Theorem efmndmnd 18766

Description: The monoid of endofunctions on a set 𝐴 is actually a monoid. (Contributed by AV, 31-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ielefmnd.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
efmndmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem efmndmnd

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ielefmnd.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndsgrp 18763	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Smgrp
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Smgrp)
4	1	ielefmnd 18764	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
5		oveq1 7412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓))
6	5	eqeq1d 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓))
7		oveq2 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)))
8	7	eqeq1d 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓 ↔ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
9	6, 8	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
10	9	ralbidv 3177	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
11	10	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = ( I ↾ 𝐴)) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
12		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	1, 12	efmndbasf 18752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
14	13	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
15		fcoi2 6763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
16		fcoi1 6762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
17	15, 16	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
18	14, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
19		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20	1, 12, 19	efmndov 18758	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
21	4, 20	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
22	21	eqeq1d 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓))
23	4	anim1ci 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)))
24	1, 12, 19	efmndov 18758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
26	25	eqeq1d 2734	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓 ↔ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
27	22, 26	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
28	18, 27	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
29	28	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
30	4, 11, 29	rspcedvd 3614	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓))
31	12, 19	ismnddef 18623	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓)))
32	3, 30, 31	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   I cid 5572   ↾ cres 5677   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Smgrpcsgrp 18605  Mndcmnd 18621  EndoFMndcefmnd 18745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-efmnd 18746

This theorem is referenced by:  efmnd0nmnd  18767  submefmnd  18772  sursubmefmnd  18773  injsubmefmnd  18774  idressubmefmnd  18775  idresefmnd  18776  symgsubmefmndALT  19265  efmndtmd  23596