Theorem efmndmnd 18990

Description: The monoid of endofunctions on a set 𝐴 is actually a monoid. (Contributed by AV, 31-Jan-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
ielefmnd.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
efmndmnd	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem efmndmnd

Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ielefmnd.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndsgrp 18987	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ Smgrp
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Smgrp)
4	1	ielefmnd 18988	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
5		oveq1 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓))
6	5	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓))
7		oveq2 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)))
8	7	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → ((𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓 ↔ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
9	6, 8	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
10	9	ralbidv 3190	. . . 4 ⊢ (𝑖 = ( I ↾ 𝐴) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑖 = ( I ↾ 𝐴)) → (∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
12		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	1, 12	efmndbasf 18976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
15		fcoi2 6758	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓)
16		fcoi1 6757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)
17	15, 16	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐴 → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
18	14, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
19		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
20	1, 12, 19	efmndov 18982	. . . . . . . 8 ⊢ ((( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
21	4, 20	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓))
22	21	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ↔ (( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓))
23	4	anim1ci 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)))
24	1, 12, 19	efmndov 18982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Base‘𝐺) ∧ ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)))
26	25	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓 ↔ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
27	22, 26	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → (((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓) ↔ ((( I ↾ 𝐴) ∘ 𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓 ∘ ( I ↾ 𝐴)) = 𝑓)))
28	18, 27	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Base‘𝐺)) → ((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
29	28	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((( I ↾ 𝐴)(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)( I ↾ 𝐴)) = 𝑓))
30	4, 11, 29	rspcedvd 3585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓))
31	12, 19	ismnddef 18831	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd ↔ (𝐺 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑓 ∈ (Base‘𝐺)((𝑖(+g‘𝐺)𝑓) = 𝑓 ∧ (𝑓(+g‘𝐺)𝑖) = 𝑓)))
32	3, 30, 31	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   I cid 5557   ↾ cres 5665   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  Basecbs 17296  +_gcplusg 17337  Smgrpcsgrp 18813  Mndcmnd 18829  EndoFMndcefmnd 18969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884  df-fz 13557  df-struct 17234  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-plusg 17350  df-tset 17356  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-efmnd 18970

This theorem is used by:  efmnd0nmnd  18991  submefmnd  18996  sursubmefmnd  18997  injsubmefmnd  18998  idressubmefmnd  18999  idresefmnd  19000  symgsubmefmndALT  19522  efmndtmd  24314