Theorem efmndmnd 18852

Description: The monoid of endofunctions on a set 𝐴 is actually a monoid. (Contributed by AV, 31-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ielefmnd.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
efmndmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem efmndmnd

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ielefmnd.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndsgrp 18849	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Smgrp
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Smgrp)
4	1	ielefmnd 18850	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
5		oveq1 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓))
6	5	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓))
7		oveq2 7370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)))
8	7	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓 ↔ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
9	6, 8	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
10	9	ralbidv 3161	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = ( I ↾ 𝐴)) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
12		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	1, 12	efmndbasf 18838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
15		fcoi2 6711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
16		fcoi1 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
17	15, 16	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
18	14, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
19		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20	1, 12, 19	efmndov 18844	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
21	4, 20	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
22	21	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓))
23	4	anim1ci 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)))
24	1, 12, 19	efmndov 18844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
26	25	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓 ↔ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
27	22, 26	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
28	18, 27	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
29	28	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
30	4, 11, 29	rspcedvd 3567	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓))
31	12, 19	ismnddef 18699	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓)))
32	3, 30, 31	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   I cid 5520   ↾ cres 5628   ∘ ccom 5630  ⟶wf 6490  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Smgrpcsgrp 18681  Mndcmnd 18697  EndoFMndcefmnd 18831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-tset 17234  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-efmnd 18832

This theorem is referenced by:  efmnd0nmnd  18853  submefmnd  18858  sursubmefmnd  18859  injsubmefmnd  18860  idressubmefmnd  18861  idresefmnd  18862  symgsubmefmndALT  19373  efmndtmd  24080