Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk53b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk53b 37032
Description: Lemma for cdlemk53 37033. (Contributed by NM, 26-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk53b ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk53b
StepHypRef Expression
1 simp1l 1260 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp211 1416 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐹𝑇)
3 simp212 1417 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵))
42, 3jca 509 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
5 simp31 1272 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐼𝑇)
6 simp213 1418 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝑁𝑇)
7 simp23 1271 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp1r 1261 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
9 cdlemk5.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 cdlemk5.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
11 cdlemk5.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
12 cdlemk5.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
13 cdlemk5.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 cdlemk5.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
15 cdlemk5.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemk5.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
17 cdlemk5.z . . . . . . . 8 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
18 cdlemk5.y . . . . . . . 8 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
19 cdlemk5.x . . . . . . . 8 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
209, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk35s-id 37014 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝐼𝑇𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
211, 4, 5, 6, 7, 8, 20syl132anc 1513 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
229, 14, 15ltrn1o 36200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇) → 𝐼 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
231, 21, 22syl2anc 581 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐼 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
2423adantr 474 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵)
25 f1of 6379 . . . 4 (𝐼 / 𝑔𝑋:𝐵1-1-onto𝐵𝐼 / 𝑔𝑋:𝐵𝐵)
26 fcoi2 6317 . . . 4 (𝐼 / 𝑔𝑋:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐼 / 𝑔𝑋) = 𝐼 / 𝑔𝑋)
2724, 25, 263syl 18 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐼 / 𝑔𝑋) = 𝐼 / 𝑔𝑋)
28 simpl1l 1299 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
292, 6, 83jca 1164 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
3029adantr 474 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)))
31 simpl23 1345 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
32 simpr 479 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))
339, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemkid 37012 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇 ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵))) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
3428, 30, 31, 32, 33syl112anc 1499 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺 / 𝑔𝑋 = ( I ↾ 𝐵))
3534coeq1d 5517 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐼 / 𝑔𝑋))
3632coeq1d 5517 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐼))
37 simpl31 1347 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼𝑇)
389, 14, 15ltrn1o 36200 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼𝑇) → 𝐼:𝐵1-1-onto𝐵)
3928, 37, 38syl2anc 581 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → 𝐼:𝐵1-1-onto𝐵)
40 f1of 6379 . . . . . 6 (𝐼:𝐵1-1-onto𝐵𝐼:𝐵𝐵)
41 fcoi2 6317 . . . . . 6 (𝐼:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐼) = 𝐼)
4239, 40, 413syl 18 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐼) = 𝐼)
4336, 42eqtrd 2862 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) = 𝐼)
4443csbeq1d 3765 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = 𝐼 / 𝑔𝑋)
4527, 35, 443eqtr4rd 2873 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 = ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
46 simpl1l 1299 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
474adantr 474 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
48 simpl22 1343 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺𝑇)
49 simpr 479 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
5048, 49jca 509 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
516adantr 474 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑁𝑇)
52 simpl23 1345 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
53 simpl1r 1301 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
54 simpl3 1252 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼)))
559, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdlemk53a 37031 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
5646, 47, 50, 51, 52, 53, 54, 55syl331anc 1520 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
5745, 56pm2.61dane 3087 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑁𝑇) ∧ 𝐺𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋 = (𝐺 / 𝑔𝑋𝐼 / 𝑔𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wne 3000  wral 3118  csb 3758   class class class wbr 4874   I cid 5250  ccnv 5342  cres 5345  ccom 5347  wf 6120  1-1-ontowf1o 6123  cfv 6124  crio 6866  (class class class)co 6906  Basecbs 16223  lecple 16313  joincjn 17298  meetcmee 17299  Atomscatm 35339  HLchlt 35426  LHypclh 36060  LTrncltrn 36177  trLctrl 36234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-riotaBAD 35029
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-undef 7665  df-map 8125  df-proset 17282  df-poset 17300  df-plt 17312  df-lub 17328  df-glb 17329  df-join 17330  df-meet 17331  df-p0 17393  df-p1 17394  df-lat 17400  df-clat 17462  df-oposet 35252  df-ol 35254  df-oml 35255  df-covers 35342  df-ats 35343  df-atl 35374  df-cvlat 35398  df-hlat 35427  df-llines 35574  df-lplanes 35575  df-lvols 35576  df-lines 35577  df-psubsp 35579  df-pmap 35580  df-padd 35872  df-lhyp 36064  df-laut 36065  df-ldil 36180  df-ltrn 36181  df-trl 36235
This theorem is referenced by:  cdlemk53  37033
  Copyright terms: Public domain W3C validator