Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngccatidALTV Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rngccatidALTV 46841
Description: Lemma for rngccatALTV 46842. (New usage is discouraged.) (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngccatALTV.c 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
rngccatidALTV.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
rngccatidALTV (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem rngccatidALTV
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rngccatidALTV.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
21a1i 11 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ))
3 eqidd 2734 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ))
4 eqidd 2734 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ))
5 rngccatALTV.c . . . 4 𝐢 = (RngCatALTVβ€˜π‘ˆ)
65fvexi 6903 . . 3 𝐢 ∈ V
76a1i 11 . 2 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ V)
8 biid 261 . 2 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) ↔ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))))
9 simpl 484 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
105, 1, 9rngcbasALTV 46835 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng))
11 eleq2 2823 . . . . . . . 8 (𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↔ π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng)))
12 elin 3964 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng) ↔ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ π‘₯ ∈ Rng))
1312simprbi 498 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ π‘₯ ∈ Rng)
1411, 13syl6bi 253 . . . . . . 7 (𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ Rng))
1514com12 32 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ π‘₯ ∈ Rng))
1615adantl 483 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝐡 = (π‘ˆ ∩ Rng) β†’ π‘₯ ∈ Rng))
1710, 16mpd 15 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ Rng)
18 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
1918idrnghm 46693 . . . 4 (π‘₯ ∈ Rng β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RngHomo π‘₯))
2017, 19syl 17 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RngHomo π‘₯))
21 eqid 2733 . . . 4 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
22 simpr 486 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
235, 1, 9, 21, 22, 22rngchomALTV 46837 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯) = (π‘₯ RngHomo π‘₯))
2420, 23eleqtrrd 2837 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
25 simpl 484 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
26 eqid 2733 . . . 4 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
27 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
28273ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
2928adantl 483 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
30 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
31303ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
3231adantl 483 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
33 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
34273ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
35303ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
365, 1, 33, 21, 34, 35rngchomALTV 46837 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) = (𝑀 RngHomo π‘₯))
3736eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ↔ 𝑓 ∈ (𝑀 RngHomo π‘₯)))
3837biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RngHomo π‘₯)))
39383exp 1120 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RngHomo π‘₯)))))
4039com14 96 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RngHomo π‘₯)))))
41403ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RngHomo π‘₯)))))
4241com13 88 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RngHomo π‘₯)))))
43423imp 1112 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RngHomo π‘₯)))
4443impcom 409 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀 RngHomo π‘₯))
4520expcom 415 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RngHomo π‘₯)))
4645adantl 483 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RngHomo π‘₯)))
47463ad2ant1 1134 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RngHomo π‘₯)))
4847impcom 409 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RngHomo π‘₯))
495, 1, 25, 26, 29, 32, 32, 44, 48rngccoALTV 46840 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓))
50 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
51 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑀 ∈ 𝐡)
52 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
535, 1, 50, 21, 51, 52elrngchomALTV 46838 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯)))
5453ex 414 . . . . . . . . . 10 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯))))
5554com13 88 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯))))
56 fcoi2 6764 . . . . . . . . 9 (𝑓:(Baseβ€˜π‘€)⟢(Baseβ€˜π‘₯) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)
5755, 56syl8 76 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)))
58573ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)))
5958com12 32 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)))
6059a1d 25 . . . . 5 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓))))
61603imp 1112 . . . 4 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓))
6261impcom 409 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∘ 𝑓) = 𝑓)
6349, 62eqtrd 2773 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = 𝑓)
64 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
6530adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
66653ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
67 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
68673ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
6946adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RngHomo π‘₯)))
7069a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RngHomo π‘₯))))
71703imp 1112 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)) ∈ (π‘₯ RngHomo π‘₯))
72 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
7365adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
7467adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
755, 1, 72, 21, 73, 74rngchomALTV 46837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) = (π‘₯ RngHomo 𝑦))
7675eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))
7776biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))
7877ex 414 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))))
7978com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))))
80793imp 1112 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))
815, 1, 64, 26, 66, 66, 68, 71, 80rngccoALTV 46840 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = (𝑔 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))))
825, 1, 72, 21, 73, 74elrngchomALTV 46838 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡))) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
8382ex 414 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
8483com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))))
85843imp 1112 . . . . . . . . 9 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
86 fcoi1 6763 . . . . . . . . 9 (𝑔:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦) β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)
8785, 86syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (𝑔 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)
8881, 87eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) ∧ π‘ˆ ∈ 𝑉) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)
89883exp 1120 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)))
90893ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)))
9190expdcom 416 . . . 4 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔))))
92913imp 1112 . . 3 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔))
9392impcom 409 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯))) = 𝑔)
94 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
955, 1, 33, 21, 35, 94rngchomALTV 46837 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) = (π‘₯ RngHomo 𝑦))
9695eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ↔ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))
9796biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))
98973exp 1120 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))))
9998com14 96 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))))
100993ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))))
101100com13 88 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))))
1021013imp 1112 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)))
103102impcom 409 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦))
104 rnghmco 46692 . . . 4 ((𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦) ∧ 𝑓 ∈ (𝑀 RngHomo π‘₯)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀 RngHomo 𝑦))
105103, 44, 104syl2anc 585 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑀 RngHomo 𝑦))
106 simp2l 1200 . . . . 5 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
107106adantl 483 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
1085, 1, 25, 26, 29, 32, 107, 44, 103rngccoALTV 46840 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
1095, 1, 25, 21, 29, 107rngchomALTV 46837 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦) = (𝑀 RngHomo 𝑦))
110105, 108, 1093eltr4d 2849 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)𝑦))
111 coass 6262 . . . 4 ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓))
112 simp2r 1201 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
113112adantl 483 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
114 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
1155, 1, 33, 21, 94, 114rngchomALTV 46837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) = (𝑦 RngHomo 𝑧))
116115eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) ↔ β„Ž ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))
117116biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))
1181173exp 1120 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))))
119118com14 96 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))))
1201193ad2ant3 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))))
121120com13 88 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))))
1221213imp 1112 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))) β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧)))
123122impcom 409 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ β„Ž ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧))
124 rnghmco 46692 . . . . . 6 ((β„Ž ∈ (𝑦 RngHomo 𝑧) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑦)) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔) ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑧))
125123, 103, 124syl2anc 585 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž ∘ 𝑔) ∈ (π‘₯ RngHomo 𝑧))
1265, 1, 25, 26, 29, 32, 113, 44, 125rngccoALTV 46840 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔) ∘ 𝑓))
1275, 1, 25, 26, 29, 107, 113, 105, 123rngccoALTV 46840 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)) = (β„Ž ∘ (𝑔 ∘ 𝑓)))
128111, 126, 1273eqtr4a 2799 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
1295, 1, 25, 26, 32, 107, 113, 103, 123rngccoALTV 46840 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔) = (β„Ž ∘ 𝑔))
130129oveq1d 7421 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = ((β„Ž ∘ 𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓))
131108oveq2d 7422 . . 3 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔 ∘ 𝑓)))
132128, 130, 1313eqtr4d 2783 . 2 ((π‘ˆ ∈ 𝑉 ∧ ((𝑀 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)))
1332, 3, 4, 7, 8, 24, 63, 93, 110, 132iscatd2 17622 1 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜πΆ) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ( I β†Ύ (Baseβ€˜π‘₯)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3947  βŸ¨cop 4634   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  Hom chom 17205  compcco 17206  Catccat 17605  Idccid 17606  Rngcrng 46635   RngHomo crngh 46669  RngCatALTVcrngcALTV 46810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-cat 17609  df-cid 17610  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-grp 18819  df-ghm 19085  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-mgmhm 46536  df-rng 46636  df-rnghomo 46671  df-rngcALTV 46812
This theorem is referenced by:  rngccatALTV  46842  rngcidALTV  46843  rhmsubcALTVlem3  46958
  Copyright terms: Public domain W3C validator