MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setccatid Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem setccatid 18046
Description: Lemma for setccat 18047. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
setccat.c 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
setccatid (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ ( I β†Ύ π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem setccatid
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setccat.c . . 3 𝐢 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
2 id 22 . . 3 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
31, 2setcbas 18040 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΆ))
4 eqidd 2727 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
5 eqidd 2727 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
61fvexi 6899 . . 3 𝐢 ∈ V
76a1i 11 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
8 biid 261 . 2 (((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) ↔ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))))
9 f1oi 6865 . . . 4 ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯
10 f1of 6827 . . . 4 (( I β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯)
119, 10mp1i 13 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯)
12 simpl 482 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
13 eqid 2726 . . . 4 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
14 simpr 484 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
151, 12, 13, 14, 14elsetchom 18043 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (( I β†Ύ π‘₯) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↔ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯))
1611, 15mpbird 257 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ( I β†Ύ π‘₯) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
17 simpl 482 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
18 eqid 2726 . . . 4 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
19 simpr1l 1227 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)
20 simpr1r 1228 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
21 simpr31 1260 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
221, 17, 13, 19, 20elsetchom 18043 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↔ 𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯))
2321, 22mpbid 231 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯)
249, 10mp1i 13 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ( I β†Ύ π‘₯):π‘₯⟢π‘₯)
251, 17, 18, 19, 20, 20, 23, 24setcco 18045 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ π‘₯)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = (( I β†Ύ π‘₯) ∘ 𝑓))
26 fcoi2 6760 . . . 4 (𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯ β†’ (( I β†Ύ π‘₯) ∘ 𝑓) = 𝑓)
2723, 26syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ π‘₯) ∘ 𝑓) = 𝑓)
2825, 27eqtrd 2766 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ π‘₯)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = 𝑓)
29 simpr2l 1229 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
30 simpr32 1261 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
311, 17, 13, 20, 29elsetchom 18043 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ 𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦))
3230, 31mpbid 231 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦)
331, 17, 18, 20, 20, 29, 24, 32setcco 18045 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ π‘₯)) = (𝑔 ∘ ( I β†Ύ π‘₯)))
34 fcoi1 6759 . . . 4 (𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦ β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ π‘₯)) = 𝑔)
3532, 34syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ π‘₯)) = 𝑔)
3633, 35eqtrd 2766 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ π‘₯)) = 𝑔)
371, 17, 18, 19, 20, 29, 23, 32setcco 18045 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
38 fco 6735 . . . . 5 ((𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦ ∧ 𝑓:π‘€βŸΆπ‘₯) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓):π‘€βŸΆπ‘¦)
3932, 23, 38syl2anc 583 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓):π‘€βŸΆπ‘¦)
401, 17, 13, 19, 29elsetchom 18043 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ (𝑔 ∘ 𝑓):π‘€βŸΆπ‘¦))
4139, 40mpbird 257 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦))
4237, 41eqeltrd 2827 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦))
43 coass 6258 . . . 4 ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓))
44 simpr2r 1230 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
45 simpr33 1262 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
461, 17, 13, 29, 44elsetchom 18043 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ↔ β„Ž:π‘¦βŸΆπ‘§))
4745, 46mpbid 231 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ β„Ž:π‘¦βŸΆπ‘§)
48 fco 6735 . . . . . 6 ((β„Ž:π‘¦βŸΆπ‘§ ∧ 𝑔:π‘₯βŸΆπ‘¦) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔):π‘₯βŸΆπ‘§)
4947, 32, 48syl2anc 583 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔):π‘₯βŸΆπ‘§)
501, 17, 18, 19, 20, 44, 23, 49setcco 18045 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓))
511, 17, 18, 19, 29, 44, 39, 47setcco 18045 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓)))
5243, 50, 513eqtr4a 2792 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
531, 17, 18, 20, 29, 44, 32, 47setcco 18045 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔) = (β„Ž ∘ 𝑔))
5453oveq1d 7420 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓))
5537oveq2d 7421 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
5652, 54, 553eqtr4d 2776 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ π‘ˆ) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)))
573, 4, 5, 7, 8, 16, 28, 36, 42, 56iscatd2 17634 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ π‘ˆ ↦ ( I β†Ύ π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βŸ¨cop 4629   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Hom chom 17217  compcco 17218  Catccat 17617  Idccid 17618  SetCatcsetc 18037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-hom 17230  df-cco 17231  df-cat 17621  df-cid 17622  df-setc 18038
This theorem is referenced by:  setccat  18047  setcid  18048
  Copyright terms: Public domain W3C validator