MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmndmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmndmnd 18595
Description: The monoid of endofunctions on a set 𝐴 is actually a monoid. (Contributed by AV, 31-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ielefmnd.g 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
efmndmnd (𝐴𝑉𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem efmndmnd
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ielefmnd.g . . . 4 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
21efmndsgrp 18592 . . 3 𝐺 ∈ Smgrp
32a1i 11 . 2 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Smgrp)
41ielefmnd 18593 . . 3 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
5 oveq1 7320 . . . . . . 7 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑖(+g𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓))
65eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓))
7 oveq2 7321 . . . . . . 7 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓(+g𝐺)𝑖) = (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)))
87eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓 ↔ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
96, 8anbi12d 631 . . . . 5 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
109ralbidv 3171 . . . 4 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
1110adantl 482 . . 3 ((𝐴𝑉𝑖 = ( I ↾ 𝐴)) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
131, 12efmndbasf 18581 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑓:𝐴𝐴)
1413adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑓:𝐴𝐴)
15 fcoi2 6684 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
16 fcoi1 6683 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐴 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
1715, 16jca 512 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐴 → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
1814, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
19 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
201, 12, 19efmndov 18587 . . . . . . . 8 ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
214, 20sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
2221eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓))
234anim1ci 616 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)))
241, 12, 19efmndov 18587 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
2625eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓 ↔ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
2722, 26anbi12d 631 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
2818, 27mpbird 256 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
2928ralrimiva 3140 . . 3 (𝐴𝑉 → ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
304, 11, 29rspcedvd 3572 . 2 (𝐴𝑉 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓))
3112, 19ismnddef 18454 . 2 (𝐺 ∈ Mnd ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓)))
323, 30, 31sylanbrc 583 1 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3062  wrex 3071   I cid 5504  cres 5607  ccom 5609  wf 6459  cfv 6463  (class class class)co 7313  Basecbs 16979  +gcplusg 17029  Smgrpcsgrp 18441  Mndcmnd 18452  EndoFMndcefmnd 18574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-struct 16915  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-plusg 17042  df-tset 17048  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-efmnd 18575
This theorem is referenced by:  efmnd0nmnd  18596  submefmnd  18601  sursubmefmnd  18602  injsubmefmnd  18603  idressubmefmnd  18604  idresefmnd  18605  symgsubmefmndALT  19078  efmndtmd  23323
  Copyright terms: Public domain W3C validator