsetchom 18069 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (( I β†Ύ π‘₯) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↔ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯))
1611, 15mpbird 256 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ π‘₯) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
17 simpl 481 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
18 eqid 2725 . . . 4 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
19 simpr1l 1227 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
20 simpr1r 1228 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
21 simpr31 1260 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
221, 17, 13, 19, 20elsetchom 18069 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↔ 𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯))
2321, 22mpbid 231 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯)
249, 10mp1i 13 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯)
251, 17, 18, 19, 20, 20, 23, 24setcco 18071 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ π‘₯)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = (( I β†Ύ π‘₯) ∘ 𝑓))
26 fcoi2 6767 . . . 4 (𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯ β†’ (( I β†Ύ π‘₯) ∘ 𝑓) = 𝑓)
2723, 26syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ π‘₯) ∘ 𝑓) = 𝑓)
2825, 27eqtrd 2765 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ π‘₯)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = 𝑓)
29 simpr2l 1229 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
30 simpr32 1261 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
311, 17, 13, 20, 29elsetchom 18069 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ 𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦))
3230, 31mpbid 231 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦)
331, 17, 18, 20, 20, 29, 24, 32setcco 18071 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ π‘₯)) = (𝑔 ∘ ( I β†Ύ π‘₯)))
34 fcoi1 6766 . . . 4 (𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦ β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ π‘₯)) = 𝑔)
3532, 34syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ π‘₯)) = 𝑔)
3633, 35eqtrd 2765 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ π‘₯)) = 𝑔)
371, 17, 18, 19, 20, 29, 23, 32setcco 18071 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
38 fco 6742 . . . . 5 ((𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦ ∧ 𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓):π‘€βŸΆπ‘¦)
3932, 23, 38syl2anc 582 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓):π‘€βŸΆπ‘¦)
401, 17, 13, 19, 29elsetchom 18069 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ (𝑔 ∘ 𝑓):π‘€βŸΆπ‘¦))
4139, 40mpbird 256 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4237, 41eqeltrd 2825 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦))
43 coass 6264 . . . 4 ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓))
44 simpr2r 1230 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
45 simpr33 1262 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
461, 17, 13, 29, 44elsetchom 18069 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ↔ β„Ž:π‘¦βŸΆπ‘§))
4745, 46mpbid 231 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ β„Ž:π‘¦βŸΆπ‘§)
48 fco 6742 . . . . . 6 ((β„Ž:π‘¦βŸΆπ‘§ ∧ 𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔):π‘₯βŸΆπ‘§)
4947, 32, 48syl2anc 582 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔):π‘₯βŸΆπ‘§)
501, 17, 18, 19, 20, 44, 23, 49setcco 18071 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓))
511, 17, 18, 19, 29, 44, 39, 47setcco 18071 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓)))
5243, 50, 513eqtr4a 2791 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
531, 17, 18, 20, 29, 44, 32, 47setcco 18071 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔) = (β„Ž ∘ 𝑔))
5453oveq1d 7431 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓))
5537oveq2d 7432 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
5652, 54, 553eqtr4d 2775 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)))
573, 4, 5, 7, 8, 16, 28, 36, 42, 56iscatd2 17660 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ ( I β†Ύ π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5226   I cid 5569   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6539  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Hom chom 17243  compcco 17244  Catccat 17643  Idccid 17644  SetCatcsetc 18063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-hom 17256  df-cco 17257  df-cat 17647  df-cid 17648  df-setc 18064
This theorem is referenced by:  setccat  18073  setcid  18074
  Copyright terms: Public domain W3C validator