MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmndmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmndmnd 18700
Description: The monoid of endofunctions on a set 𝐴 is actually a monoid. (Contributed by AV, 31-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ielefmnd.g 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
efmndmnd (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem efmndmnd
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ielefmnd.g . . . 4 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
21efmndsgrp 18697 . . 3 𝐺 ∈ Smgrp
32a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Smgrp)
41ielefmnd 18698 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
5 oveq1 7365 . . . . . . 7 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓))
65eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ ((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓))
7 oveq2 7366 . . . . . . 7 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)))
87eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ ((𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓 ↔ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
96, 8anbi12d 632 . . . . 5 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓) ↔ ((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
109ralbidv 3175 . . . 4 (𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
1110adantl 483 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = ( I β†Ύ 𝐴)) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
12 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
131, 12efmndbasf 18686 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ 𝑓:𝐴⟢𝐴)
1413adantl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ 𝑓:𝐴⟢𝐴)
15 fcoi2 6718 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴⟢𝐴 β†’ (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
16 fcoi1 6717 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴⟢𝐴 β†’ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)
1715, 16jca 513 . . . . . 6 (𝑓:𝐴⟢𝐴 β†’ ((( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
1814, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
19 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
201, 12, 19efmndov 18692 . . . . . . . 8 ((( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓))
214, 20sylan 581 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓))
2221eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓))
234anim1ci 617 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
241, 12, 19efmndov 18692 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ( I β†Ύ 𝐴) ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)))
2625eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓 ↔ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
2722, 26anbi12d 632 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓) ↔ ((( I β†Ύ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓)))
2818, 27mpbird 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
2928ralrimiva 3144 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((( I β†Ύ 𝐴)(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)( I β†Ύ 𝐴)) = 𝑓))
304, 11, 29rspcedvd 3584 . 2 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓))
3112, 19ismnddef 18559 . 2 (𝐺 ∈ Mnd ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ βˆƒπ‘– ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑖(+gβ€˜πΊ)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+gβ€˜πΊ)𝑖) = 𝑓)))
323, 30, 31sylanbrc 584 1 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   I cid 5531   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  Smgrpcsgrp 18546  Mndcmnd 18557  EndoFMndcefmnd 18679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-tset 17153  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-efmnd 18680
This theorem is referenced by:  efmnd0nmnd  18701  submefmnd  18706  sursubmefmnd  18707  injsubmefmnd  18708  idressubmefmnd  18709  idresefmnd  18710  symgsubmefmndALT  19186  efmndtmd  23455
  Copyright terms: Public domain W3C validator