MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmndmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmndmnd 18855
Description: The monoid of endofunctions on a set 𝐴 is actually a monoid. (Contributed by AV, 31-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ielefmnd.g 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
efmndmnd (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem efmndmnd
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ielefmnd.g . . . 4 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
21efmndsgrp 18852 . . 3 𝐺 ∈ Smgrp
32a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Smgrp)
41ielefmnd 18853 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
5 oveq1 7433 . . . . . . 7 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓))
65eqeq1d 2730 . . . . . 6 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ ((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓))
7 oveq2 7434 . . . . . . 7 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)))
87eqeq1d 2730 . . . . . 6 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ ((𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓 ↔ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
96, 8anbi12d 630 . . . . 5 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓) ↔ ((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
109ralbidv 3175 . . . 4 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
1110adantl 480 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
12 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
131, 12efmndbasf 18841 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ 𝑓:𝐴⟢𝐴)
1413adantl 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑓:𝐴⟢𝐴)
15 fcoi2 6777 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴⟢𝐴 β†’ (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
16 fcoi1 6776 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴⟢𝐴 β†’ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)
1715, 16jca 510 . . . . . 6 (𝑓:𝐴⟢𝐴 β†’ ((( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
1814, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
19 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
201, 12, 19efmndov 18847 . . . . . . . 8 ((( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓))
214, 20sylan 578 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓))
2221eqeq1d 2730 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓))
234anim1ci 614 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
241, 12, 19efmndov 18847 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)))
2625eqeq1d 2730 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓 ↔ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
2722, 26anbi12d 630 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓) ↔ ((( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
2818, 27mpbird 256 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
2928ralrimiva 3143 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
304, 11, 29rspcedvd 3613 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓))
3112, 19ismnddef 18705 . 2 (𝐺 ∈ Mnd ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ βˆƒπ‘– ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓)))
323, 30, 31sylanbrc 581 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   I cid 5579   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  Smgrpcsgrp 18687  Mndcmnd 18703  EndoFMndcefmnd 18834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-tset 17261  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-efmnd 18835
This theorem is referenced by:  efmnd0nmnd  18856  submefmnd  18861  sursubmefmnd  18862  injsubmefmnd  18863  idressubmefmnd  18864  idresefmnd  18865  symgsubmefmndALT  19372  efmndtmd  24033
  Copyright terms: Public domain W3C validator