Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmndmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmndmnd 18043
 Description: The monoid of endofunctions on a set 𝐴 is actually a monoid. (Contributed by AV, 31-Jan-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
ielefmnd.g 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
efmndmnd (𝐴𝑉𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem efmndmnd
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ielefmnd.g . . . 4 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
21efmndsgrp 18040 . . 3 𝐺 ∈ Smgrp
32a1i 11 . 2 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Smgrp)
41ielefmnd 18041 . . 3 (𝐴𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
5 oveq1 7145 . . . . . . 7 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑖(+g𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓))
65eqeq1d 2826 . . . . . 6 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓))
7 oveq2 7146 . . . . . . 7 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓(+g𝐺)𝑖) = (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)))
87eqeq1d 2826 . . . . . 6 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓 ↔ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
96, 8anbi12d 633 . . . . 5 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
109ralbidv 3191 . . . 4 (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
1110adantl 485 . . 3 ((𝐴𝑉𝑖 = ( I ↾ 𝐴)) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
12 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
131, 12efmndbasf 18029 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑓:𝐴𝐴)
1413adantl 485 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑓:𝐴𝐴)
15 fcoi2 6534 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
16 fcoi1 6533 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴𝐴 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
1715, 16jca 515 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐴 → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
1814, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
19 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
201, 12, 19efmndov 18035 . . . . . . . 8 ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
214, 20sylan 583 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
2221eqeq1d 2826 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓))
234anim1ci 618 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)))
241, 12, 19efmndov 18035 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
2625eqeq1d 2826 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓 ↔ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
2722, 26anbi12d 633 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
2818, 27mpbird 260 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
2928ralrimiva 3176 . . 3 (𝐴𝑉 → ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
304, 11, 29rspcedvd 3611 . 2 (𝐴𝑉 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓))
3112, 19ismnddef 17902 . 2 (𝐺 ∈ Mnd ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g𝐺)𝑖) = 𝑓)))
323, 30, 31sylanbrc 586 1 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Mnd)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3132  ∃wrex 3133   I cid 5440   ↾ cres 5538   ∘ ccom 5540  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138  Basecbs 16472  +gcplusg 16554  Smgrpcsgrp 17889  Mndcmnd 17900  EndoFMndcefmnd 18022 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-plusg 16567  df-tset 16573  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-efmnd 18023 This theorem is referenced by:  efmnd0nmnd  18044  submefmnd  18049  sursubmefmnd  18050  injsubmefmnd  18051  idressubmefmnd  18052  idresefmnd  18053  symgsubmefmndALT  18520  efmndtmd  22695
 Copyright terms: Public domain W3C validator