MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmndmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmndmnd 18814
Description: The monoid of endofunctions on a set 𝐴 is actually a monoid. (Contributed by AV, 31-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ielefmnd.g 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
efmndmnd (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem efmndmnd
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ielefmnd.g . . . 4 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
21efmndsgrp 18811 . . 3 𝐺 ∈ Smgrp
32a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Smgrp)
41ielefmnd 18812 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
5 oveq1 7412 . . . . . . 7 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓))
65eqeq1d 2728 . . . . . 6 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ ((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓))
7 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)))
87eqeq1d 2728 . . . . . 6 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ ((𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓 ↔ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
96, 8anbi12d 630 . . . . 5 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓) ↔ ((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
109ralbidv 3171 . . . 4 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
1110adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
12 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
131, 12efmndbasf 18800 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ 𝑓:𝐴⟢𝐴)
1413adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑓:𝐴⟢𝐴)
15 fcoi2 6760 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴⟢𝐴 β†’ (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
16 fcoi1 6759 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴⟢𝐴 β†’ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)
1715, 16jca 511 . . . . . 6 (𝑓:𝐴⟢𝐴 β†’ ((( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
1814, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
19 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
201, 12, 19efmndov 18806 . . . . . . . 8 ((( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓))
214, 20sylan 579 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓))
2221eqeq1d 2728 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓))
234anim1ci 615 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
241, 12, 19efmndov 18806 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)))
2625eqeq1d 2728 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓 ↔ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
2722, 26anbi12d 630 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓) ↔ ((( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
2818, 27mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
2928ralrimiva 3140 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
304, 11, 29rspcedvd 3608 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓))
3112, 19ismnddef 18669 . 2 (𝐺 ∈ Mnd ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ βˆƒπ‘– ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓)))
323, 30, 31sylanbrc 582 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   I cid 5566   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Smgrpcsgrp 18651  Mndcmnd 18667  EndoFMndcefmnd 18793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-tset 17225  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-efmnd 18794
This theorem is referenced by:  efmnd0nmnd  18815  submefmnd  18820  sursubmefmnd  18821  injsubmefmnd  18822  idressubmefmnd  18823  idresefmnd  18824  symgsubmefmndALT  19323  efmndtmd  23960
  Copyright terms: Public domain W3C validator