Theorem efmndmnd 18443

Description: The monoid of endofunctions on a set 𝐴 is actually a monoid. (Contributed by AV, 31-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ielefmnd.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
efmndmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem efmndmnd

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ielefmnd.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndsgrp 18440	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Smgrp
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Smgrp)
4	1	ielefmnd 18441	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
5		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓))
6	5	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓))
7		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)))
8	7	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓 ↔ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
9	6, 8	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
10	9	ralbidv 3120	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = ( I ↾ 𝐴)) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
12		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	1, 12	efmndbasf 18429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
15		fcoi2 6633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
16		fcoi1 6632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
17	15, 16	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
18	14, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
19		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20	1, 12, 19	efmndov 18435	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
21	4, 20	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
22	21	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓))
23	4	anim1ci 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)))
24	1, 12, 19	efmndov 18435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
26	25	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓 ↔ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
27	22, 26	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
28	18, 27	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
29	28	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
30	4, 11, 29	rspcedvd 3555	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓))
31	12, 19	ismnddef 18302	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓)))
32	3, 30, 31	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   I cid 5479   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  Smgrpcsgrp 18289  Mndcmnd 18300  EndoFMndcefmnd 18422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-tset 16907  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-efmnd 18423

This theorem is referenced by:  efmnd0nmnd  18444  submefmnd  18449  sursubmefmnd  18450  injsubmefmnd  18451  idressubmefmnd  18452  idresefmnd  18453  symgsubmefmndALT  18926  efmndtmd  23160